精品解析：河北省衡水市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出求导公式、导数运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合条件即得. 【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种). 故选：D. 3. 一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 5. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】由，有， 故选：B 7. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 【答案】D 【解析】 【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可. 【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB， C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种； 如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法； 所以满足题意的不同的涂色方法有种. 故选：D. 8. 将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列的前50项和为（ ） A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到数列的前50项和中有中元素46个，中元素4个，再求即可. 【详解】由题知：中第50个数为，第41个数为， 因为，， 则数列的前50项和中含中元素46个，含中元素4个， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. X的数学期望 D. X的方差 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定，即可判断A；由此可计算，即可判断B；利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C，D. 【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数， 知，故A正确； ，故B错误； X的数学期望，故C正确﹔ X的方差，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则是等差数列 B. 若为等差数列，则成等差数列 C. 若为等比数列，则“，”是“”的充分不必要条件 D. 若是公比为的等比数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质、求和公式逐个判断即可. 【详解】对于A，若为等差数列，设公差为， 则， 所以， 所以， 所以为等差数列，故A正确； 对于B，若成等差数列，则成立， 所以，即， 所以，而不恒成立，故B错误； 对于C，为等比数列，若“，”则“”，所以充分性成立； 当等比数列的公比为1，若成立，不一定成立， 例如，但，所以必要性不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，若为等比数列，公比为， 当时，则前项和为， 所以， 当时，，所以， 综上：，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 【详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______.（用数字作答） 【答案】5 【解析】 【分析】先得出的展开式的通项为.分为从中选择1，以及选择，分别求出的展开式中含以及含的项，即可得出答案. 【详解】的展开式的通项为. 从中选择1，则需求的展开式中含的项， 由可得，，此时有； 从中选择，则需求的展开式中含的项， 由可得，，此时有. 所以，的展开式中含的项为. 故答案为：5. 13. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲、乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法种数为_____. 【答案】260 【解析】 【分析】先将丙安排在一所学校，再分甲、丙在同一所学校，或甲、丙不在同一所学校，或乙与丙在同一所学校，或乙与丙不在同一所学校分类计算即可. 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为校）， 分别对应有1（3人均在校）、（2人在校，另1人随便排）、 （1人在校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1，2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故答案为：260 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知展开式中前三项系数成等差数列. （1）求n的值； （2）判断展开式中是否存在含的项.若有，则求出含的项；若没有，请说明理由. 【答案】（1）8 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由二项展开式通项公式及等差数列构造等式求解即可； （2）由通项公式即可求解. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 由题意可得，前三项项系数：1，，成等差数列， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 令，解得， 因为，所以不存在含的项. 16. 已知函数的图象经过点． （1）求曲线在点A处的切线方程； （2）求曲线经过坐标原点的切线方程． 【答案】（1）； （2）和． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可; （2）设切点坐标，然后利用导数的几何意义即可. 【小问1详解】 依题意可得，则， ∴， ∵， ∴， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 设过原点的切线方程为，则切点为， 则消去k，整理得， 解得或，有或． 故所求方程为和． 17. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值； （2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是， 整理得到，解得． 若2个全是大集团，共有种情况； 若2个全是小集团，共有种情况； 故全为小集团的概率为． 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为， 计算，，， ，； 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，于是， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，； 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值； （2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围； （3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，可得， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 当时，所以， 函数在单调递增，则， 所以不等式恒成立， 当时， ， 所以函数在单调递增，， 所以不等式恒成立， 当时，令，， 令，， 存在，使得，在，，则在上单调递减，， ，，则在上单调递减，， 即在，，则在上单调递减， 又，故不等式不恒成立， 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 要证，即证， 只需证明，即证， 令，则需证， 令， 求导， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 3. 一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.8 D. 0.9 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 8. 将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列的前50项和为（ ） A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. X的数学期望 D. X的方差 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则是等差数列 B. 若为等差数列，则成等差数列 C. 若为等比数列，则“，”是“”的充分不必要条件 D. 若是公比为的等比数列，则 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______.（用数字作答） 13. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 14. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲、乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法种数为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知展开式中前三项系数成等差数列. （1）求n的值； （2）判断展开式中是否存在含的项.若有，则求出含的项；若没有，请说明理由. 16. 已知函数的图象经过点． （1）求曲线在点A处的切线方程； （2）求曲线经过坐标原点的切线方程． 17. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $