专题1.2 子集、全集、补集（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题1.2 子集、全集、补集（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 子集、真子集的确定】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 3 【题型3 集合的相等】 4 【题型4 空集的判断、性质及应用】 4 【题型5 集合关系的Venn图表示】 5 【题型6 集合间的关系的判断】 6 【题型7 根据集合间的关系求参数】 7 【题型8 补集及其运算】 8 【题型9 集合关系中的新定义问题】 9 知识点1 集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式1-3】（24-25高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式2-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【变式2-2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2-3】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 知识点2 集合间的关系 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型3 集合的相等】 【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【题型4 空集的判断、性质及应用】 【例4】（24-25高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型5 集合关系的Venn图表示】 【例5】（24-25高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【变式5-3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【题型6 集合间的关系的判断】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 【变式6-3】（25-26高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【题型7 根据集合间的关系求参数】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【变式7-3】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 知识点3 补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型8 补集及其运算】 【例8】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9-1】（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式9-2】（24-25高一·全国·课后作业）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9-3】（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 子集、全集、补集（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 子集、真子集的确定】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 3 【题型3 集合的相等】 5 【题型4 空集的判断、性质及应用】 7 【题型5 集合关系的Venn图表示】 8 【题型6 集合间的关系的判断】 10 【题型7 根据集合间的关系求参数】 12 【题型8 补集及其运算】 14 【题型9 集合关系中的新定义问题】 15 知识点1 集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合子集的定义，即可求解. 【解答过程】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【变式1-1】（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】 ，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式1-3】（24-25高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据子集的定义即可求解， （2）先用列举法求解集合，即可由子集定义求解. 【解答过程】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【解题思路】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【解答过程】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【解题思路】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【解答过程】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【解题思路】先解不等式得到，从而求出真子集个数. 【解答过程】，共有4个元素， 故集合A的真子集个数为. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【解题思路】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数. 【解答过程】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 知识点2 集合间的关系 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型3 集合的相等】 【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【解答过程】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【解答过程】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【解题思路】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【解答过程】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【解答过程】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A. 【题型4 空集的判断、性质及应用】 【例4】（24-25高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【解答过程】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 【变式4-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【解答过程】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【变式4-3】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【题型5 集合关系的Venn图表示】 【例5】（24-25高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式5-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项. 【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以NM， 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【解题思路】根据为的真子集，得到文氏图. 【解答过程】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    【变式5-3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【解题思路】根据集合间的包含关系与相等的定义，给合Venn图直观表示即可. 【解答过程】集合之间的包含关系： 例如，，显然，Venn图表示如下图：      集合之间的相等关系： 例如：是两条边相等的三角形，是等腰三角形， Venn图表示如下图： 【题型6 集合间的关系的判断】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【解答过程】由题意可得，故集合是集合的真子集，即． 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 【解题思路】（1）根据真子集的定义，来进行判断； （2）根据真子集的定义，能看懂范围的区间表示，进行判断； （3）根据真子集的定义，理解等边三角形和等腰三角形的区别，进行判断． 【解答过程】（1）解：中唯一元素， 又， ； （2）解：，， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， ； （3）解：是等边三角形}，是等腰三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； ． 【变式6-3】（25-26高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【解题思路】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【解答过程】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 【题型7 根据集合间的关系求参数】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分和，根据集合的包含关系分别研究参数范围. 【解答过程】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用集合包含关系得不等关系，从而求解． 【解答过程】， ， ， 由题意如图： ，解得a 故选：C． 【变式7-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【解答过程】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 【变式7-3】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【解答过程】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 知识点3 补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型8 补集及其运算】 【例8】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【解答过程】因为集合，，故. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的概念进行运算. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的含义即可得到答案. 【解答过程】根据补集的含义知. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【解题思路】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【解答过程】由补集知且，对比得， 则. 故选：B. 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【解题思路】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【解答过程】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一·全国·课后作业）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数 【解答过程】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}， ∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}， 则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个， 故选：B. 【变式9-3】（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【解答过程】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$