1.3全等三角形的判定（4）HL（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.3全等三角形的判定（4）HL 题型一、直角三角形的判定方法：HL 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 题型二、用HL需要添加的条件 4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，于点于点，且，若利用“H.L.”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 题型三、用HL证明直角三角形全等 7．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知，求证：． 8．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 10．（21-22八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD． 11．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 题型四、利用HL和全等的性质证明角相等 12．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 13．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 题型五、利用HL和全等的性质求角的度数 14．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 15．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 题型六、利用HL和全等的性质求线段的长度 17．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，． (1)求证： (2)若，求线段的长． 题型七、利用HL和全等的性质证明线段相等 20．（19-20八年级上·四川自贡·期中）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)试猜想与的大小关系，并说明理由． 21．（22-23八年级上·山东威海·期中）如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 题型八、利用HL和全等的性质证明线段之间的位置关系 22．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：    (1)； (2)． 23．（23-24八年级上·广西河池·阶段练习）如图，A、E、F、C四点在同一直线上，，过E、F分别作，，且． 求证： (1)； (2)平分． 24．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，四边形中，，，，与相交于点F．    (1)求证： (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 题型一、证明线段之间的数量关系 25．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，F是上的一点，，的延长线于点E，． (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 26．（2019九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      27．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，平分，于点． (1)求证：； (2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由． 题型二、直角三角形的全等与动点问题 28．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 29．（15-16八年级上·全国·课后作业）如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 题型三、灵活利用全等的条件证明三角形全等 30．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD． (1)如图1，求证：AC＝BD； (2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）． 31．（21-22八年级上·湖北恩施·期末）小晓在进行三角形全等的探究时提出命题： ①“两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等” ②“两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等” (1)以上命题是真命题的有________﹔（填序号） (2)请选择一个真命题及与之匹配的图形，补充完整已知、求证，然后证明． 我选择的命题是：________，（填序号） 已知：如图________（填序号），与中，________； 求证：________； 证明： 题型四、全等与倍长中线模型 32．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 题型五、全等与旋转模型 33．（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 题型六、全等与垂直模型 34．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3） 在（2）的条件下，若，，求的面积． 35．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A．14 B．12 C．9 D．7 36．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 38．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 39．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 40．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）证明命题：如果两个直角三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．画出图形，写出已知，求证，并证明． 41．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，中，于点D． (1)求证：； (2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 42．（24-25八年级上·江西·阶段练习）八年级数学学习小组的同学们在讨论这样一道题： 如图所示，是钝角，分别在上，且．试说明：． 其中一个同学的解法是这样的： 在和中， 所以，所以． (1)你认为这种解法正确吗？为什么？ (2)小明同学想到了另一种解法，他说可以作垂线段构造直角三角形来证明全等．请你按照小明的思路进行证明． 43．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3全等三角形的判定（4）HL 题型一、直角三角形的判定方法：HL 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是， 故选：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据可证明，据此解答即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 题型二、用HL需要添加的条件 4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴要根据“”证明，还应添加一个条件是， 故选：D． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，于点于点，且，若利用“H.L.”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定， 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等可得答案． 【详解】解：在和中， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 6．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（或） 【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， ，， 当或时，． 故答案为：（或）． 题型三、用HL证明直角三角形全等 7．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴． 8．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--，熟记定理内容是解题关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【详解】证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴． 10．（21-22八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD． 【答案】证明见解析 【分析】由题意可知和都为直角三角形，即可直接利用“HL”证明． 【详解】证明：∵AD是的高， ∴，即和都为直角三角形． ∴在和中 ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键． 11．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 题型四、利用HL和全等的性质证明角相等 12．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）如图，延长与交于点，由（1）可知，得出，再根据对顶角，得到，得出，从而得出，即可证出． 【详解】（1）证明：是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质知识点，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等． 利用＂HL＂判定直角三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等来证明． 【详解】证明：、分别是两个钝角和的高， 且，， ， ， ， ． 题型五、利用HL和全等的性质求角的度数 14．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 15．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得 【详解】（1）证明：∵，为延长线上一点， ∴ 在和中， ， ∴()． （2）∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 16．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【详解】（1）， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 题型六、利用HL和全等的性质求线段的长度 17．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值． 【详解】（1），， 且，， 在与， ， ． （2）， ，， ． 18．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，． (1)求证： (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等，是解题的关键． （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， 即 ， 在和中 ，     ，   ， ， ． 题型七、利用HL和全等的性质证明线段相等 20．（19-20八年级上·四川自贡·期中）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据可证明； （2）根据证明可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21．（22-23八年级上·山东威海·期中）如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可； （2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得． 【详解】（1）全等，理由如下： ∵ ， ∴ ， 在与中 ∴ （2），理由如下： 在与中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在与中 ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型． 题型八、利用HL和全等的性质证明线段之间的位置关系 22．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；    （2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【详解】（1）， ． 又，， ； （2）为中点， ． ，， ，   ． 由（1）得， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 23．（23-24八年级上·广西河池·阶段练习）如图，A、E、F、C四点在同一直线上，，过E、F分别作，，且． 求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求出，推出，根据证，可得即可得出答案； （2）由推出，然后根据即可证即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ∴， ， ； （2）证明：， ， ∵在和中， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 24．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，四边形中，，，，与相交于点F．    (1)求证： (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据即可证明． （2）根据得到，结合得到，即可得结论． 【详解】（1）解： 在和中， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型一、证明线段之间的数量关系 25．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，F是上的一点，，的延长线于点E，． (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据已知条件用证两个直角三角形全等即可； （2）由（1）中的结论可得，再结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，的延长线于点E， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴． 26．（2019九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【答案】详见解析 【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论． 【详解】如图，过点作与点，则， ，， ， ，， ，， ， ，， ∵， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 27．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，平分，于点． (1)求证：； (2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）先由角平分线的性质得，再由证明即可； （2）先由得，，再由已知得，进而可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）．理由如下： 由（1）可知：， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 题型二、直角三角形的全等与动点问题 28．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 【答案】当的长为5或10时，和全等 【分析】本题考查全等三角形的判定，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时： ∵，， ∴； 当时： ∵，， ∴； 综上：当的长为5或10时，和全等． 29．（15-16八年级上·全国·课后作业）如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质等知识，根据题意分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ，即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ，即， 当点与点重合时，才能和全等， 综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等． 题型三、灵活利用全等的条件证明三角形全等 30．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD． (1)如图1，求证：AC＝BD； (2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）． 【答案】(1)见解析 (2)△DFB≌△AFC，△DCB≌△ABC，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD． 【分析】（1）利用SAS证明△BOD≌△AOC，即可证明AC=BD； （2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形． 【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD， ∴∠BOD=∠AOC， ∵OA=OB，OC=OD， ∴△BOD≌△AOC， ∴AC=BD； （2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD， ∴OA=OB=OC=OD， ∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°， 由（1）得△BOD≌△AOC， ∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA， 在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF， 又∠DFB=∠AFC，BD=AC， ∴△DFB≌△AFC(AAS)， 在△DCB和△ABC中， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB， ∴∠ABC=∠DCB， ∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB， ∴∠BAC=∠CDB， ∵AB=CD， ∴△DCB≌△ABC(ASA)， 同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 31．（21-22八年级上·湖北恩施·期末）小晓在进行三角形全等的探究时提出命题： ①“两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等” ②“两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等” (1)以上命题是真命题的有________﹔（填序号） (2)请选择一个真命题及与之匹配的图形，补充完整已知、求证，然后证明． 我选择的命题是：________，（填序号） 已知：如图________（填序号），与中，________； 求证：________； 证明： 【答案】(1)①、② (2)见解析 【分析】（1）根据两个命题的描述通过推理论证即可判断两个命题都为真命题． （2）任选其中一个命题，根据命题的描述，将文字语言转化为几何语言再进行证明即可． 【详解】（1）解：根据描述判断命题①与命题②均为真命题． （2）解：选择命题①； 如图（1） 已知，，分别是与的中线，且， 求证：． 证明：∵， 分别是与的中线，且， ∴． ∴． ∴， ∴． 选择命题②； 如图（2） 已知，，分别平分 ，且． 求证：． 证明：∵， 分别平分，且， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是中线的性质，角平分线的定义以及全等三角形的综合应用，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 题型四、全等与倍长中线模型 32．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 题型五、全等与旋转模型 33．（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型六、全等与垂直模型 34．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 35．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A．14 B．12 C．9 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，得到，最后利用求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 36．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形的判定推出，得到，，进而得到，得到，再利用即可求解． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 37．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键；分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置．②，此时，、重合． 【详解】解：①当时， ， 在与中， ， 即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， 即， 当点与点重合时，才能和全等． 综上所述，或． 故答案为：或． 38．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；证明，即可判断①②③，证明可得，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵在和中，，，， ∴ ∴，，故①正确 ∴，即故②③正确 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴，而 ∴，故④不正确， 故答案为：①②③． 39．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 40．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）证明命题：如果两个直角三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．画出图形，写出已知，求证，并证明． 【答案】见详解 【分析】依题意，先画出图形，写出已知，然后根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． 【详解】已知：如图，和中，，，于，于，． 求证：． 证明：于，于， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， 41．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，中，于点D． (1)求证：； (2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由直角三角形的性质可得，，从而得出再由“”可证，可得，再证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 42（24-25八年级上·江西·阶段练习）八年级数学学习小组的同学们在讨论这样一道题： 如图所示，是钝角，分别在上，且．试说明：． 其中一个同学的解法是这样的： 在和中， 所以，所以． (1)你认为这种解法正确吗？为什么？ (2)小明同学想到了另一种解法，他说可以作垂线段构造直角三角形来证明全等．请你按照小明的思路进行证明． 【答案】(1)不正确，因为边边角不能判定三角形全等 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）由不能判定两个三角形全等可作出判断； （2）过B、C两点分别作的垂线，垂足分别为F，G，构造全等三角形，然后利用推知，所以由全等三角形的对应角相等证得结论． 【详解】（1）解：不正确，因为边边角不能判定三角形全等 （2）证明：因为是钝角，故过B、C两点分别作的垂线，垂足分别为F，G， 在与中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 43.．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$