专题02 二元一次方程组（考题猜想，易错压轴必刷69题23种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

专题02 二元一次方程组（易错压轴必刷69题23种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程的相关概念 · 题型二 二元一次方程的解 · 题型三 二元一次方程组的相关概念 · 题型四 二元一次方程组的解法 · 题型五 构造二元一次方程组求解 · 题型六 二元一次方程组的同解问题 · 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数 · 题型八 整体代换法求二元一次方程组 · 题型九 三元一次方程组的解法与应用 · 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 · 题型十一 方案问题 · 题型十二 行程问题 · 题型十三 工程问题 · 题型十四 分配问题 · 题型十五 销售利润问题 · 题型十六 几何问题 · 题型十七 古代问题 · 题型十八 其他问题 · 题型十九 二元一次方程组的特殊解法压轴 · 题型二十 二元一次方程组的含参问题 · 题型二十一 二元一次方程组的实际应用压轴 · 题型二十二 二元一次方程组的几何应用压轴 · 题型二十三 二元一次方程组的新定义问题 题型一 二元一次方程的相关概念 1．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 2．方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，其中含x的一次项的系数不等于0，注意首先要化为一般形式．二元一次方程就是只含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程，根据定义求解． 【详解】方程可化为即， 根据题意，得， 则的值一定不可能是． 故选：D． 3．已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，得且，求得m的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴，， 解得， 故答案为：2． 题型二 二元一次方程的解 4．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 直接把代入到方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：5． 5．已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义．把代入得出m和n的值，代入即可 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程组的一组解， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 6．已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．把二元一次方程的解代入方程，再利用整体代入求值即可．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， 得：， ， ． 故选：B． 题型三 二元一次方程组的相关概念 7．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、不是整式方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 8．若方程组的解为则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，把代入原方程组中的两个方程中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如果一个关于、的一次方程可化为形如：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程．如果关于、的方程是具有“2性质”的方程．且是该方程的一个解，那么，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据“2性质”的方程的定义得到，根据方程解的定义得到，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程是具有“2性质”的方程，即关于，的方程是具有“2性质”的方程， ∴， ∵是方程的一个解， ∴， 联立①②，解得． 故答案为：，． 题型四 二元一次方程组的解法 10．用两种方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 第一种方法：利用加减消元法计算求解即可；第二种方法：利用代入消元法计算求解即可． 【详解】解：第一种方法：， ，得， 把代入①，得 ∴， ∴方程组的解为：； 第二种方法： 将①变形为：， 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为：． 11．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）用加减消元法解二元一次方程组：求出值后即可得解； （2）将转化为后，用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①中，得， ， ； （2）解：即， 将代入得， ， ， 将代入①中，得， ． 12．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）将方程组整理为，再运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得 由②得， 把③代入①，得， 去括号，得， 解得：， 将代入②，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型五 构造二元一次方程组求解 13．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出，，后将代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴将，代入得， 故选：D． 14．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　  ） A．，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据接收方收到的密文是1，7可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ，解得， ∴解密得到的明文是3，1． 故选：D 15．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解是， 即． 故答案为：． 题型六 二元一次方程组的同解问题 16．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 首先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与同解， ∴解方程组，得：， 把代入方程组， 得：， 解得：，． ∴． 17．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是掌握“消元”的方法． 先解，求出，然后代入得，求出a， b，即可求出的平方根． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 ①，得③， ②+③，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 方程组的解为， 方程组和的解相同， 将代入得 ④+⑤，得， 解得， 将代入④，得， 解得， ， 的平方根为． 18．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法和加减消元法，即可． （1）根据题意，得到，解出方程组的解，即可； （2）根据（1）中方程组的解，代入，求出，的值，即可． 【详解】（1）∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解 ∴ 令 由得，， 解得：； 把代入式，则 解得：； ∴方程组的解为：． （2）∵方程组的解为：， ∴把代入中， ∴， 化简得：， 由得，； 由得，， 解得：； 把代入式，则， 解得：； ∴． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数 19．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 20．若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．先解二元一次方程组，再代入中求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得，， 将代入得， ， 解得，， 故答案为：． 21．若关于x和y的二元一次方程组的解满足，． (1)求a的取值范围； (2)是否存在一个整数a使不等式的解集为．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1，2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围； （2）根据不等式的解集为，求出a的取值范围，即可解答. 【详解】（1）解：， ，得 ． ，得 ． ， 解得：． （2）解：存在．