1.3全等三角形的判定（3）SSS（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.3全等三角形的判定（3）SSS 题型一、全等三角形的判定条件：SSS 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由证明，即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：． 2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知条件结合公共边，即可根据证明两三角形全等． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 3．（2019·广西·二模）如图，通过尺规作图得到的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ， 故选A． 题型二、用SSS判定需要满足的条件 4．（23-24七年级下·陕西·期末）如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据可判定． 【详解】∵，， ∴当时，根据可判定； 故选：C． 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理推导即可． 【详解】解：∵和中，，， ∴利用“”判定的条件是或． 故选：B． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明的方法选择添加的条件． 先根据线段中点的定义得到，，则用“”证明需要添加． 【详解】解：点是，的中点， ，， 当添加时，． 故答案为：． 题型三、利用SSS证明三角形全等 7．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴． 8．（22-23八年级上·吉林·期末）如图，、为上两点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据题意得出，即可求解． 【详解】， ， 即， 在和中， ． 9．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 10．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 题型四、SSS与实际问题 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）我区的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，就能保证伞圈能沿着伞柄滑动．已知，．求证：点必定在上． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意确定出全等三角形以及全等的条件是解题的关键，根据确定全等的条件进行判定，即可得解． 【详解】解：证明，如下： 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角， ∴点必定在上． 13．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，请先说明与全等的理由，再说明平分的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可根据“”得到三角形全等，进而问题可求解 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型一、先添加条件再证明三角形全等 14．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 15．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 题型二、利用SSS和全等的性质证明角相等 16．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：已知点B、E、F、C在同一条直线上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点在同一直线上，点为线段上方两点，连接、与交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，利用证明 ，利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明： ， ， ， 在 和中， ， ∴ 即： ． 题型三、利用SSS和全等的性质求角的度数 18．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的的判定与性质、外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，根据外角的定义得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解： 设、相交于点， ， ， 又，， ， ， ． 20．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点在一条直线上，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），平分交于点，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和外角关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明即可求证； （2）利用全等三角形的性质、角平分线和外角关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 平分， ， ∵， ． 题型四、利用SSS和全等的性质证明线段相等 21．（19-20八年级上·山东·单元测试）已知，如图，，在上，且，，，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，推出，再证明，得到，进而得到，即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与互相平分． 22．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，点在上，，，，相交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边等知识，先证，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，四边形，，，于点E，于点F．与相等吗？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．在和中，利用即可证明，则；再证明，有． 【详解】解：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型五、全等三角形与筝形问题 24．（24-25八年级上·广西河池·期末）两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图1，在筝形中，，，，相交于点O． (1)求证：． (2)如图2，在筝形中，过点A作交于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识 （1）证明，则．由是等腰三角形即可得到； （2）由（1）知得到．由平行线的性质得到，则，得到，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 25．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）仪器，如图①，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接．    (1)求证：平分； (2)如图②，在中，，．若点、分别是边、上的动点（点不与点、重合，点不与点、重合），当四边形为“筝形”时，求出的度数． 【答案】(1)证明见详解； (2)的度数为或． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理： （1）根据边边边判定即可得到，即可得到证明； （2）根据三角形内角和定理得到，分两类①，及②，两类讨论，结合三角形全等即可得到答案． 【详解】（1）证明：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，． ∴， 当，时， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，    当，时， 同理可得，    ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 26．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 27．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，得到是的角平分线是解题的关键． 利用基本作图得出是角平分线的作图，通过证明，以及等腰三角形三线合一，以及，即可判断各选项． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能得出， ∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意， 故选：C． 28．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；由可证，得到，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由甲的作法可知，点到的距离相等， ∴点在的角平分线上， 即平分，故甲对； 由乙的作法可知，，， ， ∴， ∴即平分，故乙对； 综上，甲、乙都对， 故选：． 29．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过可得出，即可判断①；根据可得，，再通过外角和定理即可得出，即可判断②；根据已知条件无法得出，即可判断③；根据可得，再根据，，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 32．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 33．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解； （2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． 34．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：如图，和的边与相交于点，连接，且，，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）利用证明，得到，即可求证； （）由得，进而由可得，即可证明，得到，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 35．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角，可证明结论； （2）根据，可以证得，进而得出结论． 【详解】（1）证明：如图：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)① ② ③ ④ (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）利用、判定定理即可得以证明； （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，再利用三角形判定定理证明即可解答． 【详解】（1）解：， ， ①， D、分别为BC、中点， ②，③， ， ，， ④； ① ② ③ ④． （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3全等三角形的判定（3）SSS 题型一、全等三角形的判定条件：SSS 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（2019·广西·二模）如图，通过尺规作图得到的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 题型二、用SSS判定需要满足的条件 4．（23-24七年级下·陕西·期末）如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 题型三、利用SSS证明三角形全等 7．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 8．（22-23八年级上·吉林·期末）如图，、为上两点，，，，求证：． 9．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 10．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 题型四、SSS与实际问题 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）我区的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，就能保证伞圈能沿着伞柄滑动．已知，．求证：点必定在上． 13．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，请先说明与全等的理由，再说明平分的理由． 题型一、先添加条件再证明三角形全等 14．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 15．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 题型二、利用SSS和全等的性质证明角相等 16．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，，，，求证：． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点在同一直线上，点为线段上方两点，连接、与交于点．求证：． 题型三、利用SSS和全等的性质求角的度数 18．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且． (1)求证：； (2)求的度数． 20．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点在一条直线上，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），平分交于点，求的度数． 题型四、利用SSS和全等的性质证明线段相等 21．（19-20八年级上·山东·单元测试）已知，如图，，在上，且，，，求证：与互相平分． 22．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，点在上，，，，相交于点．求证：． 23．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，四边形，，，于点E，于点F．与相等吗？请说明理由． 题型五、全等三角形与筝形问题 24．（24-25八年级上·广西河池·期末）两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图1，在筝形中，，，，相交于点O． (1)求证：． (2)如图2，在筝形中，过点A作交于点E．若，，求的长． 25．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）仪器，如图①，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接．    (1)求证：平分； (2)如图②，在中，，．若点、分别是边、上的动点（点不与点、重合，点不与点、重合），当四边形为“筝形”时，求出的度数． 26．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A． 只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 29．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 30．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 31．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 32．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 33．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 34．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：如图，和的边与相交于点，连接，且，，． (1)求证：平分； (2)求证：． 35．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$