专题03 整式的运算（考题猜想，易错压轴必刷72题24种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

专题03 整式的运算（易错压轴必刷72题24种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 整式的加减运算 · 题型二 整式加减的应用 · 题型三 同底数幂的乘法 · 题型四 幂的乘方 · 题型五 积的乘方 · 题型六 科学记数法 · 题型七 单项式乘法 · 题型八 多项式乘法 · 题型九 多项式乘法的化简求值 · 题型十 多项式乘多项式与图形面积 · 题型十一 整式乘法混合运算 · 题型十二 乘法公式 · 题型十三 乘法公式与几何图形 · 题型十四 乘法公式的变形求值 · 题型十五 同底数幂的除法 · 题型十六 零指数幂与负整数指数幂 · 题型十七 整式除法 · 题型十八 幂的运算新定义问题 · 题型十九 多项式乘法中的规律性计算 · 题型二十 多项式乘法与几何图形综合 · 题型二十一 乘法公式与几何图形综合 · 题型二十二 整式除法压轴 · 题型二十三 配方法 · 题型二十四 乘法公式新定义问题 题型一 整式的加减运算 1．化简： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 2．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式 ． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求． （2）把与的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意可得，污损不清的部分为： ； （2）解：当时，原式． 3．计算与化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简，熟练计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算括号内的加减运算，再算乘法，最后计算加减即可； （2）先去括号，再加减即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 题型二 整式加减的应用 4．某中学计划在该校的劳动基地修建一个面积为的菜地，菜地周围用篱笆围起来，数学小组成员莉莉和帅帅设计了如下两种方案． 莉莉：修建一个正方形菜地： 帅帅：修建一个长方形菜地，长是宽的4倍． 请通过计算比较哪个设计方案修建的菜地所需篱笆更短．（篱笆接头处长度不计） 【答案】莉莉的方案所需篱笆更短． 【分析】本题考查了列代数式与整式的加减，求代数式的值等知识；由题意可求出正方形边长，从而求得正方形的周长；设长方形菜地的宽为，则可表示长方形的长为，从而可表示出长方形的周长，根据面积求出x的值，即可长方形的周长，比较两个周长即可． 【详解】解：由于，即正方形的边长为，其周长为； 设长方形菜地的宽为，则长方形的长为， 由题意得，即，则， 所以长方形的周长为：， 而， ∴莉莉的方案所需篱笆更短． 5．阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然． 【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41． (1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______； (2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； 【答案】(1)340；34 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义在数字问题中的应用，涉及整式的加减运算，有理数的运算，正确理解“明礼数”和“修身数”的定义是解题的关键． （1）根据“明礼数”和“修身数”的定义计算即可得到答案； （2）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，作差进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 30的“明礼数”是340，30的“修身数”是， 故答案为：340，34； （2）证明：设的十位数字为，个位数字为， 则其“明礼数”为：，“修身数”为：， 它们的差为：， 对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除． 6．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 【答案】(1)米 (2)5580元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则． （1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解： 米， 即护栏的总长度为米； （2）解：当时， 元， 建此停车场所需护栏的费用为5580元． 题型三 同底数幂的乘法 7．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 8．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 题型四 幂的乘方 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，根据幂的乘方法则，同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解∶， 故选∶D． 11．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂的乘法，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 因为， 所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 积的乘方 13．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 14．判断能否被9整除，并说明理由． 【答案】能被9整除，理由见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算和同底数幂乘法的逆运算，把先变形为，进一步变形得到，则可最后变形为，据此可得结论． 【详解】解：能被9整除，理由如下： ， ∴能被9整除． 15．计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘‌，据此即可求解； （1）根据积的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （3）根据积的乘方进行计算即可； （4）根据积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 科学记数法 16．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 17．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 18．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 题型七 单项式乘法 19．计算：. 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】解： 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式，积的乘方运算运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了幂的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可； （2）首先计算幂的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型八 多项式乘法 22．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)求的正确结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：甲错把看成了， ， 又， ， ． 乙错把看成了， ， 又， ， ， ． 故，． （2）解：由（1）得， ∴ 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）根据乘法分配律，将括号内的每一个整式都乘以括号外的，接着计算整式的乘法，然后看是否能合并同类项即可； （2）先计算整式的乘法，然后再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 24．