2024—2025学年北师大版数学八年级下册综合练习（1）

北师大版数学八年级下册 期末综合复习（4） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．2025年蛇年春晚主题是“巳巳如意，生生不息”，并据此设计了“巳巳如意纹”．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中（仅图形部分），既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．云纹 B．盘长纹 C．凤鸟纹 D．如意纹 2．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（　　） A．七 B．八 C．九 D．十 3．以下列各组线段作为三角形的三条边长，能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．1，4，5 D．2，3，13 4．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b 5．若a+b＝0，ab＝﹣11，则a2+b2的值是（　　） A．﹣11 B．11 C．﹣22 D．22 6．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．x＜0 D．x＜1 7．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B．40 C．40 D． 8．如图，将四边形ABCD绕点O按顺时针方向旋转90°得到四边形A'B'C'D'，下列结论一定正确的是（　　） A．OA＝OB′ B． C．∠AOC＝∠C′OC D．∠B′C′D′＝∠B′OC 9．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且E，F分别是BC和CD的中点，连接AC，若AE＝AF＝3，则△AEF的面积等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．把多项式2mx2﹣8m分解因式的结果是　 　 ． 12．如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠ADE＝　 　 °． 13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　 　 ． 14．若关于x的方程3有增根，则m的值是 　 　 ． 15．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB＝4，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，点E、F分别是对角线BD，边BC上的动点，且DE＝2BF．若M是AB的中点，N是EF的中点，则MN的最小值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．化简：（）． 17．（1）解不等式2x+1＞3（2﹣x），并将不等式的解集表示在数轴上． （2）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（﹣1，1），（﹣5，1），（﹣2，5）． （1）以y轴为对称轴，将△ABC作对称变换得△A1B1C1，再以x轴为对称轴，将△A1B1C1作对称变换得△A2B2C2，画出△A2B2C2； （2）直接写出△ABC和△A2B2C2的对称中心坐标 　 　 ； （3）在所给的网格图中确定一个格点D，使得射线BD平分∠ABC，直接写出点D的坐标 　 　 ． 19．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF． 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形． 21．【阅读材料】 教材中把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式：x2+2x﹣3： x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3﹣1＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． ②求多项式2x2+4x﹣3的最小值： 2x2+4x﹣3＝2（x2+2x）﹣3＝2（x2+2x+1）﹣3﹣2＝2（x+1）2﹣5． ∵2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣5≥﹣5， ∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣3有最小值，最小值是﹣5． 【解决问题】 （1）按照上述方法分解因式：x2﹣4x+3； （2）多项式3x2+6x+k的最小值为4，请求出k的值； （3）若实数a，b满足﹣2a2+7a+2b＝12，请求多项式a﹣2b的最值． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE∥CD，且AE交BC于点E，BD平分∠ABC． （1）求证：AB＝CE． （2）若AB＝BE＝6，∠BAD＝120°，求四边形ABCD的周长． 23．如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC． （1）求证：四边形BEDG是平行四边形； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC． 24．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． （1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 25．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D B D B C C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2m（x+2）（x﹣2）． 12．70． 13．3． 14．2． 153． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：原式• • • ． 17．解：（1）2x+1＞3（2﹣x） 去括号，得：2x+1＞6﹣3x， 移项，得：2x+3x＞6﹣1， 合并同类项，5x＞5， 解得：x＞1． 在数轴上表示为： ； （2）， 解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得x＜2， 在数轴上表示为： ； ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2． 18．解：（1）如图，△A2B2C2即为所求． （2）连接AA2，BB2，CC2，相交于点O， ∴△ABC和△A2B2C2关于点O中心对称， ∴△ABC和△A2B2C2的对称中心坐标为（0，0）． 故答案为：（0，0）． （3）取格点M，使BM＝BC＝5，连接CM，取CM的中点D2，作射线BD2经过的格点分别记为D1，D3，D4，D5， ∴点D1，D2，D3，D4，D5均满足题意， ∴点D的坐标为（﹣3，2）或（﹣1，3）或（1，4）或（3，5）或（5，6）． 故答案为：（﹣3，2）或（﹣1，3）或（1，4）或（3，5）或（5，6）． 19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF，∠ODE＝∠OBF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF 20．证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， 即△AEF为等腰三角形． 21．解：（1）x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3）； （2）3x2+6x+k ＝3（x2+2x+1）﹣3+k ＝3（x+1）2+（k﹣3）， 因为3（x+1）2≥0， 所以3x2+6x+k的最小值为k﹣3， 因为3x2+6x+k的最小值为4， 所以k﹣3＝4， 得：k＝7； （3）﹣2a2+7a+2b＝12， 即2b＝2a2﹣7a+12， a﹣2b ＝a﹣（2a2﹣7a+12） ＝﹣2a2+8a﹣12 ＝﹣2a2+8a﹣8﹣4 ＝﹣2（a﹣2）2﹣4， 因为（a﹣2）2≥0， 所以﹣2（a﹣2）2≤0， 所以﹣2（a﹣2）2﹣4≤﹣4， 所以a﹣2b的最大值是﹣4． 22．（1）证明：∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE＝AD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴AB＝CE． （2）解：由（1）知：CE＝AD＝AB＝6， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝6， ∵四边形AECD是平行四边形， ∴DC＝AE＝6， ∴四边形ABCD的周长＝AD+AB+BE+CE+CD＝6×5＝30． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC， ∴，， ∴∠ADG＝∠CBE， ∴△ADG≌△CBE（ASA）， ∴∠AGD＝∠CEB，BE＝DG， ∴180°﹣∠AGD＝180°﹣∠CEB， ∴∠DGE＝∠BEG， ∴BE∥DG， ∵BE＝DG， ∴四边形BEDG是平行四边形； （2）解：如图，过E作EH⊥BC于点H， ∵▱ABCD的周长为28， ∴， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EH＝EF＝5， ∴35． 24．解：（1）设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需（x+5）万元， 由题意得：2， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴x+5＝65， 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）设购进A种机器人m个，则购进B种机器人（100﹣m）个， 由题意得：， 解得：60≤m≤75， 设利润为w元， 由题意得：w＝60×15%m+65×（1）（100﹣m）＝﹣4m+1300， ∵﹣4＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝60时，w有最大值＝﹣4×60+1300＝1060， 此时，100﹣m＝40， 答：最大利润为1060元，对应的购进方案为购进A种机器人60个，B种机器人40个． 25．解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE， 在△BCE和△CBK中， ， ∴△BCE≌△CBK（SAS）， ∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD， ∵CE＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠ADF+∠AEF＝180°， ∴∠A+∠EFD＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°； （2）结论：BF+CF＝2CN． 理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°， ∵AE＝BD， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF＝60°， ∴∠BFC＝120°， 如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ， ∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ， ∴△CNM≌△QNF（SAS）， ∴FQ＝CM＝BC， 延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PBC（SAS）， ∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$