专题04 分式、不等式与一次函数的综合应用（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题04 分式不等式与一次函数综合应用 题型概览 题型01方程组与不等式综合应用 题型02方程组与不等式求利润的最值 题型03方程组与不等式方案设计问题 题型04分式方程与不等式 题型05分式方程与不等式求利润最值 题型06分式的综合运算 题型07不等式综合应用 题型08不等式与函数综合应用 方程组与不等式综合应用题型01 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买2本甲种书和1本乙种书共需105元；购买3本甲种书和2本乙种书共需170元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书共100本，总费用不超过3500元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 2．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）某校开展科技小制作大赛，需要准备甲、乙两种笔记本作为奖品．经过调查发现，购买甲种笔记本2本和乙种笔记本3本共需要34元；购买3本甲种笔记本和2本乙种笔记本需要31元． (1)甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ (2)若该学校准备购买两种笔记本50本，且总费用不超过300元，那么该学校至少购买多少本甲种笔记本？ 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）暑期临近，葫芦岛某旅行社准备组织“龙潭大峡谷”一日游活动，报名的人数共有56人，按照成人100元/人，儿童80元/人的标准，共计收费5320元． (1)此旅游团游客中成人和儿童各有多少人？ (2)旅行社为了回馈游客，准备送给游客每人一件T恤衫留作纪念，购买时发现商场规定成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫（不足10件不赠送），儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问旅行社购买的成人T恤衫每件最高价格为多少元？ 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某体育用品商场销售两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． (1)求和的值； (2)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某文具店准备从批发市场购买若干排球和书包（每个排球的价格相同，每个书包的价格相同），若购买4个排球和8个书包共需920元；若购买9个排球和6个书包共需1170元． (1)每个排球和书包各需多少元？ (2)根据需要，文具店一次性购买排球和书包共60个，实际购买中得知：在此批发市场购买排球和书包的总数量超过50时，书包打八折出售（排球仍按原价出售）如果此次用于购买排球的费用不超过购买书包的费用，那么最多可以购买多少个排球？ 方程组与不等式求利润的最值题型02 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）“快乐体验创业，财商助力未来”，为了让学生亲身体验市场经济，了解市场规律，某校举办了“快乐易物”实践活动。八年级某班一共购进商品300件，分成两大类，学习用品类和文娱玩具类，其中学习用品的平均售价为10元/件，文娱玩具的平均售价为15元/件． (1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？ (2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，每个班的摊位费为150元。设学习用品a件，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出利润最大的采购方案以及最大利润． 8．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）某学校计划在租用辆客车总费用不超过元的限额内组织师生集体外出研学活动，若每位老师带队名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 9．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示． 饮料 果汁饮料 碳酸饮料 进价（元/箱） 售价（元/箱） 设购进果汁饮料箱（为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为元（注：总利润总售价总进价）． (1)求总利润关于的函数解析式； (2)如果购进两种饮料的总费用不超过元，并且果汁饮料不少于箱，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示： 题号 进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 荔枝 36 6 50 龙眼 28 7 41 设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量． 11．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在学校开展“绿意满校园”主题系列活动中，八年级三班负责校园东北绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共36盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆6元，吊兰每盆4元． (1)采购组计划将预算经费200元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)规划组认为有比200元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）蓝天白云，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买，两种型号的帐篷．已知购买1顶种型号帐篷需600元，购买1顶种型号帐篷需1000元． (1)若该景区需要购买，两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，则最多能购买几顶种型号帐篷？ (2)在（1）的条件下，设购买，两种型号帐篷的总费用为元，求的最小值． 方程组与不等式方案设计问题题型03 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某园林公司培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元． （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．该园林公司决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21840元，园林公司有哪几种培育方案？ 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米．      (1)求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ (2)若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 16．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）为了更好治理马栏河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买3台A型设备、2台B型设备共需56万元，则买2台A型改备比购买3台B型设备少6万元． (1)求的值． (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案． (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． (1)求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ (2)学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； (3)商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一∶ (打折促销) 跳绳九折优惠， 毽子八五折优惠 优惠活动二∶ (买一赠一) 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 18．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）书山有路勤为径，学海无涯苦作舟，笔见证了每一位学子努力过的青春，因此学校准备购买一批单价为4元的笔来鼓励进步学生．文具店为了吸引顾客，计划对这种笔进行促销活动，活动期间，向顾客提供了两种方案：方案一：用12元购买会员卡拥有会员身份后，凭会员卡购买商店内商品，所有商品均按单价的七五折出售（已知学校采购人员在此之前不是该商店的会员）；方案二：所有商品均按定价的九折出售．学校计划在促销期间购买x支笔 (1)用含x的代数式表示方案一所需支付的金额（元）和方案二所需支付的金额（元）： (2)通过计算说明，哪种购买方案更合算？ (3)若学校准备用360元购买这种笔，最多能买多少支？ 19．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机30元，购进每个B型耳机65元． (1)若该商场准备购进200个这两种型号的耳机，总费用不超过10200元，那么最多可购进B型耳机多少个？ (2)在（1）的条件下，若该商场分别以售价为58元/个，98元/个的售价销售完A，B两种型号的耳机共200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请通过计算写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 分式方程与不等式题型04 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）春夏来临之际，天气开始暖和，某商家抓住商机，在三月份力推甲、乙两款儿童衬衣．已知三月份甲款衬衣的销售总额为6000元，乙款衬衣的销售总额为8100元，乙款衬衣的单价是甲款衬衣单价的1.5倍，乙款衬衣的销售数量比甲款衬衣的销售数量少5件． （1）求三月份甲款衬衣的单价是多少元？ （2）四月份，该商家准备销售甲、乙两款衬衣共200件，为了加大推销力度，将甲款衬衣的单价在三月份的基础上下调了20%，乙款衬衣的单价在三月份的基础上打五折销售．要使四月份的总销售额不低于18720元，则该商家至少要卖出甲款衬衣多少件？ 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． (1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆． (1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ (2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）寒假前，某文具店用300元购进一批练习本，很快售完，第二次购进时，每本练习本的进价提高了，同样用300元购进的数量比第一次少了10本． (1)求文具店第一次购进的每本练习本的进价为多少元？ (2)若两次购进的练习本售价均为每本7元，且全部售出，则该文具店两次销售练习本的总利润为多少元？ 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？ (2)若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？ 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）近年来，辽宁省以建设“口袋公园”为重点，有效利用城市的边边角角，为市民打造更多的绿地空间和休闲去处，某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗，用来美化“口袋公园”，在购买时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． (1)求甲、乙两种树苗的单价各是多少元． (2)现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过元，至少需要购买多少棵乙种树苗？ 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ (2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 28．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． (1)求A，B两款套装的单价． (2)根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 29．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）某商场用1200元购进一批新型乳制品，面市后深受消费者喜欢，很快销售完，又用4800元购进第二批这种乳制品，所购数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批乳制品的进货单价为多少元？ (2)若两次购进乳制品按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，则销售单价至少为多少元？ 30．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）“水晶市动微风起，满架蔷薇一院香．”伴着明媚的阳光，弥漫的花香，悦耳的蝉鸣，学校迎来了校园读书节，学校计划购进一批图书，已知用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元 (1)求自然科学类图书和文学类图书的单价分别是多少？ (2)学校准备购进两种图书共800册，总费用不超过30000元，则最多购进自然科学类图书多少册？ 31．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）某水果店在蓝莓上市期间，用1800元购进蓝莓销售，由于蓝莓深受顾客喜欢，购进的蓝莓很快售完，该水果店又用1200元购进这种蓝莓，因为每千克蓝莓的价格比第一次便宜了10元，所以购进蓝莓的数量与第一次的数量相同． (1)该水果店第一次购进蓝莓的价格每千克多少元？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于1200元，每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 32．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）端午节是我国民间传统节日，沈阳某商家特准备两种口味的粽子供顾客选购．