21.2.2　公式法课件-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.2　公式法 第二十一章　一元二次方程 21.2 1 探究与应用 课堂小结与检测 探究与应用 问题情境 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出这个方程的解呢? 活动　探究一元二次方程的判别式和求根公式 返回目录 3 解:移项,得ax2+bx=-c. 二次项系数化为1,得x2+x=-. 配方,得x2+x+()2=-+()2, 即(x+)2=.① 因为a≠0,所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况: 返回目录 (1)b2-4ac>0 这时>0,由①得 x+=±. 方程有两个不等的实数根 x1=,x2=. 返回目录 (2)b2-4ac=0 这时=0, 由①可知,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-. (3)b2-4ac<0 这时<0,由①可知(x+)2<0,而x取任何实数都不能使(x+)2<0,因此方程无实数根. 返回目录 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=　　　　.  2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式与其根的情况的关系: 当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个　　　　的实数根;  当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个　　　　的实数根;  当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)　　　　实数根.  概括新知 b2-4ac 不等 相等 无 返回目录 7 3.公式法:当Δ　　　　时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,其根可 写为x=　　　 　　的形式,这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做 　　　 　.  ≥0　 　 公式法 返回目录 (教材补充例题)利用判别式判断下列方程的根的情况: (1)x2-5x=-7; 　　　 理解应用 例 1 解:(1)方程化为一元二次方程的一般形式为x2-5x+7=0. ∵a=1,b=-5,c=7, ∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0, 故方程无实数根. 返回目录 (2)x2+5=2x; (2)方程化为一元二次方程的一般形式为x2-2x+5=0. ∵a=1,b=-2,c=5, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×5=0, 故方程有两个相等的实数根. 返回目录 (3)(x-1)(2x+3)=x. (3)方程化为一元二次方程的一般形式为2x2-3=0. ∵a=2,b=0,c=-3, ∴Δ=b2-4ac=02-4×2×(-3)=24>0, 故方程有两个不等的实数根. 返回目录 拓展 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,求当m取何值时: (1)方程有两个不等的实数根; 解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不等的实数根, ∴Δ=b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m-1)·m>0,且m-1≠0, ∴m>-且m≠1. 返回目录 (2)方程有两个相等的实数根; (2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根, ∴Δ=b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m-1)·m=0,∴m=-. 返回目录 (3)方程无实数根. (3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0无实数根, ∴Δ=b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m-1)·m<0, ∴m<-. 返回目录 (教材典题)用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; 例 2 解:(1)a=1,b=-4,c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不等的实数根 x==2±, 即x1=2+,x2=2-. 返回目录 15 (2)2x2-2x+1=0; (2)a=2,b=-2,c=1. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-=-. 返回目录 (3)5x2-3x=x+1; (3)方程化为5x2-4x-1=0. a=5,b=-4,c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不等的实数根 x=, 即x1=1,x2=-. 返回目录 (4)x2+17=8x. (4)方程化为x2-8x+17=0. a=1,b=-8,c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0. 方程无实数根. 返回目录 1.应用“Δ”求字母的值或取值范围的步骤 在利用根的判别式求待定字母的值或取值范围时,首先要根据方程的根的情况判断b2-4ac与0的大小关系,然后利用题目中的条件列出关于待定字母的不等式(组)或方程,最后再求解,得到字母的值或取值范围. 懂 步骤 返回目录 19 2.用公式法求解一元二次方程的步骤 懂 步骤 一元二次方程 化成ax2+bx+c=0的形式 a=?,b=?,c=? 求Δ =b2-4ac Δ≥0? 套公式求解 是 否 无实数根 返回目录 20 | 认知逻辑 | 课堂小结与检测 求根公式 应 用 判断方程根的情况 应用 根的判 别式 深入 分析 配 方 推 导 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 有两个不等 的实数根 有两个相等 的实数根 无实数根 (x+)2= ax2+bx+c= 0(a≠0) b2-4ac≥0 解一元二 次方程 返回目录 21 | 课堂检测 | 1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是 (　　) A.b2-4ac≥0 B.b2-4ac≤0 C.b2-4ac>0 D.b2-4ac<0 A 返回目录 2.用公式法解一元二次方程3x2=2x-3时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是 (　　) A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3 D 返回目录 3.(2024湖南)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k的值为　　　　.  2 返回目录 4.用公式法解下列方程: (1)x2+x-1=0; 解:(1)a=1,b=1,c=-1. Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5>0. 方程有两个不等的实数根x=, 即x1=,x2=. 返回目录 (2)x2+3x=-6; (2)方程化为x2+3x+6=0. a=1,b=3,c=6. Δ=b2-4ac=32-4×1×6=9-24=-15<0. 方程无实数根. 返回目录 (3)2x(x+2)+2=0. (3)方程化为2x2+4x+2=0. a=2,b=4,c=2. Δ=b2-4ac=42-4×2×2=16-16=0. 方程有两个相等的实数根x1=x2=-=-=-1. 返回目录 $$