暑假作业17 立体几何中的翻折问题、截面问题与动点轨迹问题（10大巩固提升练+3大能力培优练+2大创新题型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业17 拓展专题7：立体几何中的翻折问题、截面问题与动点轨迹问题 【知识点1 诠释立体几何中的翻折问题】 1.立体几何中的翻折问题的分类 （1）平面图形的折叠. 把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题 （2）几何体表面的展开 把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题. 2.翻折问题注意事项 (1) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键． (2)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 【知识点2 补全截面的方法】 以下面的实例为例，讲述补全截面的方法 【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E,F分别是AB,AA1的中点,点E,F,C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是 【答案】B 【解析】如图，过点C，E，F作出截面，计算可得余弦值是. 【截面训练基础】 模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图.可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点， 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只 要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图： 方法二：平行线法.做法如下图： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平面图形折叠后形状的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,在图形发生变化的过程中，注意哪些量折叠前后变，哪些量没有发生变化，从而正确画出折叠后的立体图形，并判断其形状或相应量间的关系. 1．下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ） A. B. C. D. 2.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是 (　　) 图1　　　　　　　图2 A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【题型二：几何体展开后形状的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,对于展开后形状的判断，可以正向突破，即将原几何体沿着某些棱或母线等特殊线展开，从而得到正确的展开图；也可以逆向操作，将各选项对应的展开图折叠，其中能还原成原几何体的选项便为正确选项. 3.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　） 4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________. 【题型三：几何体表面上最短距离问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解. 5．我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 6．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【题型四：截面形状的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 截面形状判断的一些基本规律及注意点： (1)截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数. (2)不会与同一个表面有两条交线. (3)与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） (4)截面截内切球或者外接球时，要区分与面相切和与棱相切之间的关系. 7.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） A． B． C． D． 8.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 9．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 【题型五：求截面周长（重点）】 ⭐【知识讲解】 截面周长求法： (1)可以利用多面体展开图求. (2)可以在各个表面各自解三角形求解. 10.在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 11．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【题型六：求截面面积（重点）】 ⭐【知识讲解】 求截面面积： (1)判断界面是否规则图形 (2)求截面各边长度 (3)规则图形，可以用对应面积公式求 (4)不规则图形，可以分割为三角形等图形求. 12．已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 13．在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 14.已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 【题型七：截面分体积问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求 求截面面积. 15．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 16.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________. 【题型八：球截面问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 球截面问题求解策略： (1)确定球心和半径 (2)寻找做出并计算截面与球心的距离 (3)要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质 (4)强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点. 17．已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【题型九：平行、垂直中的轨迹问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹. 19．已知每条侧棱长都为6，底面是边长为4的正方形的直四棱柱中，长为4的线段MN的一个端点在棱上运动，点在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与该几何体所围成的几何体中较小的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A1C，则点P的轨迹长度为(　　) A.2 B.2 C.4 D.3 21．已知正四棱锥，底面边长为，，交于点，平面，，为的中点，动点在该棱锥的侧面上运动，并且，则点轨迹长度为（    ） A．1 B． C． D．2 22．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 【题型十：距离、角度中的轨迹问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 距离、角度有关的轨迹问题 (1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于球或者特殊曲线（如圆）的定义等知识求解轨迹. (2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面. 23．动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（   ） A． B． C． D． 24.