1.3全等三角形的判定（2）ASA、AAS（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.3全等三角形的判定（2）ASA、AAS 题型一、用ASA需要满足的条件 1．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，相交于点O，，当添加条件 时，可由“角边角”判定． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，， 再添加条件 可以用定理判定； 题型二、全等三角形的判定条件：ASA 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点在的外部，点在边上，交于点．若，，，则（　　） A． B． C． D． 题型三、用ASA证明三角形全等 9．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，与相交于点，连接，，，求证： 10．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，，，．求证：． 11．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 题型四、ASA的实际应用问题 12．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点出发，在平面镜上的处反射后，恰好经过木板的边缘点落在墙上的点处、点到地面的高度米，、到平面镜的距离相等．图中点在同一条直线上，则灯泡到地面的高度为 米；你的数学根据是 ． 14．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，使，量得点P到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离． (1)请判断和是否全等？若全等，请说明理由； (2)求楼高的长度． 题型五、全等三角形的判定条件AAS 15．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 题型六、用AAS证明两个三角形全等 17．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 18．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，点、在上，，，． 求证：． 题型一、用ASA或AAS和全等的性质证明角相等 20．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，点在上，，．求证：． 题型二、用ASA或AAS和全等的性质求角的度数 22．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知中，，，且平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三、用ASA或AAS和全等的性质求线段的长度 24．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F．若，，，则线段的长为 ． 25．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 26．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F、C之间不能直接测量），点A、D在直线l的异侧，测得，，若，，求的长度．    题型四、用ASA或AAS和全等的性质证明线段相等 27．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，，，垂足分别为，，且．求证：． 28．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知：在和中，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 29．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 题型五、全等三角形的动点问题 30．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，与相交于点C，厘米，点P从点A出发，沿方向以2厘米/秒的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以1厘米/秒的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．当点P在运动时， 厘米（用含的代数式表示）；当P，Q，C三点共线时，t的值为 31．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ） A．15 B．16 C．18 D．20 32．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 33．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 34．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 35．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使B点落在点E处，其中 ，理由是 ． 36．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 37．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 38．（24-25八年级上·河北邢台·期中）将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系． 已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E． (1)如图1，线段，，之间的数量关系是____________________； (2)如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由； (3)如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积． 39．八年级上·黑龙江绥化·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 40．（九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3全等三角形的判定（2）ASA、AAS 题型一、用ASA需要满足的条件 1．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，相交于点O，，当添加条件 时，可由“角边角”判定． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键． “角边角”是指两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．我们已知，因为对顶角相等，所以．根据“角边角”判定定理，要使，还需要与的夹边和与的夹边相等，即． 【详解】解∶ ，， 由“角边角”判定，需要添加条件是∶． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 【详解】解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，，再添加条件 可以用定理判定； 【答案】或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，添加条件即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴当添加或时，由可得：； 故答案为：或 题型二、全等三角形的判定条件：ASA 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，可确定三角形的形状和大小，即可． 【详解】解：A、，，，的大小不能确定，不符合题意； B、，，， 的形状和大小不能确定，不符合题意； C、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意； D、，，，根据可以判定，的形状和大小能确定，符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能和全等的是乙、丙， 故选：B． 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点在的外部，点在边上，交于点．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据证明，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选；D． 题型三、用ASA证明三角形全等 9．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，与相交于点，连接，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由与相交于点，得到，根据即可证明结论． 【详解】证明：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，由得，再用证即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 11．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】解：， ，， 在和中， ， ． 题型四、ASA的实际应用问题 12．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选C． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点出发，在平面镜上的处反射后，恰好经过木板的边缘点落在墙上的点处、点到地面的高度米，、到平面镜的距离相等．图中点在同一条直线上，则灯泡到地面的高度为 米；你的数学根据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据得到，可证，得到即可得到答案． 【详解】解：根据题意得法线垂直镜面，且， ， ，， （米） 故答案为： ，． 14．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，使，量得点P到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离． (1)请判断和是否全等？若全等，请说明理由； (2)求楼高的长度． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 由题意得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， 由（1）得，， ， 楼高的长度为． 题型五、全等三角形的判定条件AAS 15．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判断，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中： ， ∴； 故选B． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理． （1）根据全等三角形的判定定理得出即可； （2）根据全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：． 题型六、用AAS证明两个三角形全等 17．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 18．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由可得，根据，可得，即可得证． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，点、在上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由得，再用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型一、用ASA或AAS和全等的性质证明角相等 20．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，根据，得到，再结合，得到，即可得到答案． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明三角形全等是关键；由题意用即可证明，从而有对应角相等． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴． 题型二、用ASA或AAS和全等的性质求角的度数 22．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据推出即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴（） （2）解：∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 23．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知中，，，且平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)70度 【分析】（1）要求证：可以先根据角角边定理证明，再根据全等三角形性质得出结论； （2）根据，得，再由三角形内角和求出． 【详解】（1）（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴，    ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键． 题型三、用ASA或AAS和全等的性质求线段的长度 24．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F．若，，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 先证明，再根据全等三角形的性质可得，，即可算出的长． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：2． 25．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F、C之间不能直接测量），点A、D在直线l的异侧，测得，，若，，求的长度．    【答案】 【分析】证明（），得到，进而可得，即可得到答案. 【详解】证明：∵， ∴，， 在与中， ∴（）； ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质；平行线的性质：两直线平行，内错角相等；正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键. 题型四、用ASA或AAS和全等的性质证明线段相等 27．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 根据垂直得到，由平行得到，运用“角角边”可证，由此即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知：在和中，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 先根据平行线的性质得出，根据线段相互间的加减关系求出，结合已知，根据判定三角形全等来求解． 【详解】证明：， ． ， ， ． 在和中 ， ． 29．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键． （1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证． （2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的边上的中线， ， ， ．    在和中, ， ， ． （2）由（1）知， ， ， ， ， ∴． 故． 题型五、全等三角形的动点问题 30．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，与相交于点C，厘米，点P从点A出发，沿方向以2厘米/秒的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以1厘米/秒的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．当点P在运动时， 厘米（用含的代数式表示）；当P，Q，C三点共线时，t的值为 【答案】 8或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、代数式和解一元一次方程的知识，掌握以上知识并会用分类讨论思想是解题的关键．根据题意得：厘米，证明，可得，再证明当P，Q，C三点共线时，，可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：根据题意得：厘米， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 当点P在运动时，厘米，此时， ∴， 解得：； 当点P在运动时，厘米，此时， ∴， 解得：； 综上所述，当P，Q，C三点共线时，t的值为8或． 故答案为：；8或 31．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得，进而根据“”推出，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再由计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，即， ，， ∴， ， ． 故选：C． 32．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 33．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 34．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：24． 35．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使B点落在点E处，其中 ，理由是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由矩形的性质得，由折叠得，则，而，即可根据全等三角形的判定定理证明，于是得到问题的答案 【详解】解：四边形是长方形， 由折叠得， 在和中， 故答案为：；． 36．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， ， ； ②，， 则，， 解得：，， 故答案为：或． 37．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 38．（24-25八年级上·河北邢台·期中）将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系． 已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E． (1)如图1，线段，，之间的数量关系是____________________； (2)如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由； (3)如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)不成立，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，，再结合，即可得解； （2）证明得出，，再结合，即可得解； （3）由（2）结论可知，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （2）解：不成立； 理由：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）结论可知，， ． 39．（八年级上·黑龙江绥化·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． （1）①根据，得出，从而得出，再利用即可证明；②由全等三角形的性质可得，，即可得证； （2）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得证； （3）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 40．（九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）成立，见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：成立，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$