理由如下： ∵ 则 ∴． 原不等式的解集为， ． 由（1）得 ． 为整数， 的值为1，2． 题型八 整体代换法求二元一次方程组 22．延时课上，小红和小明在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的方程组的解满足为非负数．求m的取值范围．    小红：用含有m的式子分别表示x，y，再让即可． 小明：哈哈，直接①－②可以简便地求出m的取值范围． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小红的方法，______，______；（用含m的代数式表示） (2)小明的方法体现了整体代入的思想，请按照小明的思路求出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵为非负数． ∴， ①+②得， 即， 将代入②得， 解得， 故答案为：；； （2）解：①-②得， 即， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． 23．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组 小辉：哈哈！直接①②可以更简便地求出的值 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为 ，的值为 ． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1)5， (2)1 【分析】（1）联立①③，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）解不含的二元一次方程组，求出，的值；（2）两方程作差结合结合，找出关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：联立①③得：， 得：， 将代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 故答案为：5，； （2）解：， 得：， ， ， ． 24．在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关于x，y的二元一次方程组，若，求m的取值范围． 小云认为：“可以先解方程组，用含m的式子分别表示x和y，再代入不等式求m的取值范围．” 小辉认为：“直接，可以更简便地求出m的取值范围．” (1)请同学们按照小云的方法求，______，______（含m的式子表示）； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式等知识点， （1）解关于的方程组，解之即可得出的值； （2）利用，可得出，结合，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的范围， 熟练掌握（1）解含的二元一次方程组，求出的值；（2）两方程作差结合，得出关于m的一元一次等式，是解决此题的关键． 【详解】（1）， 得： 化简得：， 将代入①得：， 化简得： ∴原方程组的解为，， 故答案为：，； （2）将得：， ， ， ， 解得 题型九 三元一次方程组的解法与应用 25．已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键． 由，，下可以得出：，，即a与互为相反数，得出．， 则可判断选项D正确． 【详解】解∶把已知两个式子相减，得， ∴，即a与互为相反数， ∴， ∴， 又 ∴， 故选 D． 26．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． （1）将①代入②消去y，与③联立得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可； （2）由，，消去y，得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可． 【详解】（1）， 将①代入②，得 ， ∴， ， 解得， 把代入①，得， ∴； （2）， 由，得， ，得， 由④⑤得到 将代入①可得， ， ∴原方程组的解为． 27．【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【答案】(1)；5 (2)购买这批防疫物资共需6700元 (3) 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 依题意，得： ， 由可得， ∴． 答：购买这批防疫物资共需6700元． （3）解：依题意，得： ， 由可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 28．某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？ (1)小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数表示的意义： 表示__________，表示__________ (2)小丽“设该校创建的大图书角个，小图书角个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求的值． 【答案】(1)大图书角所需的图书数量，小图书角所需的图书数量 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据所列方程组，得到未知数表示的意义即可； （2）根据大小图书角共20个，有图书3200册，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由所列方程组可知：表示大图书角所需的图书数量，表示小图书角所需的图书数量； （2）由题意，得：， 解得：． 29．某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖．原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？ 问题解答： (1)由题意可设调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分），则原定一、二、三等奖的平均分分别为：______，______，______（分）． (2)根据：“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为______． (3)根据调整前后60名学生的总分是相等的，可以得出一个最简的关系式为______． (4)请你解决本题中的所问问题． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)调整后一等奖的平均分比二等奖平均分高5分 【分析】本题考查代数式表示式，二元一次方程的实际应用，三元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出其等量关系． （1）根据“调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．”分别表示出原定一、二、三等奖的平均分，即可解题； （2）根据“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”列式整理，即可解题； （3）根据调整前后60名学生的总分是相等的，得到进行整理，即可解题； （4）结合（2）、（3）中的方程，建立方程组，整理得到的值，即可解题． 【详解】（1）解：调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．且调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分）， 原定一等奖平均分为分，二等奖平均分降低分，三等奖平均分， 故答案为：，，． （2）解：根据“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为， 整理得， 故答案为：； （3）解：根据调整前后60名学生的总分是相等的， 最后整理得， 故答案为：； （4）解：， 由②①得：， 调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高5分． 30．某工厂2024年的利润（总产值-总支出）为200万元，2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了，2024年的利润为780万元．2023年的总产值、总支出各是多少万元？ (1)设2023年的总产值是x万元，总支出是y万元．完成下表： 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 x y 200 2024年 780 根据题意，可列方程组 (2)设2024年的总产值是x万元，总支出是y万元．完成下表： 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 200 2024年 x y 780 根据题意，可列方程组 (3)设下表中的任意两个空格数据为x，y，完成表格并列出方程组． 