(多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P为△A1BC内的一个动点(包括边界)，AP与平面A1BC所成的角为45°，则(　　) A.A1P的最小值为- B.A1P的最大值为 C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为 【题型一：折叠后几何体的数字特征（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应. 2.折叠问题分析求解两原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变. 1．已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．已知在中，，，，D是AB的中点，沿着CD将折起，使得点A折叠到点的位置，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 5．已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若为棱上动点，求的最小值； (3)求此多面体体积的最大值． 【题型二:截面的最值（范围）问题（难点）】 ⭐【知识讲解】 截面有关的最值(范围)计算，常考虑以下方法： (1)极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性） (2)坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值. (3)化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算. 6．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B．1 C．3 D．2 7.已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由等面积法可知，推导出平面，，从而，即可求解. 【解析】在中，由，，可得，， 设，在中，，由等面积法可知， 因为，，，，平面，所以平面， 又由平面，所以，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以.故选：B. 【题型三　翻折有关的动态轨迹问题（难点）】 ⭐【知识讲解】 翻折有关的轨迹问题 (1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹. (2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹. (3)可以利用空间坐标运算求轨迹. 9．(多选)如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=，F为AB的中点，现将△ABE沿BE折起到平面A1BE位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是(　　) A.平面BCDE⊥平面A1BE B.若O为BE的中点，则DE∥平面FOC C.折起过程中，F点的轨迹长度为 D.三棱锥A1-CDE的外接球的体积为π 10.(多选)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=3，点E，F分别为边AB，CD上的点，且EF∥AD，AE=2.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥BF B.点M的轨迹长度为 C.点M到平面EBCF的最大距离为 D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-BCF外接球的表面积为28π 【题型一：数学文化题（高频）】 1.已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三棱锥）．若为线段（除端点外）上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为1，，平面截三棱锥所得截面的面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数关系式是 ． 【题型二：新定义题(难点)】 3.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 4.定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业17 拓展专题7：立体几何中的翻折问题、截面问题与动点轨迹问题 【知识点1 诠释立体几何中的翻折问题】 1.立体几何中的翻折问题的分类 （1）平面图形的折叠. 把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题 （2）几何体表面的展开 把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题. 2.翻折问题注意事项 (1) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键． (2)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 【知识点2 补全截面的方法】 以下面的实例为例，讲述补全截面的方法 【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E,F分别是AB,AA1的中点,点E,F,C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是 【答案】B 【解析】如图，过点C，E，F作出截面，计算可得余弦值是. 【截面训练基础】 模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图.可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点， 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只 要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图： 方法二：平行线法.做法如下图： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平面图形折叠后形状的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,在图形发生变化的过程中，注意哪些量折叠前后变，哪些量没有发生变化，从而正确画出折叠后的立体图形，并判断其形状或相应量间的关系. 1．下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将平面展开图还原成正方体后,三个面内的线段是平行的,故选B. 2.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是 (　　) 图1　　　　　　　图2 A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,折叠后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC. 【题型二：几何体展开后形状的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,对于展开后形状的判断，可以正向突破，即将原几何体沿着某些棱或母线等特殊线展开，从而得到正确的展开图；也可以逆向操作，将各选项对应的展开图折叠，其中能还原成原几何体的选项便为正确选项. 3.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　） 解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图, 故选：C. 4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________. 【解析】这个展开图是图⑦的情形,题目给出“程”做底面,“似”做前面,显然,“祝”是后面,“前”和“你”是往右边翻折的,所以“前”是左面,“你”是上面. 因此,依次填：“后面”、“上面”、“左面”. 【方法点拨】正方体展开头记忆口诀:正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁;十四条边布周围,十一类图记分明;四方成线两相卫,六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯.对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”. ②在正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个.③正方体的展开图不会有"田"字形,"凹"字形的形状. 【题型三：几何体表面上最短距离问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解. 5．我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合勾股定理可求得灯光带的最小长度. 【解析】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度， 因为，是母线的一个三等分点（靠近点）, 所以圆锥的底面周长也就是侧面展开图的弧长,， 所以扇形的圆心角， 所以. 故最小长度为(m). 故选：B. 6．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【解析】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    【题型四：截面形状的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 截面形状判断的一些基本规律及注意点： (1)截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数. (2)不会与同一个表面有两条交线. (3)与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） (4)截面截内切球或者外接球时，要区分与面相切和与棱相切之间的关系. 7.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确． 【解析】 如图所示： 因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心， 即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是． 故选：B． 8.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABC 【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【解析】 当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC． 9．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 【题型五：求截面周长（重点）】 ⭐【知识讲解】 截面周长求法： (1)可以利用多面体展开图求. (2)可以在各个表面各自解三角形求解. 10.在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理确定截面的形状，再利用三角形相似的性质求截面的周长. 【解析】设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形，所以，. 因为，所以，， 所以四边形的周长为.故选：A. 11．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 【题型六：求截面面积（重点）】 ⭐【知识讲解】 求截面面积： (1)判断界面是否规则图形 (2)求截面各边长度 (3)规则图形，可以用对应面积公式求 (4)不规则图形，可以分割为三角形等图形求. 12．已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【解析】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 13．在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】D 【分析】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，由当为的中点时判断选项A；当与或重合时，直线与所成的角最小判断选项B；当与重合时，二面角的平面角最小判断选项C；对于D，由，过作，得到四边形即为平面截正方体所得的截面判断. 【解析】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角， 如图所示： 当为的中点时，，此时与所成的角为，所以A错误； 如图所示； 当与或重合时，直线与所成的角最小，为，所以B错误； 当与重合时，二面角的平面角最小，，所以， 所以C错误； 对于D，如图所示： 过作，交于，交于点， 因为，所以分别是的中点， 又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面， 因为，且， 所以四边形是等腰梯形，作交于点， 所以， 所以梯形的面积为，所以D正确. 故选：D 14.已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形， 由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解 【详解】由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得 ， 所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为： 【题型七：截面分体积问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求 求截面面积. 15．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【解析】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 16.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________. 【答案】17：7或7：17 【分析】如图，正方体被截面所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果 【解析】设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为E，F分别是棱，的中点， 所以棱台的体积为， 所以另一部分的体积为，所以正方体被截面分成两部分的体积之比为17：7或7：17，故答案为：17：7或7：17 【题型八：球截面问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 球截面问题求解策略： (1)确定球心和半径 (2)寻找做出并计算截面与球心的距离 (3)要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质 (4)强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点. 17．已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先确定球心的位置，进而结合，用球心到过点的截面圆的距离的取值范围可得的取值范围，从而得到结果. 【解析】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得. 假设正三棱锥中， 外接圆的圆心，则球心在上， 设， 外接圆的半径为 即，两式相减得， 又，解得，所以外接圆的圆心是球心. 如图所示： 设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为， 则， 因为球心到过点的截面圆的距离的最大值为， 所以的最小值为， 又因为点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为， 所以的最大值为， 总上可知，，即 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 18．已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】令正四面体的棱长为，由正四面体外接球的相关几何关系列方程求得，再由截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，求该截面圆的半径最小值. 【解析】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 【题型九：平行、垂直中的轨迹问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹. 