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)将，的值代入并化简，求出正确的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意： ， ∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是 ∴， ∴， ， ∵乙错把看成了，得到的结果是， ∴， ∴． （2）解：根据， 可知： 题型九 多项式乘法的化简求值 25．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 本题可先根据多项式乘法法则将式子展开，然后合并同类项进行化简，最后将和的值值代入化简后的式子求值． 【详解】解： 把，代入可得： ． 26．先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】31 【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，涉及完全平方公式和分配律的应用，以及合并同类项．其中正确展开平方项，正确处理减号后的运算符是解题的关键． 利用完全平方公式展开，利用分配律展开乘法项，将展开后的所有项合并进行化简，代入值并计算最终结果． 【详解】解：原式展开并化简得 = = 当时， = ． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 28．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)该小区绿化的总面积S为平方米 (2)元 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积等于大长方形面积减小长方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 平方米， 答：该小区绿化的总面积为平方米； （2）当，时， 平方米， 元， 当完成绿化共需要元钱． 29．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)45 (3)4 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积及一元一次方程的应用，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得 ，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有， 故答案为：； （2）解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即， 故答案为：45； （3）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意： ， ， ， ， ， 即2号卡片的边长为4． 30．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题考查整式混合运算解应用题，涉及整式乘法运算、整式加减运算及代数式求值等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式表示出绿化的总面积，再由整式的乘法运算及整式加减运算法则求解即可得到答案； （2）由（1）知绿化的总面积为，将，代入求解，再乘以绿化成本即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：由（1）知绿化的总面积为平方米， 当，时，原式， 绿化成本为100元/每平方米， 完成绿化工程共需要（元）． 题型十一 整式乘法混合运算 31．（1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查整式的化简，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）先去括号，再合并同类项． （2）先根据乘法分配律去括号，再合并同类项． 【详解】解：（1） ； （2） ． ． 32．计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘法即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 33．已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则． （1）利用整式的乘法求出多项式，再计算即可； （2）先进行整式的乘方和乘法运算，再进行整式的减法即可． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：由（1）得, 题型十二 乘法公式 34．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了单项式乘以单项式、整式的混合运算、利用完全平方公式进行计算等知识， 熟练掌握乘法公式是关键． （1）利用单项式乘以单项式法则计算即可； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可； （3）变形后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 35．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题的关键； （1）利用平方差公式解答即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 36．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算， （1）根据单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项； （2）根据单项式乘以多项式法则计算； （3）根据多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则计算； （4）根据平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：． 题型十三 乘法公式与几何图形 37．如图，有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框，另一根折成正方形铁框．长方形的长为，宽为． (1)用a，b表示正方形的面积． (2)求正方形的面积与长方形的面积之差． (3)七年级上学期我们遇到过这样一个问题：“用同样长的栅栏围长方形，怎样围面积更大？”现在你能回答该问题吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)能，所围成的正方形面积最大，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据长方形的长和宽求出正方形的边长，再求出正方形的面积即可； （2）用正方形的面积减去长方形的面积，求出正方形的面积与长方形的面积之差即可； （3）根据正方形与长方形的面积差为，得出正方形的面积更大． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴正方形的面积为： ； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为： ； （3）解：能；所围成的正方形面积最大； 因为正方形与长方形的面积差为： ， 所以正方形的面积更大． 38．如图所示，现有边长分别为、的正方形、邻边长为和的长方形硬纸板若干． (1)若要用这三类纸板拼成一个长为，宽为的长方形，则长方形面积可表示为______（结果需化简）．其中需要①类纸板________张，②类纸板________张，③类纸板______张； (2)现有①类纸板4张，②类纸板12张，则应至少取③类纸板_______张才能用它们拼成一个新的长方形； (3)已知长方形②的周长为30，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【答案】(1)；；； (2)8 (3)376 【分析】本题主要考查了整式的运算以及完全平方式和几何关系以及应用，解题的关键是熟练掌握用整式的运算法则以及完全平方式的形式． （1）根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答； （2）根据乘法公式，即可进行解答； （3）根据题意可得，，转化为完全平方式即可进行解答． 【详解】（1）解：长方形面积可表示为．其中需要①类纸板张，②类纸板张，③类纸板张； 故答案为：；；；； （2）解：∵或或或， ∴现有①类纸板4张，②类纸板12张，应至少取③类纸板8张才能用它们拼成一个新的长故答案为：8； （3）解：由已知得：，， ∴． 39．