第五讲 导数的概念与运算-2026届高三数学一轮复习

导数的概念与运算 【知识梳理】 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 一般的，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即= 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即 3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若(c为常数)，则； 2 若,则; 3 若,则 4 若,则; 5 若,则 6 若,则 7 若,则 8 若,则 导数的运算法则 1. 2. 3. 复合函数求导 和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数 【基本题型】 题型一：导数的定义 【例题精讲】 例1. 设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　） A．f（2）＜f（e）＜f（π） B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2） C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3） D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2） 例2. 若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 例3. 已知函数（是的导函数），则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．设是函数的导函数，若，且对，且总有，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 2. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3. 已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 题型二：求函数的导数 【例题精讲】 例1. 求下列各函数的导数： (1) (2) (3) 【巩固练习】 1. 求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 2. 求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型三：导数的几何意义 1.在点P处切线 【例题精讲】 例1. 曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例2. 曲线在处的切线的倾斜角为，则（       ） A．- B． C．1 D．-1 例3. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习】 1. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ） A． B． C． D． 2. 曲线在处的切线方程为（       ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 3. 已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.过点P的切线 【例题精讲】 例1. 过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 例2. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 例3. 过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 1. 过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ） A．e B．1 C． D． 3.公切线 【例题精讲】 例1. 已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2. 若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4. 若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（       ） A． B．1 C．e D． 【巩固练习】 1. 已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2. 已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（       ） A．2 B． C． D． 1. 若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ） A．0 B．1 C．e D． 2. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4.已知切线求参数问题 【例题精讲】 例1. 若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 2. 若函数的图象在处的切线方程为，则（       ） A．， B．， C．， D．， 3. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（） A． B． C． D．， 5.切线的条数问题 【例题精讲】 例1. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2. 若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2. 若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6.切线平行、垂直、重合问题 【例题精讲】 例1. 曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 例2. 已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 例3. 已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 曲线上存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 7.最值问题 【例题精讲】 例1. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 例2. 动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例3. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．， 例4. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 例5. 已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ） A． B．0 C． D．3 【巩固练习】 1. 曲线上的点到直线的最短距离是（       ） A． B． C． D．1 2. 已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3. 实数，，，满足：，，则的最小值为（       ） A．0 B． C． D．8 1 学科网（北京）股份有限公司 $$