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 200 2024年 780 【答案】(1)，， (2)，， (3)表见解析， 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找等量关系列出方程组是解决问题的关键； （1）设2023年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了和2023年和2024的利润列出方程即可解答； （2）设2024年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了和2023年和2024的利润列出方程即可解答； （3）设2023年的总产值y万元，2024年的总产值是y万元，根据2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了和2023年和2024的利润列出方程即可解答； 【详解】（1）（1）∵2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了， 设2023年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据题意得 ∴2024年总产值为元，总支出为元， 完成下表： 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 x y 200 2024年 780 故答案为：， ， 根据题意，得 ． （2）∵2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了， 设2024年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据题意得 ∴2023年的总产值为，2023年的总支出为． 完成下表： 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 200 2024年 x y 780 根据题意，得 故答案为： ，，； （3）∵2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了， 设2023年的总产值y万元，2024年的总产值是y万元， ∴2023年总支出是万元，2024年总支出是万元，根据题意完成表格， 年份 总产值／万元 总支出／万元 利润／万元 2023年 200 2024年 780 故答案为：x，，y，， 根据题意列方程得． 题型十一 方案问题 31．用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车、辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计出所有租车方案． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨． (2)共有三种租车方案：①型车辆，型车辆；②型车辆，型车辆；③型车辆，型车辆． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用—方案问题，解题关键是理解题意． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，由题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）结合（1）题得到二元一次方程，由、是整数，列出所有符合条件的方案即可． 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 依题得：， ， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨． （2）解：由（1）得，辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， ， 、是整数， ，； ，； ，； 答：共有三种租车方案：①型车辆，型车辆；②型车辆，型车辆；③型车辆，型车辆． 32．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 【答案】50件，30件 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．据此列出方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y． 由题意可得， 解得． 答：这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件 33．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【答案】(1)的值为100，的值为150 (2)购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确理解题意列出所需的方程组和方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型公交车辆，购买型公交车辆，由题意可列方程，根据，都为正整数，化简分析即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴的值为100，的值为150． （2）解：设购买型公交车辆，购买型公交车辆， 由题意可列方程， 化简得，进一步变形为 ， ∵，都为正整数， ∴只能取、、 ， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， ∵， ∴购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多． 题型十二 行程问题 34．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【答案】小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则 ， 解得， 答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒． 35．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【答案】小红的平均速度是，小丽的平均速度是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是； 根据题意，得， 解得； 答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是． 36．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 【答案】两地的距离为，水流的速度为 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设两地的距离为，水流的速度为，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：由题知，从A地出发逆流而上到达B地所用时间为， 从B地出发顺流而下到达A地所用时间为， 设两地的距离为，水流的速度为． 根据题意，得 解得， ∴两地的距离为，水流的速度为． 题型十三 工程问题 37．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路； 素材2 计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程； 素材3 若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元； 任务1 设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示） 任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】任务1：，；任务2：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；任务3：0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． 任务一：根据题意可得答案； 任务二：根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； 任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 【详解】解：任务一：甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米； 任务二：由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； 任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 38．（应用意识）为了交通便捷，某省开始修建高铁，其中段将于2025年年底建成．开通后的段高铁将比现在运行的段城际铁路全长缩短，全程仅需．已知段城际列车全程需要，平均速度是开通后的高铁的． (1)段高铁与段城际铁路全长各为多少千米？ (2)甲、乙两个工程队同时对段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】(1)段高铁全长为段城际铁路全长为 (2)甲工程队后期每天至少施工 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组，和不等式即可． （1）设段高铁全长为段城际铁路全长为，由题意得到二元一次方程组，求解即可； （2）设甲队后期每天施工，甲队原来每天的施工长度为（千米），乙每天的施工长度为（千米），根据题意列出一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设段高铁全长为段城际铁路全长为． 根据题意，得 解得 故段高铁全长为段城际铁路全长为． （2）解：设甲工程队后期每天施工． 甲工程队原来每天的施工长度为， 乙工程队每天的施工长度为． 根据题意，得，解得． 故甲工程队后期每天至少施工． 39．