在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为a、b、c，，，直接写出c的值为______． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）5 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）由（1）（2）结论可知：，代入数值求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积， ， ， ； （3）在直角中，，三边分别为、、， 由（1）（2）结论可知：， ，， ， ； 题型十四 乘法公式的变形求值 40．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵ 又， ， ∴ ∴， 故选：C． 41．如果，那么的值为（   ） A．10 B．9 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简求值，利用单项式乘多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项，然后利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选A． 42．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要的考查整式的混合运算，先将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 题型十五 同底数幂的除法 43．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 44．已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法、代数式求值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 45．若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 题型十六 零指数幂与负整数指数幂 46．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 47．若三个实数，，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，根据题意得出，根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算将原式化简，代入，即可求解． 【详解】 故答案为：． 48．若实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、负整数指数幂、零指数幂，先根据非负数的性质得出，，再由负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型十七 整式除法 49．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是 ；商的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系， 设三位数为，得到，当，时，得出商的最大值是；因为，得到当时，商最小，商的最小值是；即可得到答案． 【详解】解：设三位数为， 它与其各位数之和的商为， 当，时， 商的最大值是； ， ，分子有最小值，分子有最大值， 当时，商最小，商的最小值是； 故答案为：，． 50．在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 51．学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 题型十八 幂的运算新定义问题 52．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 53．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 54．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 题型十九 多项式乘法中的规律性计算 55．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： … ①仿照上述等式，写出 ； ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立； (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用： ． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)成立，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的规律探索，整式的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （3）根据所得的规律求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和， 则两位数乘法的规律为， 证明：展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和， 则两位数的乘积为， 展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （3）当时，代入得： ， 故答案为：． 56．观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及整式的乘法、有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键． （1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 【详解】（1）由题意可得，第⑤个式子是， 故答案为：； （2）由题意可得规律为， 证明：∵， ， ∴； （3） ． 57．图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2)；；． 【分析】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 题型二十 多项式乘法与几何图形综合 58．数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【答案】(1)见解析，4216 (2)，见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法，多项式乘以多项式的几何应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照例题即可求解； （）根据多项式乘以多项式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由图可得； （2）解：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴该等式成立． 59．“数缺形时少直观，形少数时难入微”．我们通过拼图观察、感受整式乘法和因式分解，体现了“数形结合”的数学思想下．面，我们一起来探索其中的规律． 如图1，有若干张A，B，C三种不同型号的纸片，其中A型纸片是边长为a的正方形，B型纸片是长为a、宽为的长方形，C型纸片是边长为b的正方形．    (1)用上述三种卡片拼出图2，通过两种方法计算图2的面积，可以得到一个等式： ； (2)现有A，B，C三种型号的纸片共6张，用这6张纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，请画出两种符合条件的示意图； (3)现有A，B，C三种型号的纸片若干张，用这些纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张（x、y、z是正整数），写出x、y、z之间满足的等量关系是 ，并请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积： （1）一种方法为拼出图形的长和宽相乘，另一种方法为几种卡片面积之和； （2）1张A型卡片和1张B型卡片拼接，可使长方形的一边长为，再加2个B型、2个C型，或再加2个B型、1个A型、1个C型，即可得到符合条件的图形； （3）观察（2）中图形可得每1个A型或C型卡片，一定需要配合1张B型卡片，才能拼出满足条件的图形，由此可得答案． 【详解】（1）解：图2的面积可以表示为，也可以表示为， 故答案为：； （2）解：      （3）解：x、y、z之间满足的等量关系是，理由如下： 由（2）中图形可得每1个A型或C型卡片，一定需要配合1张B型卡片，才能拼出满足条件的图形， 因此． 60．如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．    (1)根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积． ______________________________ ______________________________ 根据条件你发现关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是____________________________________________________________． (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ①__________；②__________；③__________； (3)由（1）得到的关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用，即可对形如多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解： ①；② 【答案】(1)，， (2)，， (3)， 【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘宽，求得甲的面积；把四个小长方形的面积加起来表示乙的面积；两个面积相等得出等式即可； （2）利用（1）中的等式直接计算即可； （3）利用（1）中的规律因式分解即可． 【详解】（1）解：； ； ∴， 故答案为：；，； （2）解：①， ②， ③； 故答案为：；；； （3）解：①； ②． 【点睛】此题考查多项式的乘法计算公式：，灵活运用公式计算和因式分解． 题型二十一 乘法公式与几何图形综合 61．2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．      (1)通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】(1)①；②，；③；④17 (2)①；②80 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）①根据直角三角形的两边长即可得到结论； ②求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； ③根据②的结果，即可得出答案； ④代入求出即可； （2）①求出大正方体的体积和各个部分的体积，即可得出答案； ②代入①中的等式求出即可． 【详解】（1）解：①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为， 故答案为：； ②图1中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； ③由②知：， 即， 故答案为：； ④∵， ∴， 故答案为：17； （2）解：①图形的体积为或， 即， 故答案为：； ②∵ ∴， 解得：． 62．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．    【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ．      【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；；；（4）；(5) 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用，列代数式和几何体，根据题目中给出的信息进行列式计算是解题的关键． （1）结合图1，可得； （2）由图2得：，代入计算即可； （3）结合图5，可知长方体②的体积，长方体③的体积，则； （4）由（3）可知：； (5)将变形为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）由图1得：， 故答案为：； （2）由图2得：， 即， ，， ， ，，， ， ； （3）根据图4可知：长方体②的体积， 长方体③的体积， 则 ， 故答案为：；；； （4）由（3）可知： ； (5) ， ，， ． 63．数缺形时少直观，形少数时难入微，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）． （1）用若干个图1中的纸片（三种纸片都要取到）来拼成一个长方形，使其面积为，请你画出你所拼出的图形，并根据图形写出一个代数恒等式________； （2）根据由图2能够得到的代数恒等式，完成填空：若，则_______； （3）如图1，若有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，每种纸片至少取一张（三种纸片都要取到），把取出的这些纸片拼成一个正方形，则拼成的正方形边长最长可以是________； （4）小明同学用图1中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则_______； 【应用探究】 （5）如图3，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式________（填写选项）； A．    B．    C．    D． 【知识迁移】 类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． （6）如图4，表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________； （7）如图5，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分，我们可以等积法表示出被切割后的立体图形的体积，根据图5完成填空：_______；（结果不需化简） 【拓展延伸】 （8）已知，请你运用你探索得到的规律求出的值． 【答案】（1）见解析，；（2）90；（3）；（4）12；（5）ABCD；（6）；（7）；（8） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，乘法公式，完全平方式在几何图形中的应用等知识，用代数式表示出图形的面积和体积是解题关键，注意数形结合． （1）根据长方形的长和宽画出图形，再根据长方形的面积即可得到恒等式； （2）根据图2正方形的面积，得到恒等式，即可计算求值； （3）已知3张A类纸片的面积为，6张B类纸片的面积为，10张C类纸片的面积为，结合完全平方公式，即可得到答案； （4）将多项式乘多项式展开，得到、、的值，再代入计算即可； （5）根据图形可知，大正方形的边长，小正方形的边长，进而得出的值，再结合完全平方公式和平方差公式判断即可； （6）分别表示出左边图形体积和右边图形体积，即可得到答案； （7）分别表示出剩余立体图形切割分成三部分的体积，即可得到答案； （8）由（7）恒等式可得：，进而将变形为，再将代入计算求值即可． 【详解】解：（1）拼出图形如下： 由图形可知，拼成后的长方形面积可表示为为，也可表示为， ， 故答案为：； （2）由图2可知，正方形的面积进而表示为，也可表示为， ， ， ， ， 故答案为：90； （3）已知3张A类纸片的面积为，6张B类纸片的面积为，10张C类纸片的面积为， ， 拼成的正方形边长最长可以是， 故答案为：； （4）， ，，， ， 故答案为：12； （5）大正方形的边长为m，小正方形的边长为n， 四个相同形状的长方形的面积和为， x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长， ， ， A选项正确； 由图形可知，大正方形的边长，小正方形的边长， B选项正确； ， C选项正确； ， D选项正确， 故答案为：ABCD； （6）左边图形体积棱长为x的正方体体积棱长为2的小长方体体积， 右边图形体积长宽高的长方体体积， 故答案为：； （7）由图形可知，剩余立体图形切割分成三部分的体积分别为、、， ， 故答案为：； （8）由（7）恒等式可得：， ， ， ． 题型二十二 整式除法压轴 64．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 65．