2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习必考考点2—— 整式乘法

2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习 必考考点2—— 整式乘法 【知识点一】整式乘法的混合运算 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】下列式子中，计算结果为x2+3x﹣10的是（　　） A． （x+2）（x+5） B．（x+2）（x﹣5） C．（x﹣2）（x+5） D．（x﹣2）（x﹣5） 【例4】将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【例5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例6】先化简，再求值：，其中． 【知识点二】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例1】若，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【例2】若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为　　 A．3 B．2 C．0 D． 【例3】若（x2+ax+2）（2x﹣2）的结果中不含x项，则a的值为（　　） A．0 B．2 C． D．﹣2 【例4】多项式不含项，则的值为 ． 【例5】已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)在（）的条件下，求的值． 【例6】已知的展开式中不含项和项，求： （1），的值； （2）的值。 【知识点三】乘法公式的运用 【例1】如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【例2】若是一个完全平方，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例3】已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【例4】用乘法公式计算： （1） （2） 【例5】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值为．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当a为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； （3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【例6】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【知识点四】找规律在乘法公式中的运用 【例1】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 【例2】仔细观察，探索规律： 则（   ） A． B． C． D． 【例3】观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　　 ． 【例4】观察下列各式： ①32－12＝4×2； ②42－22＝4×3； ③52－32＝4×4； …… （1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （用含n的字母表示）； （2）若式子a2－b2＝2020满足以上规律，则a＝ ，b＝ ； （3）计算：20＋24＋28＋……＋100． 【例5】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　　 ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）． 【例6】杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 答案解析 【知识点一】整式乘法的混合运算 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例2】下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【例3】下列式子中，计算结果为x2+3x﹣10的是（　　） A．（x+2）（x+5） B．（x+2）（x﹣5） C．（x﹣2）（x+5） D．（x﹣2）（x﹣5） 【答案】C 【例4】将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【例5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【例6】先化简，再求值：，其中． 【答案】原式         当时，     ． 【知识点二】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例1】若，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【例2】若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为　　 A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【例3】若（x2+ax+2）（2x﹣2）的结果中不含x项，则a的值为（　　） A．0 B．2 C． D．﹣2 【答案】B 【例4】多项式不含项，则的值为 ． 【答案】2 【例5】已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)在（）的条件下，求的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【例6】已知的展开式中不含项和项，求： （1），的值； （2）的值。 【答案】（1） 展开式中不含和项 且 解得，． （2） 把，代入原式 【知识点三】乘法公式的运用 【例1】如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【答案】B 【例2】若是一个完全平方，则的值为（　　） B． B． C． D． 【答案】A 【例3】已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】C 【例4】用乘法公式计算： （1） （2） 【答案】（1）原式； （2）原式 ． 【例5】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值为．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当a为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； （3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）； （2）2，22；（3）a=-2，b=1，20 【例6】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【知识点四】找规律在乘法公式中的运用 【例1】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） B． B． C． D． 【答案】B 【例2】仔细观察，探索规律： 则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【例3】观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　　 ． 【答案】﹣220 【例4】.观察下列各式： ①32－12＝4×2； ②42－22＝4×3； ③52－32＝4×4； …… （1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （用含n的字母表示）； （2）若式子a2－b2＝2020满足以上规律，则a＝ ，b＝ ； （3）计算：20＋24＋28＋……＋100． 【答案】（1）（n+2）2-n2=4（n+1）； 故答案为（n+2）2-n2=4（n+1）； （2）∵2020=4×505=4（n+1）， ∴n=504， a=n+2=506， b=n=504， 故答案为：506，504． 506，504； （3）解：原式=4×5+4×6+4×7+……+4×24+4×25 =62-42+72-52+82-62+……+252-232+262-242 =-42-52+252+262 =252-52+262-42 =30×20+30×22 =1260． 【例5】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　　 ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）． 【答案】（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案是B； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ∴12＝4（x﹣2y） 得：x﹣2y＝3； ②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）（1）（1） ． 【例6】杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$