某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【答案】1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨， 由题意得，， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨． 题型十四 分配问题 40．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 41．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 42．某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 题型十五 销售利润问题 43．某校举行数学竞赛，需要购买钢笔与笔记本作奖品．已知购买60支钢笔和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔记本需要840元． (1)购买1支钢笔和1本笔记本各需多少元？ (2)若需要购买100件奖品，且购买费用不超过1360元，则最多可以买多少支钢笔？ 【答案】(1)购买1支钢笔需要16元，购买1本笔记本需要4元 (2)最多可以买80支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用； （1）设购买1支钢笔需要元，购买1本笔记本需要元，根据“购买60支钢笔和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔记本需要840元”列方程组求解即可； （2）设购买钢笔支，则购买笔记本本，根据“购买费用不超过1360元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买1支钢笔需要元，购买1本笔记本需要元． 根据题意，得， 解得， 答：购买1支钢笔需要16元，购买1本笔记本需要4元． （2）设购买钢笔支，则购买笔记本本． 根据题意，得， 解得． 答：最多可以买80支钢笔． 44．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 【答案】(1)填表见解析 (2)店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克 【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶千克、普洱茶千克，根据茶叶总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是解决问题的关键． （1）由题意，直接列表达式即可得到答案； （2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：店主计划采购这三种茶叶总共50千克， 茉莉花茶质量为千克， 茉莉花茶的采购价为每千克200元， 茉莉花茶采购总价为元， 填表如下： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 （2）解：由（1）知，设采购龙井茶千克、普洱茶千克、茉莉花茶千克， 龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，店主总共花了15000元购茶， ， 等式两边同时除以得， 等式两边同时除以得， 采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克， ， 由题意得， ，解得， 即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克， 茉莉花茶为． 答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克． 45．小郑在某零食批发城分两次购进两款零食到夜市摆摊，每次进货的单价相同，已知这两次购买零食的数量和总费用如下表： A的数量／包 B的数量／包 购买总费用／元 第一次进货 第二次进货 (1)分别求两款零食每件的进货单价． (2)款零食按每包7元出售；款零食标价为元／包，为吸引客人，款零食按标价的七折出售．若小郑计划第三次再用不超过元的费用购进这两款零食共包进行销售（进价不变），怎样进货才能使第三次购进的零食销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)款零食进货单价为5元/包，款零食进货单价为6元/包 (2)购进款包，款包能使第三次购进的零食销售完后获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的其它应用，一元一次不等式的其他应用，解题关键是列出方程或不等式． （1）设款零食进货单价为元／包，款零食进货单价为元／包，根据表中数据列出方程组求解； （2）设购进款零食包，则购进款零食包，根据“小郑计划第三次再用不超过元的费用购进这两款零食共包进行销售（进价不变）”列出不等式求解． 【详解】（1）解：设款零食进货单价为元／包，款零食进货单价为元／包， ，解得． （2）设购进款零食包，则购进款零食包， ，解得． 利润， 因为，随增大而减小，所以时，最大， 元，此时购进款600包，款包． 题型十六 几何问题 46．在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【答案】图中空白部分的面积之和为52 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据图形，找到边和边的关系是解答的关键．设小长方形的长为y、宽为x，用x、y表示出大长方形的长和宽，结合所给数据列方程组求得x、y，再用大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为y、宽为x， 从图中可以得到两个等量关系： 水平方向上：， 竖直方向上：， 联立可得：， 解之得： ∴ 答：图中空白部分的面积之和为52． 47．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可. 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， 经检验， 符合题意． 答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 48．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【答案】(1)这个长方形纸片的长为，宽为 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可； （2）根据题意，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形纸片的长为9，宽为6． （2）解：正确．理由如下： 根据题意，得，， 解得． ∴大正方形的面积为． 题型十七 古代问题 49．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 【答案】(1)， (2)6.5，11；6.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可； 【详解】（1）解：设木条长x尺，绳子长y尺，由题意，得： ； 故答案为：，； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； 答：木条长6.5尺． 50．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【答案】该店有客房8间，房客63人 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键，设该店有客房x间，房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．列出方程组求解即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 51．设合适的未知数，列出二元一次方程组： (1)一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． (2)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意正确列方程组即可． （1）设，根据平角的定义和的度数比的度数大列方程组即可； （2）设甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”列方程组即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得； （2）解：设甲的钱数为，乙的钱数为， 根据题意，得． 题型十八 其他问题 52．安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个教室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． 【答案】每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人，根据题意可得方程组，然后进行计算即可解答； 【详解】解：设每个侧门每分钟通过x人， 每个正门每分钟通过y人． 由题意，得 解得 ∴每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人． 53．每年4月23日是世界读书日．为培养学生阅读习惯，烟台某中学准备采购甲、乙两种书籍送给当天参加“我爱读书”主题社团活动的学生．_____，并且花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等．