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 【答案】(1)， (2)①3；②9 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、完全平方公式、多项式乘法与图形面积、整式的四则混合运算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接根据图2、图3列代数式即可； （2）①由题意可得、、，然后根据完全平方公式求值即可；②先求出，然后根据完全平方公式求值即可； （3）先根据图2、图3列代数式表示出，然后根据整式的四则混合运算求出，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：当正方形的边长为x时， 图2中阴影部分的面积：； 图2中阴影部分的面积：； 故答案为：，． （2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26， ∴，即， ①， ∴． ② ． （3）解：，理由如下： 当正方形的边长为x时， 由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：， 由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：， ∴ ， ∵， ∴． 66．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型二十三 配方法 67．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 68．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 69．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种： (2) (3)16 【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答； （2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：第一种：； 第二种：； 第三种：； （2），， ， ， ， ，， ； （3）， ， ， ， ， 解得． 当，时，代数式的最小值是． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题． 题型二十四 乘法公式新定义问题 70．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 71．定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 【答案】（1），；（2），；（3）②成立，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了新定义的理解和应用，整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据新定义，列出等式，即可求出和的值； （2）根据新定义，列出等式，进而求出和的值； （3）根据新定义，列出等式，即可求出成立； （4）根据新定义，列出等式，即可求出的值； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：，； 故答案为：， （2）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：， （3） ②成立，理由如下： 根据题意可得， 即； 整式，为常数0的“相关整式”， ，， ，， ， ； ②成立； （4）根据题意可得， 则， 整式，，为常数0的“相关整式” ， ； 72．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． $$ 专题03 整式的运算（易错压轴必刷72题24种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 整式的加减运算 · 题型二 整式加减的应用 · 题型三 同底数幂的乘法 · 题型四 幂的乘方 · 题型五 积的乘方 · 题型六 科学记数法 · 题型七 单项式乘法 · 题型八 多项式乘法 · 题型九 多项式乘法的化简求值 · 题型十 多项式乘多项式与图形面积 · 题型十一 整式乘法混合运算 · 题型十二 乘法公式 · 题型十三 乘法公式与几何图形 · 题型十四 乘法公式的变形求值 · 题型十五 同底数幂的除法 · 题型十六 零指数幂与负整数指数幂 · 题型十七 整式除法 · 题型十八 幂的运算新定义问题 · 题型十九 多项式乘法中的规律性计算 · 题型二十 多项式乘法与几何图形综合 · 题型二十一 乘法公式与几何图形综合 · 题型二十二 整式除法压轴 · 题型二十三 配方法 · 题型二十四 乘法公式新定义问题 题型一 整式的加减运算 1．化简： 2．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式 ． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 3．计算与化简： (1) (2) 题型二 整式加减的应用 4．某中学计划在该校的劳动基地修建一个面积为的菜地，菜地周围用篱笆围起来，数学小组成员莉莉和帅帅设计了如下两种方案． 莉莉：修建一个正方形菜地： 帅帅：修建一个长方形菜地，长是宽的4倍． 请通过计算比较哪个设计方案修建的菜地所需篱笆更短．（篱笆接头处长度不计） 5．阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然． 【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41． (1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______； (2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； 6．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 题型三 同底数幂的乘法 7．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是 ． 9．探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 题型四 幂的乘方 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则的值是 ． 12．计算 (1)； (2)． 题型五 积的乘方 13．计算的结果是 ． 14．判断能否被9整除，并说明理由． 15．计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 题型六 科学记数法 16．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 17．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 18．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 题型七 单项式乘法 19．计算：. 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： (1)； (2)． 题型八 多项式乘法 22．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)求的正确结果． 23．计算： (1)； (2)． 24．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)将，的值代入并化简，求出正确的结果． 题型九 多项式乘法的化简求值 25．先化简，再求值：，其中，． 26．先化简，再求值，其中． 27．先化简，再求值：，其中，． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 28．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 29．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 30．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 题型十一 整式乘法混合运算 31．（1）化简：； （2）化简：． 32．计算题 (1)； (2)． 33．已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 题型十二 乘法公式 34．计算： (1)； (2)； (3)． 35．用乘法公式计算： (1)； (2)． 36．计算： (1) (2) (3) (4) 题型十三 乘法公式与几何图形 37．如图，有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框，另一根折成正方形铁框．长方形的长为，宽为． (1)用a，b表示正方形的面积． (2)求正方形的面积与长方形的面积之差． (3)七年级上学期我们遇到过这样一个问题：“用同样长的栅栏围长方形，怎样围面积更大？”现在你能回答该问题吗？ 38．如图所示，现有边长分别为、的正方形、邻边长为和的长方形硬纸板若干． (1)若要用这三类纸板拼成一个长为，宽为的长方形，则长方形面积可表示为______（结果需化简）．其中需要①类纸板________张，②类纸板________张，③类纸板______张； (2)现有①类纸板4张，②类纸板12张，则应至少取③类纸板_______张才能用它们拼成一个新的长方形； (3)已知长方形②的周长为30，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 39．在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为a、b、c，，，直接写出c的值为______． 题型十四 乘法公式的变形求值 40．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B．1 C． D．3 41．如果，那么的值为（   ） A．10 B．9 C．4 D． 42．已知，则的值是 ． 题型十五 同底数幂的除法 43．已知，则代数式的值是 ． 44．已知，则的值为 ． 45．若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 题型十六 零指数幂与负整数指数幂 46．若有意义，则的取值范围是 ． 47．若三个实数，，满足，则 ． 48．若实数，满足，则 ． 题型十七 整式除法 49．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是 ；商的最小值是 ． 50．在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 51．学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 题型十八 幂的运算新定义问题 52．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 53．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 54．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 题型十九 多项式乘法中的规律性计算 55．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： … ①仿照上述等式，写出 ； ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立； (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用： ． 56．观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 57．图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 题型二十 多项式乘法与几何图形综合 58．数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 59．“数缺形时少直观，形少数时难入微”．我们通过拼图观察、感受整式乘法和因式分解，体现了“数形结合”的数学思想下．面，我们一起来探索其中的规律． 如图1，有若干张A，B，C三种不同型号的纸片，其中A型纸片是边长为a的正方形，B型纸片是长为a、宽为的长方形，C型纸片是边长为b的正方形．    (1)用上述三种卡片拼出图2，通过两种方法计算图2的面积，可以得到一个等式： ； (2)现有A，B，C三种型号的纸片共6张，用这6张纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，请画出两种符合条件的示意图； (3)现有A，B，C三种型号的纸片若干张，用这些纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张（x、y、z是正整数），写出x、y、z之间满足的等量关系是 ，并请说明理由． 60．如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．    (1)根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积． ______________________________ ______________________________ 根据条件你发现关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是____________________________________________________________． (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ①__________；②__________；③__________； (3)由（1）得到的关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用，即可对形如多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解： ①；② 题型二十一 乘法公式与几何图形综合 61．2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．      (1)通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 62．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．    【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ．      【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知，，求出的值． 63．数缺形时少直观，形少数时难入微，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）． （1）用若干个图1中的纸片（三种纸片都要取到）来拼成一个长方形，使其面积为，请你画出你所拼出的图形，并根据图形写出一个代数恒等式________； （2）根据由图2能够得到的代数恒等式，完成填空：若，则_______； （3）如图1，若有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，每种纸片至少取一张（三种纸片都要取到），把取出的这些纸片拼成一个正方形，则拼成的正方形边长最长可以是________； （4）小明同学用图1中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则_______； 【应用探究】 （5）如图3，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式________（填写选项）； A．    B．    C．    D． 【知识迁移】 类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． （6）如图4，表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________； （7）如图5，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分，我们可以等积法表示出被切割后的立体图形的体积，根据图5完成填空：_______；（结果不需化简） 【拓展延伸】 （8）已知，请你运用你探索得到的规律求出的值． 题型二十二 整式除法压轴 64．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 65．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 66．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 题型二十三 配方法 67．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 68．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 69．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 题型二十四 乘法公式新定义问题 70．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 71．定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 72．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$