其中，款甜粽的售价比款咸粽的售价每盒贵元，某单位在该店集体采购，在购买时了解到，用元购买的款甜粽和用元购进的款咸粽的盒数相同． (1)求该店款甜粽和款咸粽每盒的售价； (2)该单位决定购买款甜粽和款咸粽共盒，实际购买时，款甜粽打九折，款咸粽的售价不变．若该单位用于购买两种粽子的总费用不能超过元，求最多可购买多少盒款甜粽？ 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 分式方程与不等式求利润最值题型05 34．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某超市购进A，B两种水果，费用分别为2400元和2000元，其中A种水果的数量是B种水果数量的2倍，已知B种水果每箱的单价比A种水果每箱的单价多80元． (1)求A，B两种水果每箱的单价； (2)根据市场需求，该超市决定再次购进A，B两种水果共18箱，设购进A种水果x（x为正整数）箱，求所需费用W（元）与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，超市计划本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，若A，B两种水果每箱的单价均不变，则如何购买才能使得所需费用最少？最少费用为多少元？ 36．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． (1)求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ (2)学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 37．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买甲，乙两种型号的劳动工具． 已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具的单价少5元，且用元购买甲型劳动工具的数量与用元购买乙型劳动工具的数量相等． (1)求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共个，且甲型劳动工具的数量不超过乙型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 38．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的每个头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%． A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下： A型型号的头盔 B型型号的头盔 进货价格（元/个） 110 140 销售价格（元/个） 今年的销售价格 240 (1)求今年A型型号的头盔每个销售价多少元； (2)某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？ 39．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年2月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ (3)如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是________． 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）近些年，中国汽车制造业蓬勃发展，国产新能源汽车已经成为全民关注的焦点．小明家打算购置一辆新车用于全家日常出行，但是面对众多品牌和车型，如何选择呢？选择传统燃油汽车还是新能源汽车呢？小明选择了两款万万元区间的燃油车和新能源汽车各一辆做对比研究，假设车辆使用年的总费用购车费用购置税保养费用耗能费用（油费或电费）预计年后的车价，具体数据如下表所示： 车辆类型 购车费用 购置税 年均保养费用 预计年后的车价 款燃油车 万元 元 元/年 万元 款新能源汽车 万元 元 元/年 万元 此外，款燃油车每公里的油费比款新能源汽车每公里的电费多元．当油费和电费均为元时，款新能源汽车的行驶路程是款燃油车行驶路程的倍． (1)款燃油车每公里的油费与款新能源汽车每公里的电费分别是多少元？ (2)设平均每年的行驶路程为公里，使用款燃油车年的总费用为元，使用款新能源汽车年的总费用为元，请分别写出，与之间的关系式，并说明怎样选择更划算． 分式的综合运算题型06 41．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）已知a，b，c，d为四个不为零的数，且满足． (1)请举出满足条件的a，b，c，d的数； (2)利用（1）中的数判断分式与的数量关系，并证明结论． 42．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 43．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为美化校园，学校计划开发出两块正方形区域进行绿化，其中区域A比区域B的边长大，且在区域内设置一个面积为的宣传角，宣传角部分铺上地砖不需要绿化，现安排八年一班负责区域的绿化，八年二班负责区域的绿化． (1)若两个班绿化所花费的总费用相等，哪个班绿化的单位面积费用高？请说明理由； (2)学校原计划区域的绿化预算经费是区域的倍，这样两块区域进行绿化的单位面积费用相等，请计算，两块绿化区域的面积． 44．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人同时去同一家加油站加号汽油，甲花元所加的油量比乙花元所加的油量少升． (1)求号汽油的单价； (2)甲、乙两人第二次去加号汽油时，单价比第一次少了元升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加号汽油的平均单价是________元/升，乙两次加号汽油的平均单价是________元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，如果每次油价都不相同，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用相关知识说明理由． 45．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 46．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若 为“十字分式方程”，则______；______． (2)若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 47．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在分式运算中，有时候逆用运算法则可以使问题得到简化，例如：由，反过来可以得到，从而把一个复杂的分式转化为两个分式的差，使计算更为简便，利用这种转化的思想解决下面问题： (1)计算： (2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第n次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？为什么？ 48．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，…，第次倒出的水量是的…． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的1L水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水侧出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为： 【解决问题】 (1)容器中的1L水　　　　（填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了30次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，的值． 49．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故的值为． (1)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 (2)已知，，，求的值． 不等式综合运算题型07 50．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）新定义：二元一次方程（其中，是常数，，是未知数），若，则称这个方程为“完美”方程，规定、此时称为“完美值”．例如：是“完美”方程，，是“完美”方程，，此时“完美值”．若，则称这个方程为“团结”方程，规定，此时称为“团结值”．例如：是“团结”方程，，即，，方程是“团结”方程，，此时“团结值”． 试解决下列问题： (1)判断是“团结”方程吗？并说明理由； (2)若，满足方程组，判断二元一次方程是“完美”方程还是“团结”方程？求出对应的的平方根； (3)老师让学生们举出一个“完美”方程或“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明溜号了，没有听清是什么方程．只记住方程的相关特征：①，②是负整数，请你帮小明求出符合条件的值． 51．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 52．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 53．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可） （3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 不等式与函数综合应用题型08 54．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点在轴上，且满足，求点的坐标． 55．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）平面直角坐标系中，平移直线得到直线，且经过点． (1)求k和b的值； (2)当时，直线上的点都在直线的上方，直接写出m的取值范围． 56．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点． (1)求点的“友好点”坐标； (2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度； (3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标； (4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围． 57．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 58．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点的坐标为，则称点为点的“伴动点” (1)已知点，则点的“伴动点”的坐标为______； (2)已知点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行时，此时的值为______； (3)已知点，点与它的“伴动点”所在的直线与轴交于点， ①若、、三点中有一点是连接其他两点所得线段的中点时，求的值； ②点坐标为，以原点为中心作正方形，当线段与正方形的边有公共点（含端点）时，直接写出此时的取值范围． 59．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关． 【提出问题】如图，设两点的距离为y，点B 所表示的数为x，那么y是x的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：如果y是x的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为：___________； (2)①补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②观察图象，请至少写出该函数的两条性质； (3)①若点在该函数的图象上，求a的值； ②依据图象，求不等式的解集． 60．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 61．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．       (1)如图1，作直线，在轴上有一点，若的面积为2，求点的坐标； (2)如图1，若在第一象限上存在一点M，M的坐标为，满足，求的取值范围； (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标． 63．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为 　 　． (2)若点的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 64．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） (3)请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 65．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点． 例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）． （1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 　 　； （2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）． ①求△OPQ的面积； ②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 　 　； （3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的距离中最大值为m+8，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式不等式与一次函数综合应用 题型概览 题型01方程组与不等式综合应用 题型02方程组与不等式求利润的最值 题型03方程组与不等式方案设计问题 题型04分式方程与不等式 题型05分式方程与不等式求利润最值 题型06分式的综合运算 题型07不等式综合应用 题型08不等式与函数综合应用 方程组与不等式综合应用题型01 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买2本甲种书和1本乙种书共需105元；购买3本甲种书和2本乙种书共需170元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书共100本，总费用不超过3500元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲种书每本40元，乙种书每本25元 (2)最多购进甲种书66本 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设甲种书每本元，乙种书每本元．