精品解析：2025年广东省湛江市雷州市第五中学集团九年级联考三模数学试题

雷州五中集团九年级联考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，积的乘方，整式的加法，完全平方公式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据整式的乘法，积的乘方，整式的加法，完全平方公式一一判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、、不是同类项，不可以合并项，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 3. 中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中恰好有一幅是哪吒图像的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法求概率，解题的关键是利用列表法列出所有情况，然后利用概率公式进行求解． 【详解】解：分别将4个动画人物图像从左到右用来表示， 利用列表法列出所有情况如下： 共有12种情况，满足条件的有6种情况， 故其中恰好有一幅是哪吒图像的概率为：， 故选：B． 4. 据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过100000人次和17000辆次，同比增长、，均处于历史最高位．其中“170000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解： 故选：D． 5. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵直线，， ∴， ∵直线， ∴． ∴． 故选：A． 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，，得， 要使得，只需，即：一次函数在的图象的下方， 由函数图象可知，关于x的不等式的解集为， 故选：C． 7. 反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ ； 故选：A． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由折叠的性质得，，，，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选： A． 10. 如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在射线BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要研究与重叠部分面积和之间的函数关系．需要分情况讨论：当时，重叠部分就是，通过相似三角形和的性质求出的面积表达式，发现是二次函数且抛物线开口向上，随增大而增大，时取得最大值．当时，重叠部分是四边形，其面积通过的面积减去的面积得到．同样利用相似三角形和以及和的性质求出面积表达式，是二次函数且抛物线开口向下，进而确定最大值及函数图象．本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质．解题关键在于根据的取值范围分情况讨论重叠部分的形状，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，进而得到面积表达式，再依据二次函数的系数判断开口方向、求最值，从而确定函数图象． 【详解】解：当时，与重叠部分的面积为的面积． ，即， 解得． ． ， ∴抛物线开口向上．当时，S随x的增大而增大．当时，S有最大值，最大值为4．当时，与重叠部分的面积为四边形的面积，如图所示．由，则． ， ． ，即， 解得． ． ， ∴抛物线开口向下．当时，S有最大值．观察图象可知只有C符合题意， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使内有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根二次根式被开方式为非负数得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，解得， 则内有意义的的取值范围是， 故答案为： 12. 已知，，，把绕点C逆时针旋转至处，此时，的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由三角形内角和定理可得，再根据两直线平行配套同旁内角互补求出，由旋转的性质可知，，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 故答案为：． 13. 学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为_____________同学将被录取． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：甲的总成绩为， 乙的总成绩为， ∵， ∴乙同学被录取， 故答案为：乙． 14. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，，即， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数、整式的运算、分式的化简． （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值化简，再计算乘法，最后计算加减，即可作答； （2）先算括号里的，再算除法，然后化简，即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）设此方程的两个根为与，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式； （1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据即可求出k的值． 【小问1详解】 解：由题意得： 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴，即，解得： 18. 近期，国产大模型强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着、、豆包、讯飞星火等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 学生对国产大模型应用场景的了解情况 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）估计全校“比较了解”和“基本了解”国产大模型的应用场景的一共有多少人？ 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如图所示： （3）1650人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，再用360度乘以C的人数占比即可得到答案； （2）求出B的人数，再补全统计图即可； （3）用全校人数乘以样本中全校“比较了解”和“基本了解”国产大模型的应用场景的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为； 【小问2详解】 解：比较了解的人数为（人） 【小问3详解】 解：（人）， ∴全校“比较了解”和“基本了解”国产大模型的应用场景的共约有1650人． 19. 烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出两种套餐，套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； （1）求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ （2）每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的套餐数量是套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件种套餐？最大利润为多少？ 【答案】（1）烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元 （2）25件，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设烩面的价格为元，小份凉菜的价格为元，根据两种套餐价格列出方程组，通过代入消元法求解； （2）设每天准备种套餐件，则准备种套餐件，根据条件列出不等式确定的取值范围，再根据利润关系列出函数关系式，根据函数性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设烩面的价格为元，小份凉菜的价格为元． 根据题意可得， 由第一个方程得，代入第二个方程得， 解得：， 将代入得． 所以烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元； 【小问2详解】 解：设每天准备种套餐件，则准备种套餐件． 根据题意可得， 解得： ， ∵， ∴， ∵为整数， ∴， ∴， ∵套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜， ∴套餐利润为元，套餐利润为元， 设利润为， ∴． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，此时元， 此时件． ∴餐馆每天应准备25件种套餐，最大利润为元． 20. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）在中，分别令即可求得A，B的坐标，从而求得的长； （2）过点E作轴于M，构造“型全等”即可求得点E的坐标； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，这样构造了“型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （4）分三种情况考虑，构造“型全等”即可求得点D的坐标． 【详解】解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 故答案为：4，2； （2）过点E作轴于M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图， 则， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为：， ∵直线过点A、C， ∴，解得：， 即直线的解析式为：； （4）存在 对于，令，得；令，得； ∴； ①当为正方形的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N； 则， ∵， ∴； ∵；， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C， 即点D的坐标为； ③当为正方形的对角线时，如图， 过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H， 同理可证明， ∴， 显然点D落在第一象限，设， 则，， 由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论思想． 21. 如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若是直径且，求的长． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， ， ，AB是直径， ， 在和中，， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握有关性质是解题的关键． （1）先求得，可得，再证得，在和中，，可得，从而得出，即可求证； （2）先求得，再求得，证明是等边三角形，再由可得，再由勾股定理求得，再证明是直角三角形，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：DF是直径，由（1）知 ， 又 ， 又， 是等边三角形， 又 ， ， 是直径， ， 是直角三角形， 又G是AC的中点， ． 22. 如图，在矩形中，E，F分别是 上的点，沿着将四边形折叠使得点D落在上，对应线段为与交于点P． （1）如图1，求证：． （2）G是的中点． ①如图2，若，求的长． ②如图3，若点P是的中点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知． ， ∴． ． （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）由矩形和折叠的性质得到由折叠可知．再证明，据此可证明结论； （2）①由矩形的性质得到．则．由折叠的性质可得，，则，由勾股定理，得即．解得，则． 证明．解得，据此可得答案． ②如图，连接，延长交于点Q．设，则．证明．得到．则，．由勾股定理得，则可得到．进而可求出，证明．得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；①四边形是矩形， ． G是的中点， ． 由折叠的性质可得，，则， 在中，由勾股定理，得，即． 解得， ∴． 由（I）知， ∴． ，即， 解得． ． ②如图，连接，延长交于点Q． 设，则． 由折叠的性质可得， ， ∴， P是的中点， ． 又， ． ∴． ， ∴． 在中，， ∴． 在中，． ， ． 又， ∴． ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； （3）若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）的最大值的， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，解方程组后求出和的值，进而得到抛物线表达式和点的坐标； （2）确定直线的解析式，设出点的坐标，进而表示出点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于点点横坐标的函数表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值及此时点的坐标； （3）先求出抛物线的对称轴和点坐标，再根据抛物线平移规律得到新抛物线表达式，设出点坐标，通过相似三角形等知识结合求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，， ∴， 解得：， ∴， 当时，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为，点的坐标为； 【小问2详解】 如图，过点作轴的垂线，垂足为，交轴于点，设， 则点的横坐标为． 设直线的解析式为，过点，， ∴，，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，且点的横坐标为， ∴将代入，得：， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴开口朝下且， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∵原抛物线为：， ∴向左平移个单位后为：， 当时，得：， ∴， 当点在下方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点在的上方时， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（不合题意舍去）或， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的面积，二次函数图象平移的规律，相似三角形的判定和性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州五中集团九年级联考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中恰好有一幅是哪吒图像的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过100000人次和17000辆次，同比增长、，均处于历史最高位．其中“170000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 2 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 10. 如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在射线BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使内有意义的的取值范围是______． 12. 已知，，，把绕点C逆时针旋转至处，此时，的大小为________． 13. 学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为_____________同学将被录取． 14. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ______ 15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）设此方程的两个根为与，若，求k的值． 18. 近期，国产大模型强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着、、豆包、讯飞星火等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 学生对国产大模型应用场景的了解情况 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）估计全校“比较了解”和“基本了解”国产大模型的应用场景的一共有多少人？ 19. 烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出两种套餐，套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； （1）求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ （2）每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的套餐数量是套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件种套餐？最大利润为多少？ 20. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若是直径且，求的长． 22. 如图，在矩形中，E，F分别是 上的点，沿着将四边形折叠使得点D落在上，对应线段为与交于点P． （1）如图1，求证：． （2）G是的中点． ①如图2，若，求的长． ②如图3，若点P是的中点，连接，求的值． 23. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； （3）若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $