第1章 整式的乘除 章节测试卷 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第1章《 整式的乘除》章节测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的值是（    ） A． B． C．1 D． 3．已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．5 D．9 4．已知是完全平方式，则的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 5．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 6．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．若……，则A的值是（ ） A．0 B．1 C． D． 9．如图，将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（    ）      A． B． C． D． 10．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（    ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．已知，则x＝ 12．已知，则的值是 ． 13．如果(3m＋n＋3)(3m ＋n－3)＝40，则3m ＋n的值为 ； 14．如果.那么 15．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ． 16．现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分）化简： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 20．（8分）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3 （1）填空：E(3，27)＝　 　，E＝　 　 （2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20) 21．（8分）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式：______． (2)仿照上面的材料，试证明：． (3)拓展运用：计算． 22．（8分）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式是 ； （2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）． 23．（8分）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值，”通常的解题方法是把看作未知数，看作已知数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以.则. 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，试求的值； (2)6张如图1的长为，宽为的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，如果当的长度变化时，始终保持不变，则应满足的关系是什么？ 【能力提升】 (3)在(2)的条件下，用6张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片(都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙，无重叠拼接)，则当的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少(用含的代数式表示)？并求出此时的的值. 参考答案 1． 选择题 1．C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 2．A 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，通过积的乘方的逆运算，同底数幂乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算把原式变形为是解题的关键． 【详解】解： ， 故选A． 3．B 【分析】观察式子的特征，然后运用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：因为， 那么方程同时进行平方运算，即， 根据积的乘方法则得，， 则， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 即 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二项和的乘方的展开，根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和， ∴的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1， ∴的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1， ∴的展开式中，含项的系数是． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解． 【详解】拼成的长方形的面积， ， ， ∵拼成的长方形一边长为， ∴另一边长是． 故选：C． 7．A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 8．D 【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可 【详解】…… …… …… 故选D 9．A 【分析】根据题中已知线段长度，结合图形，数形结合表示出阴影部分面积，按要求求差即可得到答案． 【详解】解：两个正方形的边长分别为和（），且长方形中边的长度分别为， 在图1中，； 在图2中，； ， ， ， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的个数为4个； 故选D． 二．填空题 11．3 【分析】利用同底数幂乘法的逆运算求解即可． 【详解】∵， ∴，即：， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．3 【分析】先根据幂的乘方的逆运算法则求出，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求出，从而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 13．±7 【分析】利用平方差公式得到（3m+n）2﹣32＝40，然后根据平方根的定义计算3m+n的值． 【详解】解：∵（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40， ∴（3m+n）2﹣32＝40， ∴（3m+n）2＝49 ∴3m+n＝±7． 故答案为：±7． 14．-1 【分析】根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解. 【详解】解：， 故答案为-1 15． 【分析】把变为，整理成，利用完全平方公式进行因式分解得到即可得到答案；把变为，整理成，利用完全平方公式进行因式分解得到，即可得到答案． 【详解】解： ； ， ∵， ∴， 故答案为：；． 16．1：6 【分析】先求出图②中阴影部分的面积，由此可求出图③中阴影部分的面积，再根据图③可得到a=3b，由此可求出图③中整个图形的面积，然后求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比． 【详解】解：如图②种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2． 如图③可知 3a+3b=4a ∴a=3b ∴S阴影部分=（3b-b）2=4b2; ∴图③中S阴影部分=3×4b2=12b2; 图③中整个图形的面积为：4a×（a+3b）=12b（3b+3b）=72b2； ∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b2：72b2=1：6． 故答案为：1：6． 三．解答题 17．（1）解：， ∴， 解得：； （2）， ， 即， ， 解得． 18．解： ， 把，代入，则原式． 19．（1）解：（1） ； （2）（2） 当，时，原式． 20．解：（1）∵ ∴E（3，27）=3； ∵   ∴   故答案为：3；4； （2）设E（3，4）=x，E（3，5）=y， 则   ∴   ∴E（3，20）=x+y， ∴E（3，4）+E（3，5）=E（3，20）． 21．（1）43=64转化为对数式为：3=log464， 故答案为：； （2）证明：设，则， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴， 即 (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)． （3） = =1． 22．（1）看图可知， （2） （3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 23．（1） ∵此代数式的值与无关，则，解得： （2）设 令左上角矩形面积为，右下角矩形面积为， ∵当的长度变化时，的值不变 ∴的取值与无关 ∴ 即 （3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积 由(2)知： ∴ 因为大正方形的边长一定是的整数倍 ∴是平方数 ∵都是正整数 ∴最小是25，即 ∴，或，或， 此时 则当的值最小时，拼成的大的正方形的边长为，此时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$