专题1.1 集合的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题1.1 集合的概念（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 2 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 3 【题型4 判断元素与集合的关系】 4 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 4 【题型6 集合中的元素个数问题】 5 【题型7 列举法表示集合】 6 【题型8 描述法表示集合】 6 【题型9 集合元素中的新定义问题】 8 知识点1 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式1-2】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【变式3-1】（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式3-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 知识点2 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（24-25高一上·云南大理·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【变式5-2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-1】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【变式6-3】（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 知识点3 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【变式8-2】（2025高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【变式9-2】（24-25高一上·江苏常州·期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式9-3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 3 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 5 【题型4 判断元素与集合的关系】 6 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 8 【题型6 集合中的元素个数问题】 9 【题型7 列举法表示集合】 12 【题型8 描述法表示集合】 13 【题型9 集合元素中的新定义问题】 14 知识点1 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【解题思路】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【解答过程】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【解题思路】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【解答过程】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【解题思路】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【解答过程】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C. 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【解答过程】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【解答过程】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【解题思路】利用集合相等的概念判断. 【解答过程】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【解题思路】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【解答过程】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【解答过程】由元素的互异性可知，所以. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【解答过程】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【解题思路】根据题意，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【解答过程】因为， 当时，，不满足元素的互异性， 当时，，满足互异性， 当时，即或（舍）时，，满足互异性， 所以或2. 故选：C. 知识点2 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（24-25高一上·云南大理·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于①，为实数，而表示实数集，所以，即①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，即②正确； 对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【解答过程】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【解答过程】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【解答过程】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D. 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【解答过程】由且，得，解得． 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【解题思路】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【解答过程】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用元素与集合的关系可求解. 【解答过程】因为，，所以，解得. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【解题思路】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【解答过程】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【解答过程】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 【变式6-1】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【解题思路】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【解答过程】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【解答过程】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【变式6-3】（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【解题思路】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答. （2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答. （3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答. 【解答过程】（1）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少有3个元素. （2）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的元素是. （3）令，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的其它元素是. 知识点3 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，结合得的值即可求解. 【解答过程】由得，，即， 又，∴ 故 . 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【解答过程】由题意可得：集合. 故选：B． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解题思路】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【解答过程】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【解答过程】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【解题思路】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【解答过程】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【解题思路】用集合的描述法来表示即可. 【解答过程】（1）被7除余1的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是. 【变式8-2】（2025高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【解题思路】直接用描述法得到答案. 【解答过程】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解题思路】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【解答过程】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】计算可求得，可得结论. 【解答过程】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【解题思路】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【解答过程】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一上·江苏常州·期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【解题思路】根据定义结合已知条件，对分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解 【解答过程】（1）m，n都是正偶数时： m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法； ∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素； （2）m，n都为正奇数时： m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法； ∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素； （3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时： 当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是3+4+2=9． 故选：B． 【变式9-3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【解题思路】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【解答过程】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$