专题1.2 直线的方程（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题1.2 直线的方程（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 3 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 4 【题型5 直线的一般式方程】 6 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6 【题型7 直线过定点问题】 7 【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 8 知识点1 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·湖南·期中）若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·天津·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·安徽·期中）纵截距为且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点2 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点3 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【变式6-3】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过两点； (3)过点且在两坐标轴上截距相等． 【题型7 直线过定点问题】 【例7】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例8】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式8-3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 直线的方程（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 3 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 5 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 6 【题型5 直线的一般式方程】 9 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 11 【题型7 直线过定点问题】 12 【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 13 知识点1 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得. 【解答过程】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解方程. 【解答过程】直线倾斜角为，斜率，直线点斜式方程为． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·湖南·期中）若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数恒等式，可求得的值，即为直线的斜率，再由点斜式方程得到答案. 【解答过程】由及，可得， 所以的斜率， 所以由点斜式方程得的方程为: ，即. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·天津·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【解题思路】由倾斜角可得直线的斜率，根据点斜式方程求解即可. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即. 故选：C. 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】代入直线的截距式方程即可. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【解答过程】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·安徽·期中）纵截距为且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜截式求得正确答案. 【解答过程】倾斜角为，斜率为， 纵截距为，所以直线方程为. 故选：B. 知识点2 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线的两点式方程求解即可； 【解答过程】由题意得，整理得． 故选：A． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线两点式方程可得答案. 【解答过程】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 【变式3-2】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【解答过程】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【解答过程】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由截距式得到直线方程. 【解答过程】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可. 【解答过程】当直线过原点时，其方程是，符合题意; 当直线不过原点时，设直线方程为，代入， 可得：，解得：，所以方程是. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【解答过程】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D. 知识点3 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，最后化为一般式. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为，整理得. 故选：B. 【变式5-1】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【解题思路】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【解答过程】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解. 【解答过程】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，故， 故直线经过第一象限､第三象限､第四象限， 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【解答过程】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【解题思路】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式； （2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式． 【解答过程】（1）由已知直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）由题意直线的斜率为， 直线方程为，即． 【变式6-3】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过两点； (3)过点且在两坐标轴上截距相等． 【解题思路】（1）根据直线点斜式方程运算求解； （2）根据直线的两点式方程运算求解； （3）根据直线的截距式方程运算求解. 【解答过程】（1）由点斜式得直线方程为，即. （2）由两点式得直线方程为，即. （3）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为， 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上，直线的方程为或. 【题型7 直线过定点问题】 【例7】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【解答过程】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线化为，即可得定点. 【解答过程】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线方程变形为，令，即可求解. 【解答过程】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：C. 【变式7-3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分离参数，联立方程组可得解. 【解答过程】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 【题型8 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例8】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【解题思路】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论. 【解答过程】由题可知，直线的斜率存在且不为0， 故，即且， 令，得；令，得；即， 所以，所以， 则或，解得或， 故解得的实数m的解有4个. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式8-3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【解题思路】（1）设出直线的截距式方程，根据三角形周长和得到方程组，求出，求出答案； （2）设出直线的截距式方程，根据三角形面积和得到方程组，求出，求出答案 【解答过程】（1）设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）设直线方程为， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$