请先在横线上补充条件： ①购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元 ②甲、乙两种图书各购买1本共需20元 这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题． （1）甲、乙图书的单价是多少？ （2）若学校准备购买甲、乙两种图书共80本，若甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，则该学校有哪几种购买方案？ 【答案】购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元（答案不唯一） （1）甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； （2）该学校有2种购买方案，①购买甲种图书64本，乙种图书16本；②购买甲种图书65本，乙种图书15本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元，根据花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等，列出分式方程，解方程即可；选②同理； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本，根据甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：①补充条件：购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元， 故答案为：购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元； 设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； ②补充条件：甲、乙两种图书各购买1本共需20元， 故答案为：甲、乙两种图书各购买1本共需20元； 设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； （即选条件①、②不影响答案） （2）解：设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，， ∴该学校有2种购买方案： ①购买甲种图书64本，乙种图书16本； ②购买甲种图书65本，乙种图书15本； 答：该学校有2种购买方案，①购买甲种图书64本，乙种图书16本；②购买甲种图书65本，乙种图书15本． 54．广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与把吨土方全部运走，那么大型渣土运输车至少需要多少辆? 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨 (2)至少需要大型渣土车辆 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的综合应用题，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键， （1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y 吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要安排 m 辆大型渣土运输车，则安排辆小型渣土运输车，根据题意列不等式求解，根据实际情况取整数即可得到答案． 【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输土方 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y 吨， 根据题意得 ： 解得：. 答：一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方 5 吨； （2）解：设需要安排 m 辆大型渣土运输车，则安排辆小型渣土运输车， 根据题意得：， 解得：. 又∵，且为正整数， ∴， 答：至少需要大型渣土车辆. 题型十九 二元一次方程组的特殊解法压轴 55．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． （1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，不满足，故舍去； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 56．数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【详解】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 57．已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②爷爷的年龄是岁 (3)存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，木棒切断处所表示的数为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，数轴上两点距离，有理数的混合运算，数形结合是解题的关键． （1）由绝对值和平方的非负性可得，； （2）①求出，可得，即这根木棒的长为个单位长度； ②仿照“问题探究”列式计算可得爷爷的年龄是岁； （3）设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，求出表示的数为，表示的数为，根据和刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）①由（1）知，， 根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度； 故答案为：； ②岁， 爷爷的年龄是岁； （3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒， 表示的数为，表示的数为， 可得，解得， 木棒切断处所表示的数为． 题型二十 二元一次方程组的含参问题 58．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 59．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 60．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 题型二十一 二元一次方程组的实际应用压轴 61．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 【答案】任务1： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元；任务2：有3种方案，①购买15套书签，购买1个冰箱贴；②购买10套书签，购买10个冰箱贴；③购买5套书签，购买19个冰箱贴；任务3：王老师购买了4个毛绒玩具 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题关键是： 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴，根据总费用为560元列出二元一次方程，然后根据x、y都是正整数求解即可； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具，根据四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，列出方程组，整理可得，，根据四种文创商品都购买，得出，解不等式求出b的整数解，即可求解． 【详解】解∶ 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元； 任务2 ：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴， 根据题意，得， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴，，， ∴有3种方案，具体如下： ①购买15套书签，购买1个冰箱贴； ②购买10套书签，购买10个冰箱贴； ③购买5套书签，购买19个冰箱贴； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具， 根据题意，得 由②得，， 把代入①，并化简，得 把代入，得， ∵四种文创商品都购买， ∴， 解得， ∴整数b的值为6， ∴，， ∴王老师购买了4个毛绒玩具． 62．日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件 (2)空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 (3)三层①，一层②，一层④组合，总重量 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件； （2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件； （3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量． 63．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)点表示的数为，点表示的数为____，______； (2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度． (3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度 (3)1，，，8． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴的动点问题，一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，进而求得的长； （2）设的速度分别为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （3）以为，点的中点；为，点的中点；为，点的中点；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，且，满足， ∴， ∴． ∴ 故答案为：； （2）解：设的速度分别为，由题意得 解得：． ∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度． （3）解：依题意，当为，点的中点， 当时，有， 解得（舍去）， 当时，有， 解得； 当为，点的中点，， 有， 解得； 或， 解得； 为，点的中点，， 有， 解得． 综上所述，的值为1，，，8． 题型二十二 二元一次方程组的几何应用压轴 64．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 65．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：， ∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个， 木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得： ∴， 解得：，（均为正整数）， ∵， ∴ ∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 66．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 题型二十三 二元一次方程组的新定义问题 67．定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 68．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 69．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． $$ 专题02 二元一次方程组（易错压轴必刷69题23种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程的相关概念 · 题型二 二元一次方程的解 · 题型三 二元一次方程组的相关概念 · 题型四 二元一次方程组的解法 · 题型五 构造二元一次方程组求解 · 题型六 二元一次方程组的同解问题 · 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数 · 题型八 整体代换法求二元一次方程组 · 题型九 三元一次方程组的解法与应用 · 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 · 题型十一 方案问题 · 题型十二 行程问题 · 题型十三 工程问题 · 题型十四 分配问题 · 题型十五 销售利润问题 · 题型十六 几何问题 · 题型十七 古代问题 · 题型十八 其他问题 · 题型十九 二元一次方程组的特殊解法压轴 · 题型二十 二元一次方程组的含参问题 · 题型二十一 二元一次方程组的实际应用压轴 · 题型二十二 二元一次方程组的几何应用压轴 · 题型二十三 二元一次方程组的新定义问题 题型一 二元一次方程的相关概念 1．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 2．方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2 3．已知是关于，的二元一次方程，则 ． 题型二 二元一次方程的解 4．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 5．已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为 ． 6．已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 题型三 二元一次方程组的相关概念 7．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．若方程组的解为则 ． 9．如果一个关于、的一次方程可化为形如：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程．如果关于、的方程是具有“2性质”的方程．且是该方程的一个解，那么，的值分别为 ． 题型四 二元一次方程组的解法 10．用两种方法解方程组 11．解方程组： (1) (2) 12．解下列方程组： (1)； (2)． 题型五 构造二元一次方程组求解 13．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 14．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　  ） A．，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1 15．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 题型六 二元一次方程组的同解问题 16．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 17．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 18．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数 19．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 20．若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 21．若关于x和y的二元一次方程组的解满足，． (1)求a的取值范围； (2)是否存在一个整数a使不等式的解集为．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 题型八 整体代换法求二元一次方程组 22．延时课上，小红和小明在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的方程组的解满足为非负数．求m的取值范围．    小红：用含有m的式子分别表示x，y，再让即可． 小明：哈哈，直接①－②可以简便地求出m的取值范围． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小红的方法，______，______；（用含m的代数式表示） (2)小明的方法体现了整体代入的思想，请按照小明的思路求出m的取值范围． 23．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组 小辉：哈哈！直接①②可以更简便地求出的值 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为 ，的值为 ． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 24．在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关于x，y的二元一次方程组，若，求m的取值范围． 小云认为：“可以先解方程组，用含m的式子分别表示x和y，再代入不等式求m的取值范围．” 小辉认为：“直接，可以更简便地求出m的取值范围．” (1)请同学们按照小云的方法求，______，______（含m的式子表示）； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的取值范围． 题型九 三元一次方程组的解法与应用 25．已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 26．解下列三元一次方程组： (1) (2) 27．【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 28．某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？ (1)小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数表示的意义： 表示__________，表示__________ (2)小丽“设该校创建的大图书角个，小图书角个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求的值． 29．某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖．原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？ 问题解答： (1)由题意可设调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分），则原定一、二、三等奖的平均分分别为：______，______，______（分）． (2)根据：“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为______． (3)根据调整前后60名学生的总分是相等的，可以得出一个最简的关系式为______． (4)请你解决本题中的所问问题． 