根据购买2本甲种书和1本乙种书共需105元；购买3本甲种书和2本乙种书共需170元，再建立方程组解题即可； （2）设甲种书购进本．利用学校决定购买以上两种书共100本，总费用不超过3500元，再建立不等式解题即可； 【详解】（1）解：设甲种书每本元，乙种书每本元． 解得 甲种书每本40元，乙种书每本25元． （2）解：设甲种书购进本． ． ． 为正整数， 的最大值为66． 最多购进甲种书66本． 2．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）某校开展科技小制作大赛，需要准备甲、乙两种笔记本作为奖品．经过调查发现，购买甲种笔记本2本和乙种笔记本3本共需要34元；购买3本甲种笔记本和2本乙种笔记本需要31元． (1)甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ (2)若该学校准备购买两种笔记本50本，且总费用不超过300元，那么该学校至少购买多少本甲种笔记本？ 【答案】(1)甲、乙两种笔记本的单价各是5元、8元 (2)34本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设甲、乙两种笔记本的单价各是x元、y元．根据“购买甲种笔记本2本和乙种笔记本3本共需要34元；购买3本甲种笔记本和2本乙种笔记本需要31元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设该学校购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本本，根据“总费用不超过300元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种笔记本的单价各是x元、y元． 根据题意得：， 解得 答：甲、乙两种笔记本的单价各是5元、8元． （2）解：设该学校购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本本， 根据题意得： 解得 为整数 的最小值为34 答：该学校至少购买甲种笔记本34本． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）暑期临近，葫芦岛某旅行社准备组织“龙潭大峡谷”一日游活动，报名的人数共有56人，按照成人100元/人，儿童80元/人的标准，共计收费5320元． (1)此旅游团游客中成人和儿童各有多少人？ (2)旅行社为了回馈游客，准备送给游客每人一件T恤衫留作纪念，购买时发现商场规定成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫（不足10件不赠送），儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问旅行社购买的成人T恤衫每件最高价格为多少元？ 【答案】(1)游客中成人有42人，儿童有14人 (2)每件成人T恤衫的价格最高是25元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用， （1）设游客中成人有x人，儿童有y人，根据等量关系报名的人数共有56人及共计收费5320元，列出方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结果，计算出赠送的儿童T恤衫的件数，设每件成人T恤衫的价格是m元，根据不等关系旅行社购买大人T恤衫的费用+旅行社购买儿童T恤衫的费用元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设游客中成人有x人，儿童有y人，由题意得： ， 解得：， 答：游客中成人有42人，儿童有14人； （2）解：∵， ∴可赠送4件儿童T恤衫， 设每件成人T恤衫的价格是m元， 根据题意可得， 解得：． 答：每件成人T恤衫的价格最高是25元． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号4台型号的电扇收入1200元，5台型号6台型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解． 【详解】（1）解：设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 答：、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 是整数， 最大是37， 答：超市最多采购种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某体育用品商场销售两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． (1)求和的值； (2)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 【答案】(1)的值为80，的值为60； (2)每个款足球最多打7折． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）设每个款足球打折销售，根据总利润=每个的利润销售数量结合总盈利不少于640元，得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 所以的值为80，的值为60； （2）解：设每个款足球打折销售， 根据题意得， 解得， 答：每个款足球最多打7折． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某文具店准备从批发市场购买若干排球和书包（每个排球的价格相同，每个书包的价格相同），若购买4个排球和8个书包共需920元；若购买9个排球和6个书包共需1170元． (1)每个排球和书包各需多少元？ (2)根据需要，文具店一次性购买排球和书包共60个，实际购买中得知：在此批发市场购买排球和书包的总数量超过50时，书包打八折出售（排球仍按原价出售）如果此次用于购买排球的费用不超过购买书包的费用，那么最多可以购买多少个排球？ 【答案】(1)每个排球80元，每个书包75元 (2)25个 【分析】（1）根据“购买4个排球和8个书包共需920元；若购买9个排球和6个书包共需1170元”分别列出方程组成方程组求出即可； （2）利用一次性购买足球和篮球共60个，购买排球的费用不超过购买书包的费用，列出不等式求出即可． 【详解】（1）解：设每个排球x元，每个书包y元， 由题意得： 解得： 每个排球80元，每个书包75元． （2）解：设购买m个排球，则购买个书包，由题意得： 解得： 为整数， 最大取25， 答：最多可购买25个排球． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键． 方程组与不等式求利润的最值题型02 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）“快乐体验创业，财商助力未来”，为了让学生亲身体验市场经济，了解市场规律，某校举办了“快乐易物”实践活动。八年级某班一共购进商品300件，分成两大类，学习用品类和文娱玩具类，其中学习用品的平均售价为10元/件，文娱玩具的平均售价为15元/件． (1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？ (2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，每个班的摊位费为150元。设学习用品a件，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出利润最大的采购方案以及最大利润． 【答案】(1)其中有180件学习用品； (2)w与a之间的函数关系式w= - 4a+2850，利润最大的采购方案是购买165件习用品，购买135件文娱玩具，最大利润时2190元． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与a之间的函数关系式，然后根据购进的商品总价不高于1335元，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润最大的采购方案以及最大利润． 【详解】（1）解：设有x件学习用品，则有文娱玩具( 300-x )件， 由题意可得： 10x+15 ( 300-x ) = 3600， 解得x=180， 答：其中有180件学习用品； （2）解：由题意可得， w= ( 10-4) a+ ( 15-5) ( 300-a ) -150=- 4a+ 2850， w随a的增大而减小， 购进的商品总价不高于1335元， 4a+5 ( 300-a )≤1335， 解得a≥165， 当a=165时，w取得最大值，此时w=2190， 300-a= 135， 答： w与a之间的函数关系式w= - 4a+2850，利润最大的采购方案是购买165件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润时2190元． 【点睛】本题考查一次函数、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某学校计划在租用辆客车总费用不超过元的限额内组织师生集体外出研学活动，若每位老师带队名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有人，学生有人 (2)共有种租车方案，最少租车费用是元 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据数量关系列方程组求解即可； （2）租车总辆数为辆，设租甲型客车辆，则乙型客车辆，列不等式组求解，设租车总费用为元，可求出关于租车费用的函数关系，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， ∴，解得：， ∴参加此次研学活动的老师有人，学生有人． （2）解：∵租车总辆数为辆，设租甲型客车辆，则乙型客车辆， ∴，解得：， ∵为正整数， ∴或或或， ∴共有4种租车方案， 设租车总费用为元，则， ∵， ∴的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为， ∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2000元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数图像的性质的综合，理解题目中的数量关系列方程，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法，一次函数图像的性质等知识是解题的关键． 9．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示． 饮料 果汁饮料 碳酸饮料 进价（元/箱） 售价（元/箱） 设购进果汁饮料箱（为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为元（注：总利润总售价总进价）． (1)求总利润关于的函数解析式； (2)如果购进两种饮料的总费用不超过元，并且果汁饮料不少于箱，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)购进果汁箱，碳酸饮料箱能获利最多，最大利润为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设购进果汁饮料箱，则购进碳酸饮料箱，根据总利润果汁的利润碳酸饮料的利润，即可求解； （2）先根据题意列出不等式组求出的范围，再根据函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购进果汁饮料箱，则购进碳酸饮料箱， 根据题意得：， 总利润关于的函数解析式为； （2）设购进果汁饮料箱，则购进碳酸饮料箱， 根据题意得：， 解得：， 在中，， 随的增大而减小， 当时，获利最多，最大利润为， 即购进果汁箱，碳酸饮料箱能获利最多，最大利润为元． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示： 题号 进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 荔枝 36 6 50 龙眼 28 7 41 设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量． 【答案】(1)； (2)“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元． 【分析】（1）由题意得，−−−−−，整理求解即可； （2）由题意得，−，解得，，然后根据一次函数的性质求利润的最大值，以及两种水果的进货量即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵该团队每天投入总成本不超过元， ∴， 解得：， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则， ∴“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式． 11．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在学校开展“绿意满校园”主题系列活动中，八年级三班负责校园东北绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共36盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆6元，吊兰每盆4元． (1)采购组计划将预算经费200元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)规划组认为有比200元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)购买绿萝28盆，吊兰8盆 (2)购买两种绿植最少花费为192元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用： （1）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买绿萝a盆，购买吊兰盆，总费用为w元，根据题意得到w关于a的函数关系式，再求出a的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意得： 解方程组得 ，符合题意， 答：购买绿萝28盆，吊兰8盆； （2）解：设购买绿萝a盆，购买吊兰盆，总费用为w元，根据题意得： ， 总费用要低于200元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍 ， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为192， 故购买两种绿植最少花费为192元． 12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）蓝天白云，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买，两种型号的帐篷．