30．某工厂2024年的利润（总产值-总支出）为200万元，2024年总产值比2023年增加了，总支出比2023年减少了，2024年的利润为780万元．2023年的总产值、总支出各是多少万元？ (1)设2023年的总产值是x万元，总支出是y万元．完成下表： 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 x y 200 2024年 780 根据题意，可列方程组 (2)设2024年的总产值是x万元，总支出是y万元．完成下表： 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 200 2024年 x y 780 根据题意，可列方程组 (3)设下表中的任意两个空格数据为x，y，完成表格并列出方程组． 年份 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 2023年 200 2024年 780 题型十一 方案问题 31．用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车、辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计出所有租车方案． 32．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 33．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 题型十二 行程问题 34．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 35．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 36．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 题型十三 工程问题 37．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路； 素材2 计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程； 素材3 若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元； 任务1 设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示） 任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 38．（应用意识）为了交通便捷，某省开始修建高铁，其中段将于2025年年底建成．开通后的段高铁将比现在运行的段城际铁路全长缩短，全程仅需．已知段城际列车全程需要，平均速度是开通后的高铁的． (1)段高铁与段城际铁路全长各为多少千米？ (2)甲、乙两个工程队同时对段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 39．某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 题型十四 分配问题 40．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 41．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 42．某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 题型十五 销售利润问题 43．某校举行数学竞赛，需要购买钢笔与笔记本作奖品．已知购买60支钢笔和30本笔记本需要1080元，购买50支钢笔和10本笔记本需要840元． (1)购买1支钢笔和1本笔记本各需多少元？ (2)若需要购买100件奖品，且购买费用不超过1360元，则最多可以买多少支钢笔？ 44．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 45．小郑在某零食批发城分两次购进两款零食到夜市摆摊，每次进货的单价相同，已知这两次购买零食的数量和总费用如下表： A的数量／包 B的数量／包 购买总费用／元 第一次进货 第二次进货 (1)分别求两款零食每件的进货单价． (2)款零食按每包7元出售；款零食标价为元／包，为吸引客人，款零食按标价的七折出售．若小郑计划第三次再用不超过元的费用购进这两款零食共包进行销售（进价不变），怎样进货才能使第三次购进的零食销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型十六 几何问题 46．在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 47．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 48．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 题型十七 古代问题 49．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 50．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 51．设合适的未知数，列出二元一次方程组： (1)一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． (2)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 题型十八 其他问题 52．安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个教室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． 53．每年4月23日是世界读书日．为培养学生阅读习惯，烟台某中学准备采购甲、乙两种书籍送给当天参加“我爱读书”主题社团活动的学生．_____，并且花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等．请先在横线上补充条件： ①购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元 ②甲、乙两种图书各购买1本共需20元 这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题． （1）甲、乙图书的单价是多少？ （2）若学校准备购买甲、乙两种图书共80本，若甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，则该学校有哪几种购买方案？ 54．广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与把吨土方全部运走，那么大型渣土运输车至少需要多少辆? 题型十九 二元一次方程组的特殊解法压轴 55．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 56．数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 57．已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 题型二十 二元一次方程组的含参问题 58．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 59．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 60．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 题型二十一 二元一次方程组的实际应用压轴 61．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 62．日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 63．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)点表示的数为，点表示的数为____，______； (2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度． (3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 题型二十二 二元一次方程组的几何应用压轴 64．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 65．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 66．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 题型二十三 二元一次方程组的新定义问题 67．定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 68．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 69．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$