已知购买1顶种型号帐篷需600元，购买1顶种型号帐篷需1000元． (1)若该景区需要购买，两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，则最多能购买几顶种型号帐篷？ (2)在（1）的条件下，设购买，两种型号帐篷的总费用为元，求的最小值． 【答案】(1)最多能购买5顶A种型号帐篷； (2)18000 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意列出与的正确关系式． （1）设购买A型号帐篷顶，则购买B型号帐篷顶，，且为整数）由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，可得，可解得的取值范围，即得最多能购买几顶A种型号帐篷； （2）由（1）确定的取值范围，列出与的关系式，可得取何值时，的最小值为何值． 【详解】（1）解：设购买A型号帐篷顶，则购买B型号帐篷顶，，且为整数） 由题意得，， 解得：， 最多能购买5顶A种型号帐篷； （2）解：由（1）得，，且为整数， 由题意得，， ∵，随的增加而减少， 时，有最小值为18000元． 方程组与不等式方案设计问题题型03 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某园林公司培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元． （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．该园林公司决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21840元，园林公司有哪几种培育方案？ 【答案】（1）甲种花木成本400元，乙种花木成本300元；（2）共3种方案：①甲种花木18株，乙种花木64株；甲种花木19株，乙种花木67株；甲种花木20株，乙种花木70株 【分析】（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元， 此问中的等量关系：①甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；②培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．列方程组求解即可； （2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为株，结合（1）中求得的结果，根据题目中的不等关系：①成本不超过29000元；②总利润不少于21840元，列不等式组进行计算和分析，即可得出方案． 【详解】解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两种花木每株成本分别为400元、300元； （2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为株， 则有：， 解得： 由于a为整数， ∴a可取18或19或20， 所以有三种具体方案： ①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株； ②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株； ③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株． 【点睛】本题考查二元一次方程组以及不等式组，理解题意并根据题干等量关系和不等量关系分别列出二元一次方程组以及不等式组求解是解题的关键． 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米．      (1)求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ (2)若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 【答案】(1)过程见详解； (2)①，过程见详解；②，过程见详解． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据题意得出增加个纸杯，高度增加，进而即可求解； （2）①待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意列出一元一次不等式，解不等式，求得最大正整数解即可求解． 【详解】（1）解：量得个纸杯的高为，个叠放在一起的纸杯的高为， 个叠放在一起的纸杯增加的高为， 增加个纸杯，高度增加， 个叠放在一起的纸杯的高为； （2）①依题意，是的一次函数，设，将代入得： 解得： ； ②依题意，， 解得：， 为正整数， 的最大值为． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元； (2)购进A商品的件数最多为20件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 16．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）为了更好治理马栏河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买3台A型设备、2台B型设备共需56万元，则买2台A型改备比购买3台B型设备少6万元． (1)求的值． (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案． (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)有三种购买方案：①型设备0台，型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台 (3)为了节约资金，应选购型设备1台，型设备9台 【分析】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用． （1）根据“：购买3台A型设备、2台B型设备共需56万元，则买2台A型改备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解； （2）可设购买污水处理设备型设备台，型设备台，则有，解之确定的值，即可确定方案； （3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有，解之即可由的值确定方案，然后进行比较，作出选择． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2）解：设购买污水处理设备型设备台，型设备台， 则：， ， 正整数， ， ∴有三种购买方案： ①型设备0台，型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台． （3）解：设购买污水处理设备A型设备x台， 由题意：， ， 又∵取非负整数， ∴为1，2． 当时，购买资金为：(万元)， 当时，购买资金为：(万元)， ∴为了节约资金，应选购型设备1台，型设备9台． 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． (1)求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ (2)学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； (3)商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一∶ (打折促销) 跳绳九折优惠， 毽子八五折优惠 优惠活动二∶ (买一赠一) 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 【答案】(1)每条跳绳25元，每只毽子8元 (2)购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只 (3)选择优惠活动二更合适，见解析 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键． （1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元，列出方程组进行求解即可； （2）设学校购买跳绳m条，根据学校预算经费不能超过600元，列出不等式进行求解即可； （3）分别表示出两种方案所需的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据题意得 解得， 每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）设学校购买跳绳m条 则 解得 取10或11，购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）活动一： 活动二： 若，解得 选择优惠活动二更合适． 18．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）书山有路勤为径，学海无涯苦作舟，笔见证了每一位学子努力过的青春，因此学校准备购买一批单价为4元的笔来鼓励进步学生．文具店为了吸引顾客，计划对这种笔进行促销活动，活动期间，向顾客提供了两种方案：方案一：用12元购买会员卡拥有会员身份后，凭会员卡购买商店内商品，所有商品均按单价的七五折出售（已知学校采购人员在此之前不是该商店的会员）；方案二：所有商品均按定价的九折出售．学校计划在促销期间购买x支笔 (1)用含x的代数式表示方案一所需支付的金额（元）和方案二所需支付的金额（元）： (2)通过计算说明，哪种购买方案更合算？ (3)若学校准备用360元购买这种笔，最多能买多少支？ 【答案】(1)； (2)当时，方案二更合算；当时，方案一更合算；当时两种方案均可 (3)最多能购买116支 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据两种促销方案分别列式即可； （2）分三种情况分别求解即可； （3）结合（1）所得关系式，分别求出两种方案可购买笔数，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①当时，即， 解得； ②当时，即， 解得； ③当时4即 解得 答：当时，方案二更合算；当时，方案一更合算；当时两种方案均可． （3）解：当时， 方案一：，解得 方案二：，解得 ， 最多能购买116支． 19．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机30元，购进每个B型耳机65元． (1)若该商场准备购进200个这两种型号的耳机，总费用不超过10200元，那么最多可购进B型耳机多少个？ (2)在（1）的条件下，若该商场分别以售价为58元/个，98元/个的售价销售完A，B两种型号的耳机共200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请通过计算写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最多可购买B型耳机120个； (2)三种购买方案，具体见解析． 【分析】本题考查一元一次不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列不等式，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． （1）设B型耳机b个，根据所需费用数量单价，计算A，B耳机总费用列不等式，求得B型耳机b的最大值； （2）根据利润单件利润数量，列不等式，求出B型耳机m的取值范围，结合（2）中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案． 【详解】（1）解：设购买B型耳机个． 由题意可得 解得： 答：最多可购买B型耳机120个． （2）解∶能，理由如下： 设购进B型耳机个，则购进A型耳机个 根据题意，得：； 解得：； ； 为整数， 可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80； 因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①A型耳机82个，B型耳机118个 ②A型耳机81个，B型耳机119个 ③A型耳机80个，B型耳机120个 分式方程与不等式题型04 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）春夏来临之际，天气开始暖和，某商家抓住商机，在三月份力推甲、乙两款儿童衬衣．已知三月份甲款衬衣的销售总额为6000元，乙款衬衣的销售总额为8100元，乙款衬衣的单价是甲款衬衣单价的1.5倍，乙款衬衣的销售数量比甲款衬衣的销售数量少5件． （1）求三月份甲款衬衣的单价是多少元？ （2）四月份，该商家准备销售甲、乙两款衬衣共200件，为了加大推销力度，将甲款衬衣的单价在三月份的基础上下调了20%，乙款衬衣的单价在三月份的基础上打五折销售．要使四月份的总销售额不低于18720元，则该商家至少要卖出甲款衬衣多少件？ 【答案】（1）120；（2）120 【分析】（1）设三月份甲款衬衣的单价为元，审清题意找到等量关系，列出分式方程并求解即可； （2）在（1）结论的基础上，设该商家要卖出甲款衬衣件，审清题意找到不等量关系，列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】解：（1）解：设三月份甲款衬衣的单价为元，根据题意得： 解得 经检验是分式方程的解，且符合题意 答：三月份甲款衬衣的单价是120元． （2）设该商家要卖出甲款衬衣件，根据题意得： ∵取最小正整数解 ∴ 答：该商家至少要卖出甲款衬衣120件． 【点睛】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，体现了数学建模的核心素养，审清题意找到等量或不等量关系是解决问题的关键． 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． (1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 【答案】(1)5元 (2)7元 【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可； （2）设每盒乒乓球的售价为y元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可． 【详解】（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元， 由题意得： 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意， 答：第一次每盒乒乓球的进价是5元； （2）解：设每盒乒乓球的售价为y元， 第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为（元）， 由题意得：， 解得：． 答：每盒乒乓球的售价至少是7元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个 (2)最多可购进A型玩具25个 【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）设型玩具的单价为元/件． 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解 B型玩具的单价为元/个 ∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个． （2）设购进A型玩具个． 解得： ∴最多可购进A型玩具25个． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． 23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆． (1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ (2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 【答案】(1)型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元 (2)最多可以购买60辆型汽车 【分析】（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． 【详解】（1）解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得： 解得：, 经检验，是方程的解，且符合题意， 则, 答：型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车， 依题意得：， 解得：, 答：最多可以购买60辆型汽车． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）寒假前，某文具店用300元购进一批练习本，很快售完，第二次购进时，每本练习本的进价提高了，同样用300元购进的数量比第一次少了10本． (1)求文具店第一次购进的每本练习本的进价为多少元？ (2)若两次购进的练习本售价均为每本7元，且全部售出，则该文具店两次销售练习本的总利润为多少元？ 【答案】(1)文具店第一次购进的每本练习本的进价为5元 (2)该文具店两次销售练习本的总利润为170元 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键； （1）设文具店第一次购进的每本练习本的进价为元，则第二次购进的每本练习本的进价为元，根据第二次购进时，每本练习本的进价提高了，同样用300元购进的数量比第一次少了10本，列出分式方程，解方程即可； （2）根据总利润=总售价总成本，列出算式，即可求解； 【详解】（1）解：设文具店第一次购进的每本练习本的进价为元，则第二次购进的每本练习本的进价为元， 根据题意得，， 方程两边乘，得，解得， 检验：当时，，所以原分式方程的解为，且符合题意． 答：文具店第一次购进的每本练习本的进价为5元； （2）元， 答：该文具店两次销售练习本的总利润为170元． 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？ (2)若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元； (2)每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元． 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键． （1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可； （2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元/件）． 答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元； （2）解：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的数量是（件）， 该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是（件）． 设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为90． 答：每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）近年来，辽宁省以建设“口袋公园”为重点，有效利用城市的边边角角，为市民打造更多的绿地空间和休闲去处，某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗，用来美化“口袋公园”，在购买时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． (1)求甲、乙两种树苗的单价各是多少元． (2)现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过元，至少需要购买多少棵乙种树苗？ 【答案】(1)甲树苗的单价是元，乙树苗的单价是元 (2)至少需要购买棵乙树苗 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙树苗的单价是元，则甲树苗的单价是元，由题意：用元购买甲树苗的棵数比用元购买乙树苗的棵数少棵．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要购买棵乙树苗，则购买棵甲树苗，由题意：购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设乙树苗的单价是元，则甲树苗的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲树苗的单价是元，乙树苗的单价是元； （2）设需要购买棵乙树苗，则购买棵甲树苗， 由题意得： ， 解得：， 答：至少需要购买棵乙树苗． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ (2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 【答案】(1)乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米 (2)至少应安排甲工程队清理10天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决问题的关键是：找到各数量之间的关系，列出关系式． （1）设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，根据“清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天”，列出等量关系式，即可求解， （2）设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天，根据“本次清理工作的总费用不高于60万元”，列出关系式，即可求解， 【详解】（1）解：设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米， 由题意可得：， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴（米）， 答：乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米； （2）解：设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天， 由题意可得：， ∴， ∴至少应安排甲工程队清理10天． 28．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． (1)求A，B两款套装的单价． (2)根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 【答案】(1)A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元 (2)学校最多可以购买66个B款套装 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，根据用600元购买款套装的数量是用450元购买款套装数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买个款套装，则购买个款套装，根据款套装和款套装的总费用不超过8000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A款套装的单价是元，则B款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元． （2）解：设学校可以购买个B款套装， 根据题意，得， 解得． ∵是正整数，∴最多取66． 答：学校最多可以购买66个B款套装． 29．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）某商场用1200元购进一批新型乳制品，面市后深受消费者喜欢，很快销售完，又用4800元购进第二批这种乳制品，所购数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批乳制品的进货单价为多少元？ (2)若两次购进乳制品按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，则销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批乳制品的进货单价为6元； (2)销售单价至少为9元． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批乳制品的进货单价为x元，则第二批乳制品的进货单价为元，购进第二批这种乳制品，所购数量是第一批的3倍，据此列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设销售单价为m元，获利不少于1200元，据此列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批乳制品的进货单价为x元，则第二批乳制品的进货单价为元，则 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 答：第一批乳制品的进货单价为6元； （2）解：设销售单价为m元，则 ， 解得 答：销售单价至少为9元． 30．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）“水晶市动微风起，满架蔷薇一院香．”伴着明媚的阳光，弥漫的花香，悦耳的蝉鸣，学校迎来了校园读书节，学校计划购进一批图书，已知用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元 (1)求自然科学类图书和文学类图书的单价分别是多少？ (2)学校准备购进两种图书共800册，总费用不超过30000元，则最多购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1)文学类图书的单价为36元，自然科学类图书的单价为42元 (2)学校最多购进自然科学类图书200册 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设文学类图书的单价为x元，则自然科学类图书的单价为元，根据用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元得分式方程，即可解得答案； （2）设学校购进自然类科学图书m册，则购进文学类图书册，依题意得列出不等式求解即可 【详解】（1）解：设文学类图书的单价为x元，则自然科学类图书的单价为元 依题意得： 解得： 经检验：是原方程解 答：文学类图书的单价为36元，自然科学类图书的单价为42元 （2）解：设学校购进自然类科学图书m册，则购进文学类图书册 依题意得： 解得： 答：学校最多购进自然科学类图书200册． 31．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）某水果店在蓝莓上市期间，用1800元购进蓝莓销售，由于蓝莓深受顾客喜欢，购进的蓝莓很快售完，该水果店又用1200元购进这种蓝莓，因为每千克蓝莓的价格比第一次便宜了10元，所以购进蓝莓的数量与第一次的数量相同． (1)该水果店第一次购进蓝莓的价格每千克多少元？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于1200元，每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】(1)30元 (2)35元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设该水果店第一次购进蓝苺每千克元，则该水果店第二次购进蓝苺每千克元，根据第二次购进蓝莓的数量与第一次的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设每千克蓝莓的售价是元，根据总利润不低于1200元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该水果店第一次购进蓝苺每千克元，则该水果店第二次购进蓝苺每千克元，根据题意，得： ， 解得． 经检验，是所列方程的根， 答：该水果店第一次购进蓝莓每千克30元． （2）解：设每千克蓝莓的售价是元，根据题意，得： 解得． 的最小值为35． 答：每千克蓝莓的售价至少是35元． 32．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）端午节是我国民间传统节日，沈阳某商家特准备两种口味的粽子供顾客选购．其中，款甜粽的售价比款咸粽的售价每盒贵元，某单位在该店集体采购，在购买时了解到，用元购买的款甜粽和用元购进的款咸粽的盒数相同． (1)求该店款甜粽和款咸粽每盒的售价； (2)该单位决定购买款甜粽和款咸粽共盒，实际购买时，款甜粽打九折，款咸粽的售价不变．若该单位用于购买两种粽子的总费用不能超过元，求最多可购买多少盒款甜粽？ 【答案】(1)款甜粽、款咸粽每盒的价格分别是元和元； (2)最多可购买盒款甜粽． 【分析】（）设款咸粽每盒的售价为元，则款甜粽每盒的售价为元，用元购买的款甜粽和用元购进的款咸粽的盒数相同列出方程即可； （）设可购买盒款甜粽，则购买盒款甜粽，由购买两种粽子的总费用不能超过元列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设款咸粽每盒的售价为元，则款甜粽每盒的售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合实际， ∴， 答：款甜粽、款咸粽每盒的价格分别是元和元； （2）设可购买盒款甜粽，则购买盒款甜粽， 由题意得，， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买盒款甜粽． 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 【答案】(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米 (2)以后每天改造管网至少还要增加36米 【分析】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务列出方程即可求解； （2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解． 【详解】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 此时，60×（1+20%）=72（米）． 答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米； （2）设以后每天改造管网还要增加米， 由题意得：， 解得：． 答：以后每天改造管网至少还要增加36米． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常规题型，解题的关键在于找出题目中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式． 分式方程与不等式求利润最值题型05 34．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16是原方程的解； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元， ∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某超市购进A，B两种水果，费用分别为2400元和2000元，其中A种水果的数量是B种水果数量的2倍，已知B种水果每箱的单价比A种水果每箱的单价多80元． (1)求A，B两种水果每箱的单价； (2)根据市场需求，该超市决定再次购进A，B两种水果共18箱，设购进A种水果x（x为正整数）箱，求所需费用W（元）与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，超市计划本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，若A，B两种水果每箱的单价均不变，则如何购买才能使得所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)A种水果每箱的单价为120元，B种水果每箱的单价为200元 (2)W＝－80x＋3600（0＜x≤18，且x为正整数） (3)购进A种水果6箱，B种水果12箱，才能使得所需费用最少，最少费用为3120元 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）设再次购买A种水果x箱，则B种水果为（18-x）箱，购买总费用为W，根据：总费用=A种水果单价×A种水果数量+B种水果单价×B种水果数量，列出W关于x的函数关系式； （3）根据B种水果的箱数不少于A种水果箱数的2倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值． 【详解】（1）设A种水果每箱的单价为a元，则B种水果每箱的单价为（a＋80）元， 根据题意，得 解得a＝120，经检验，a＝120是原方程的解，且符合题意， ∴a＋80＝200． 答：A种水果每箱的单价为120元，B种水果每箱的单价为200元； （2）设再次购进A种水果x箱，则购进B种水果（18－x）箱， 根据题意，得W＝120x＋200（18－x）＝－80x＋3600； ∴W＝－80x＋3600（0＜x≤18，且x为正整数） （3）本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，18－x≥2x，解得x≤6， ∵W＝－80x＋3600中，k＝－80＜0， ∴W随着x的增大而减小，∴当x＝6时，W取得最小值， ∴W＝－80x＋3600＝－80×6＋3600＝3120，∴18－x＝12． 答：本次购进A种水果6箱，B种水果12箱，才能使得所需费用最少，最少费用为3120元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和分式方程，利用一次函数的性质求最值． 36．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． (1)求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ (2)学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 【答案】(1)A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； (2)最多可以购买A款衬衫200件； (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元，然后根据用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，然后根据“学校计划不多于13000元购买衬衫”，列出不等式求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，求出，根据题中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出结果． 【详解】（1）解：设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； （2）设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得，， 解得， ∴最多可以购买A款衬衫200件； （3）设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得， ， ∵购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 37．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买甲，乙两种型号的劳动工具． 已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具的单价少5元，且用元购买甲型劳动工具的数量与用元购买乙型劳动工具的数量相等． (1)求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共个，且甲型劳动工具的数量不超过乙型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 【答案】(1)甲型劳动工具的单价为元，乙型劳动工具的单价为元 (2)元 【分析】（1）设甲型劳动工具的单价为x元，则乙型劳动工具的单价为元，根据“用元购买甲型劳动工具的数量与用元购买乙型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买乙型劳动工具m个，则购买甲型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于m的函数关系式，再求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设甲型劳动工具的单价为x元，则乙型劳动工具的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：甲型劳动工具的单价为元，乙型劳动工具的单价为元； （2）解：设购买乙型劳动工具m个，则购买甲型劳动工具个， 设购买这批劳动工具的费用为元． 则， ∵， ∴随着的增大而增大． 根据题意，得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最小值为， ∴当时，最小，最小值为（元）， 答：购买这批劳动工具的最少费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握一次函数的性质，找准题目的等量关系及不等关系是解题关键． 38．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的每个头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%． A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下： A型型号的头盔 B型型号的头盔 进货价格（元/个） 110 140 销售价格（元/个） 今年的销售价格 240 (1)求今年A型型号的头盔每个销售价多少元； (2)某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？ 【答案】(1)今年A型型号的头盔每个销售价为150元 (2)进A型号17个，B型号的33个获利最多 【分析】（1）设今年6月A型号每个销售价为x元，则去年每个为元，根据“今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔个，根据“B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍”列出一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，设这批头盔获利为w元，得出w与m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质，即可得出答案； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程，一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）解：设今年6月A型号每个销售价为x元，则去年每个为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是分式方程的解，也符合题意， 答：今年A型型号的头盔每个销售价为150元． （2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔个， 由题意得：， 解得：， 设这批头盔获利为w元， ， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∵，且m为整数， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：进A型号17个，B型号的33个获利最多． 39．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年2月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ (3)如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是________． 【答案】(1)9万元 (2)共有5种进货方案，方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆．方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆．方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆．方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆．方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆 (3)0.5 【分析】（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元，根据题意，得：，求解即可； （2）设购进A款汽车辆．根据题意，得：，解不等式即可的方案； （3）设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得：即可求解； 【详解】（1）解：（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元， 根据题意，得：，解得：． 经检验，时，，所以是是原方程的根且符合题意． 答：今年2月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车辆．根据题意，得： ． 解得：． ∵的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案， 方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆． 方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆． 方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆． 方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆． 方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆； （3）设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得： ． 当时，（2）中所有方案获利相同． 故答案是：0.5． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键． 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）近些年，中国汽车制造业蓬勃发展，国产新能源汽车已经成为全民关注的焦点．小明家打算购置一辆新车用于全家日常出行，但是面对众多品牌和车型，如何选择呢？选择传统燃油汽车还是新能源汽车呢？小明选择了两款万万元区间的燃油车和新能源汽车各一辆做对比研究，假设车辆使用年的总费用购车费用购置税保养费用耗能费用（油费或电费）预计年后的车价，具体数据如下表所示： 车辆类型 购车费用 购置税 年均保养费用 预计年后的车价 款燃油车 万元 元 元/年 万元 款新能源汽车 万元 元 元/年 万元 此外，款燃油车每公里的油费比款新能源汽车每公里的电费多元．当油费和电费均为元时，款新能源汽车的行驶路程是款燃油车行驶路程的倍． (1)款燃油车每公里的油费与款新能源汽车每公里的电费分别是多少元？ (2)设平均每年的行驶路程为公里，使用款燃油车年的总费用为元，使用款新能源汽车年的总费用为元，请分别写出，与之间的关系式，并说明怎样选择更划算． 【答案】(1)款燃油车每公里油费为元，款新能源车每公里电费为元 (2)当平均每年的行驶路程少于公里时，选择款燃油车更划算；当平均每年的行驶路程等于公里时，选择款燃油车和款新能源车一样划算；当平均每年的行驶路程大于公里时，选择款新能源车更划算 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用， （1）依据题意，设款燃油车每公里油费为元，则款新能源车每公里电费元，根据“当油费和电费均为元时，款新能源汽车的行驶路程是款燃油车行驶路程的倍”列分式方程并求解即可； （2）依据题意，根据总费用的公式分别写出和关于的表达式，分别求出当、、时对应的的取值范围即可； 掌握分式方程和一元一次不等式的解法是本题的关键． 【详解】（1）解：设款燃油车每公里油费为元，则款新能源车每公里电费元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是所列分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款燃油车每公里油费为元，款新能源车每公里电费为元； （2）根据题意，得： ，， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：， ∴当平均每年的行驶路程少于公里时，选择款燃油车更划算；当平均每年的行驶路程等于公里时，选择燃油车和款新能源车一样划算；当平均每年的行驶路程大于公里时，选择款新能源车更划算． 分式的综合运算题型06 41．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）已知a，b，c，d为四个不为零的数，且满足． (1)请举出满足条件的a，b，c，d的数； (2)利用（1）中的数判断分式与的数量关系，并证明结论． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查分式的运算性质，熟练分式的运算性质是解题的关键． （1）根据条件，找出满足的四个不同的数a，b，c，d即可； （2）利用（1）中的数判断出，并利用作差法，结合证明即可； 【详解】（1）例如：，，， 满足： （2）当，，，时 ，， ∴． 证明： ∵， ∴， 即， ∴ 即． 42．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 43．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）为美化校园，学校计划开发出两块正方形区域进行绿化，其中区域A比区域B的边长大，且在区域内设置一个面积为的宣传角，宣传角部分铺上地砖不需要绿化，现安排八年一班负责区域的绿化，八年二班负责区域的绿化． (1)若两个班绿化所花费的总费用相等，哪个班绿化的单位面积费用高？请说明理由； (2)学校原计划区域的绿化预算经费是区域的倍，这样两块区域进行绿化的单位面积费用相等，请计算，两块绿化区域的面积． 【答案】(1)八年二班绿化的单位面积费用高； (2)区域的面积为，区域的面积为． 【分析】（）先求出每班的单位面积费用，然后利用分式除法运算即可比较； （）设学校计划区域B的费用为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了分式的运算和分式方程的应用，掌握分式运算法则，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设两个班花费的费用均为元， 则一班的单位面积费用为元，二班的单位面积费用为元， ∵， ∴八年二班绿化的单位面积费用高； （2）解：设学校计划区域B的费用为元， 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 则区域得面积为：，区域的面积为， 答：区域A的面积为，区域B的面积为． 44．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人同时去同一家加油站加号汽油，甲花元所加的油量比乙花元所加的油量少升． (1)求号汽油的单价； (2)甲、乙两人第二次去加号汽油时，单价比第一次少了元升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加号汽油的平均单价是________元/升，乙两次加号汽油的平均单价是________元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，如果每次油价都不相同，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用相关知识说明理由． 【答案】(1)8元/升 (2)7.5； (3)金额，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及分式的混合运算； （1）设号汽油的单价为元升，根据“甲花元所加的油量比乙花元所加的油量少升”，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出甲第一次加油的量，从而得出甲第二次加油的钱，再求平均数即可；求出乙第一次和第二次加油的量，再求平均数即可； （3）求出甲、乙两次加油的平均单价，再作差进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设号汽油的单价为元升，由题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：号汽油的单价为元升； （2）解：由（1）可知，甲第一次加油的量为：（升）， 甲第二次加油所花的钱为：（元）， 甲两次加号汽油的平均单价是：（元升）； 乙第一次加油的量为：（升）， 乙第二次加油的量为：（升）， 乙两次加号汽油的平均单价是：（元升） （3）解：如果每次油价都不相同，建议按相同金额加油更合算，理由如下： 设甲、乙两人同时去同一家加油站加两次号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次元升，第二次元升，且，甲每次总是加汽油升，乙每次总是加汽油元， 由题意得：甲两次加油的平均单价为（元升）， 乙两次加油的平均单价为（元升）， 且＞，＞， 甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高， 如果每次油价都不相同，建议按相同金额加油更合算， 故答案为：金额． 45．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 46．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若 为“十字分式方程”，则______；______． (2)若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解； （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 故答案为：，； （2）解：由已知得，， ∴； （3）解：原方程变为， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴． 47．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）在分式运算中，有时候逆用运算法则可以使问题得到简化，例如：由，反过来可以得到，从而把一个复杂的分式转化为两个分式的差，使计算更为简便，利用这种转化的思想解决下面问题： (1)计算： (2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第n次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1) (2)这水不能倒完；理由见解析 【分析】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系． （1）将变形为求解即可； （2）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：这水不能倒完；理由如下： 由题意可得：第次倒出水量：， ∴前次总共倒出水量为： ， ∵， ∴这水不能倒完． 48．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）【发现问题】一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，…，第次倒出的水量是的…． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的1L水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水侧出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为： 【解决问题】 (1)容器中的1L水　　　　（填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了30次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，的值． 【答案】(1)不能 (2)此时倒出水的总量为 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把，代入后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这水不可以倒完． 故答案为：不能； （2）解：当时， 此时倒出水的总量为． （3）解：由题可知：，． 原式 ． 49．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故的值为． (1)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式和整体代入的方法求得式子的值，最后再取倒数即可； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到，将所求的分式取倒数计算出结果，进而可求出原式的值． 【详解】（1）由知， 所以， 即， 所以 所以 故：的值为． （2）因为，，， 所以， 所以， 所以， 故，的值为． 【点睛】本题考查了分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，完全平方公式的变形求值，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 不等式综合运算题型07 50．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）新定义：二元一次方程（其中，是常数，，是未知数），若，则称这个方程为“完美”方程，规定、此时称为“完美值”．例如：是“完美”方程，，是“完美”方程，，此时“完美值”．若，则称这个方程为“团结”方程，规定，此时称为“团结值”．例如：是“团结”方程，，即，，方程是“团结”方程，，此时“团结值”． 试解决下列问题： (1)判断是“团结”方程吗？并说明理由； (2)若，满足方程组，判断二元一次方程是“完美”方程还是“团结”方程？求出对应的的平方根； (3)老师让学生们举出一个“完美”方程或“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明溜号了，没有听清是什么方程．只记住方程的相关特征：①，②是负整数，请你帮小明求出符合条件的值． 【答案】(1)是“团结”方程，理由见解析 (2)二元一次方程是“完美”方程，的平方根是 (3)符合条件的值为或 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握二元一次方程组的解法及一元一次不等式组解法是解题的关键． （1）由题意可得，根据“团结”方程定义即可求解； （2）先求出，得到方程，进而根据定义判断并求出求出c即可； （3）分两种情况：方程若是“完美”方程或“团结”方程，分别列不等式组解决即可． 【详解】（1）解：方程， ， ， 是“团结”方程； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 方程组的解是， 则二元一次方程为， ， ， 二元一次方程是“完美”方程， ， 则的平方根是； （3）解：方程若是“完美”方程， 则由题意得：， 解得： 符合条件的负整数b为； 方程若是“团结”方程， 则由题意得：， 解得： 符合条件的负整数b为； 综上所述，符合条件的值为或． 51．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． （1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，解得：； （2）解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，即， ∵，是正整数， ∴为1或4或2， ∴或或； （3）解：，解得：， ∵不等式P和不等式Q是同解不等式， ∴， ，解得：， ∴， ∴，即，， ∴，即， ∴， ∴解得：， 即关于的不等式的解集为． 52．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法，根据新定义运算的含义把二次不等式化为一次不等式组是解本题的关键； （1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得①或②，解不等式组即可； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得①或②，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负” 有①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以一元二次不等式的解集是或； （2）， 由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 有①或②， 解不等式组①得：， 解不等式组②无解， 所以不等式的解集是． 53．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可） （3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】（1）①；（2）；（3） 【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得； （3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】解：（1）解不等式组得， 解①得：，，故①是不等式组的关联方程； 解②得：，不在内，故②不是不等式组的关联方程； 解③得：，不在内，故③不是不等式组的关联方程； 故答案为：①； （2）解不等式组得： 因此不等式组的整数解可以为， 则该不等式的关联方程为． 故答案为：． （3）解方程得，，解方程得，， 不等式组，得：， 由题意，和是不等式组的解， ， 解得， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 不等式与函数综合应用题型08 54．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出值即可； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出，继而，设点坐标为，则，建立方程求出值，即可得到点坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 将，，代入得：， 解得：， ∴，； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴等式的解集为； （3）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 在中，当时，， ， ∴， ∴， ， 设点坐标为，则， ， ， 解得：或， 或． 55．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）平面直角坐标系中，平移直线得到直线，且经过点． (1)求k和b的值； (2)当时，直线上的点都在直线的上方，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据题意一次函数为，代入，根据待定系数法即可求得； （2）把代入代入，得，根据点结合图象即可求得． 【详解】（1）一次函数的图象平行于直线， ， 函数图象经过点， ． ； （2）把代入代入，得， 把代入，得，解得， 当时，直线上的点都在直线的上方， ． 56．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点． (1)求点的“友好点”坐标； (2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度； (3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标； (4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)或； (4)或． 【分析】本题主要考查了三角形的面积、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由“友好点”的意义进行计算可以得解； （2）依据题意得，由点求出它的“友好点”，再根据轴，即可判断得解； （3）依据题意，由“友好点”的意义求出，结合轴，可得、坐标，再由三角形的面积为2，求出高，进而可以判断得解； （4）依据题意，设，设，再根据“友好点”的意义，求、，又，且点在过且与轴平行的直线上，进而画出图形，结合，可求出的长，最后分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，由“友好点”的意义， ，． 的“友好点”为； （2）解：由题意得，， 又，， 的“友好点”为． ， ∴轴． ； （3）解：由题意，的“友好点”为， ． ∵轴， ． ． ，． ． 设点到直线的距离为． ， ．． ． 故当点在直线右侧时，； 当点在直线左侧时，． 或； （4）解：由题意，点在轴上， 可设． 又点在轴上，设， ， 点的“友好点”为点， ． ，． ， 点在过且与轴平行的直线上． 如图，设点，过作轴交直线于点，则点在直线上，连接， ． ． ． ． ． 连接，则． 当点在线段上时，， 若点在点左侧，则， ， ． ． 当点在点右侧时， ， ， ． 综上所述，或． 57．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 58．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点的坐标为，则称点为点的“伴动点” (1)已知点，则点的“伴动点”的坐标为______； (2)已知点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行时，此时的值为______； (3)已知点，点与它的“伴动点”所在的直线与轴交于点， ①若、、三点中有一点是连接其他两点所得线段的中点时，求的值； ②点坐标为，以原点为中心作正方形，当线段与正方形的边有公共点（含端点）时，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①若是中点，；若为中点，；若为中点，；②或 【分析】本题考查了坐标与图形，不等式组，坐标中点的定义，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据“伴动点”的定义求解即可； （2）根据题意可得，即可求解； （3）①分三种情况：若为中点，若为中点，若是中点，根据中点坐标列方程即可求解；②分两种情况讨论：当点、在轴的正半轴时，当点、在轴的负半轴时，根据线段与正方形的边有公共点（含端点），列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：点， ，， ，， 点的“伴动点”的坐标为， 故答案为：； （2）点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行， ， 解得：， 故答案为：； （3）①若为中点，， 解得：； 若为中点，， 解得：； 若是中点，， 解得：； 综上所述，的值为或或； ②点， ， 当点、在轴的正半轴时，， 解得：； 当点、在轴的负半轴时，， 解得：； 综上所述，的取值范围或． 59．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点B为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点B的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关． 【提出问题】如图，设两点的距离为y，点B 所表示的数为x，那么y是x的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：y表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点B在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：如果y是x的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为：___________； (2)①补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②观察图象，请至少写出该函数的两条性质； (3)①若点在该函数的图象上，求a的值； ②依据图象，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)①见解析；②函数关于直线对称；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；y的最小值0 (3)①或；② 【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及求函数解析式、描点绘图、解绝对值方程和数形结合解不等式，解题的关键是数量掌握绝对值的意义和数形结合思想的应用． 根据题意给定的距离表达式，结合绝对值的意义即可求得答案； ①将给定的点代入求得对应的函数值，利用描点法绘图即可；②结合图像得出其性质即可； ①根据题意得，利用绝对值的意义解方程即可；②在（1）中的平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合（1）可得可能得范围，联立方程即可求得交点，结合图像即可求得x的范围． 【详解】（1）解：根据题意得，当点B在点A右侧时，即时，距离为，当点B在点A左侧时，即时，距离为，则； 故答案为：； （2）解：① x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 4 … ②函数关于直线对称； 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； y的最小值0； （3）①点在该函数的图象上 或 ②在（1）中的平面直角坐标系中，画出函数的图象． 当时，由图象可知直线在直线的上方，因此不存在使的x值． 当时，由图象可知，存在使成立的x值． 设直线与的交点为B． 解方程组 解得， ∴点 当时， 的解集为． 60．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）， （3）① ②存在，或或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间，即可求解； ②分三种情况：当时， 当时， 当时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）观察图象知，不等式的解集是， （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：，不等式的解是 （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间， 联立两个一次函数得：， 解得：，即点， 令，则，即点； 故不等式组的解集为； ②存在，理由： 令，则，解得：， ∴ ∵ ∴ 设点， ∴，， 分三种情况：I）当时， ∴ 解得： ∴或， II）当时， ∴ 解得：，（舍去） ∴ III）当时，过点P作轴于D， ∴， ∴ ∴， ∴ 综上，或或或． 61．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．       (1)如图1，作直线，在轴上有一点，若的面积为2，求点的坐标； (2)如图1，若在第一象限上存在一点M，M的坐标为，满足，求的取值范围； (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式列方程即可解答； （2）分两种情况：由M的坐标为，得到，，当点M在直线的下方时；当点M在直线的上方时：再求得与a的关系式，解不等式组即可解答； （3）连接，过点D作轴于点M，作轴于点N，根据可推出，结合可得到，求得，由得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵的面积为2， ， 解得，， 则点的坐标为或； （2）解：∵ M的坐标为， ∴，， 如图，当点M在直线的下方时，过M作轴于H， ， 又， 即， 解得， 又， ； 如图，当点M在直线的上方时，过点M作轴于点H， ， 又， 即， 解得：； 综上所述，a的取值范围为或； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 连接，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∵点在线段上，即，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得： ， (舍去)， ∴， ， ∴ ， ， ， ∵ ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，解不等式组，解方程平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． 63．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为 　 　． (2)若点的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）依据点的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解； （3）点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【详解】（1）解：点的“3阶智慧点”的坐标为， 即坐标为； （2）解：∵点， ∴点B的“a阶智慧点”为． 又∵在第三象限， ∴， 解得 ， ∵a取整数， ∴； （3）解：∵点， ∴点C的“阶智慧点”为． ∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或． 解得 或 ． 【点睛】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． 64．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） (3)请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 【答案】(1)-1，1 (2)见解析 (3)①>-1，②4或-6，③-5<x<3 【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）根据函数图像和性质解决． 【详解】（1）解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1. 故答案为：-1，1． （2）函数图像如图所示， （3）①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为4或-6时，y=2； ③解不等式|x+1|<4的结果为-5<x<3． 故答案为：>-1，4或-6，-5<x<3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键． 65．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点． 例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）． （1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 　 　； （2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）． ①求△OPQ的面积； ②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 　 　； （3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的距离中最大值为m+8，求m的值． 【答案】（1）（0，﹣3）；（2）①8，②或；（3）或． 【分析】（1）根据定义代入相关点Q坐标（2m﹣x，﹣y）计算即可； （2）①根据定义代入相关点Q坐标（2m﹣x，﹣y）列方程即可求出m和P、Q坐标，由此求出三角形面积； ②构造图形根据A（x，6）的位置用x表示出△APQ的面积，列不等式求解即可； （3）根据定义可得点P（﹣m﹣3，4）的相关点Q坐标，由到y轴的最大距离为m+8列方程即可解答． 【详解】解：（1）当m＝1时，点P坐标为（2，3）， 则：2m﹣x=2-2=0，-y=-3， ∴点Q坐标为（0，﹣3）， （2）若点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），则且它的相关点Q坐标为（2m，﹣y）， 又相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）． ∴，解得：， ∴ ∴P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4）， ①如图1，过Q点作NQ垂直于y轴，垂足为N，由图可知：OP=4，NQ=4， ∴ ②点A在y轴左侧时，如图1，过点A作AT⊥x轴，过点Q作TQ⊥y轴，AT、TQ交于点T，TQ交y轴于N， ∵A（x，6），P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4）， ∴，,，，， ∵，即， ∴，即， ∵△APQ的面积大于△OPQ的面积， ∴， ∴， 当点A在y轴右侧时，如图2，过点A作AM⊥y轴，过点Q作NQ⊥y轴，垂足分别为M、N， ∵A（x，6），P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4）， ∴，,，，， ∵，即， ∴，即， ∵△APQ的面积大于△OPQ的面积， ∴， ∴， 综上所述：存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，x的取值范围为：或． （3）∵2m-(-m-3)=3m+3 ∴点P（﹣m﹣3，4）的相关点Q坐标为（3m+3，-4）， I、当Q坐标到y轴的距离为最大值m+8时， 则， 解得：或． 若，则P点坐标为，Q点坐标为， 此时P、Q两点到y轴的距离最大值为， 若，则P点坐标为，Q点坐标为， 此时P、Q两点到y轴的距离最大值为， II、若P坐标到y轴的距离为最大值m+8时， 则：， 解得：． 若，则P点坐标为，Q点坐标为， 此时P、Q两点到y轴的距离最大值为，不合题意舍去； 综上所述：或时Q点到y轴的距离为最大值m+8． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形和一元一次不等式应用，解题关键是理解相关点定义，灵活运用相关知识解决问题，难点是构造图形求三角形面积和分类讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$