19．已知每条侧棱长都为6，底面是边长为4的正方形的直四棱柱中，长为4的线段MN的一个端点在棱上运动，点在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与该几何体所围成的几何体中较小的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直角三角形的几何性质可以确定MN中点的轨迹是以D为球心，2为半径的球面在正方体内部的部分，求解即可. 【解析】连接DN，当M在底面ABCD内时△MND为直角三角形，所以MN中点到D的距离为2， 所以MN中点的轨迹是以D为球心，2为半径的球面在正方体内部的部分， 因为与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为球体积的， 所以体积等于. 故选：D.    20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A1C，则点P的轨迹长度为(　　) A.2 B.2 C.4 D.3 【答案】D 【解析】由题意可知，动点P的轨迹为过点B与直线A1C垂直的截面与正方体的表面的交线，如图所示. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD⊥AC，BD⊥AA1， 又AC，AA1⊂平面AA1C且AC∩AA1=A，所以BD⊥平面AA1C， 因为A1C⊂平面AA1C，所以BD⊥A1C. 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥B1A1， 又B1C，B1A1⊂平面B1CA1且B1C∩B1A1=B1，所以BC1⊥平面B1CA1， 因为A1C⊂平面B1CA1，所以BC1⊥A1C. 由BD，BC1⊂平面BDC1且BD∩BC1=B， 所以A1C⊥平面BDC1. 于是点P的轨迹长度为不包含点B的△BDC1的周长， 即△BDC1的周长等于3=3. 21．已知正四棱锥，底面边长为，，交于点，平面，，为的中点，动点在该棱锥的侧面上运动，并且，则点轨迹长度为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】取的中点分别为，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得点轨迹为折线，结合条件即得. 【解析】取的中点分别为，连接， 则，，又平面，， ∴平面，， ∴，又， ∴平面， 因为动点在该棱锥的侧面上运动，并且， 故点轨迹为折线， 由题可知，， ∴， 故点轨迹长度为. 故选：B. 22．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】取的中点，的中点，通过线面平行可得平面平面，由此可确定点的轨迹为线段，求出的长即可得到结果. 【解析】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 【题型十：距离、角度中的轨迹问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 距离、角度有关的轨迹问题 (1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于球或者特殊曲线（如圆）的定义等知识求解轨迹. (2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面. 23．动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】球的轨迹形成的几何体为一个棱长为4的正方体和6个长宽高分别为4，4，1的长方体，以及12个以1为底面半径，4为高的四分之一个圆柱体加上8个以1为半径的八分之一球，按照组合体分开计算体积即可. 【解析】球的轨迹形成的几何体为一个棱长为4的正方体和6个长宽高分别为4，4，1的长方体，以及12个以1为底面半径，4为高的四分之一个圆柱体加上8个以1为半径的八分之一球， 所以球的轨迹形成的几何体体积为. 故选：D. 24.(多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P为△A1BC内的一个动点(包括边界)，AP与平面A1BC所成的角为45°，则(　　) A.A1P的最小值为- B.A1P的最大值为 C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为 【答案】ACD 【解析】依题意，A1B=A1C=BC=3， 取BC的中点M，连接AM，A1M， 则AM⊥BC，A1M⊥BC， AM，A1M⊂平面A1AM，AM∩A1M=M， 所以BC⊥平面A1AM， 过A作AH⊥A1M于H，因为AH⊂平面A1AM，所以AH⊥BC， 又A1M∩BC=M，A1M，BC⊂平面A1BC，所以AH⊥平面A1BC， 易得AH=，且H为等边△A1BC的外心， 由AP与平面A1BC所成的角为45°， 可知AH=HP， 所以点P的轨迹是以H为圆心，为半径的圆在△A1BC内部及边界上的一部分，如图所示， 所以A1P的最小值为A1H-HP=-，A选项正确； 由于轨迹圆部分在△A1BC外部，所以A1P的最大值不等于A1H+HP=，B选项错误； 因为BC⊥平面A1AM，若A1P⊥BC，则点P在线段A1H上， 有且仅有一个点P满足题意，C选项正确； 动线段AP形成的曲面为圆锥AH侧面的一部分，因为cos∠B1HM==， 所以∠B1HM=，因为=，所以曲面面积为圆锥侧面积的， 圆锥AH的侧面积为××2π×=3π， 所以所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为，D选项正确. 【题型一：折叠后几何体的数字特征（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应. 2.折叠问题分析求解两原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变. 1．已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与中较小角为，斜边为，结合锥体体积公式可用与表示各四面体体积，即可采用作商法结合三角函数的性质得到各体积大小关系. 【解析】不妨设中斜边为，，则， 则，， 对折叠后的四面体，有， ，， 则 ，    对折叠后的四面体，作于点， 由为中点，则， 则， 故， ，    对折叠后的四面体，作于点， 有，由， 则， 整理得，又， 则 ，    则有， ， 由，则，， 故，，即. 故选：B. 2．已知在中，，，，D是AB的中点，沿着CD将折起，使得点A折叠到点的位置，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三棱锥的高为h，的高为，则为的中点，当且仅当平面BCD时，，此时三棱锥的体积最大，如图分别为和的外接圆圆心，为三棱锥的外接球球心，利用勾股定理求得外接球球心即可得解. 【解析】由题易知是边长为2的等边三角形，是顶角为的等腰三角形， 设三棱锥的高为h，的高为，则为的中点，则， 当且仅当平面BCD时，，此时三棱锥的体积最大， 如图分别为和的外接圆圆心，为三棱锥的外接球球心， 则四边形是矩形， 由题可知的外接圆半径为,所以（易知是等边三角形的高）. 因为，所以， 所以三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为. 故选：D. 3.如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）在图①中过C作，可得，再利用线面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）过作，过作于点，由线面垂直的性质定理可得为二面角的平面角，设，利用相似比、得求出可得答案． 【解析】（1）在图①中过C作，则，， 图②中，， 又∵，∴，∴，∴且． ∴，∴， 在中，，， ∴，又平面ACD，平面ACD， ∴平面ACD，平面平面， ∴，∴， 又是的中点，∴是的中点；    （2）如图， 过作交BE于H，过作于点，连结， 且，因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 则为二面角的平面角，∴， 设，∴， 又，∴， 在中，，, 由得，即，∴， ∴．    5．已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若为棱上动点，求的最小值； (3)求此多面体体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）在图2中，取的中点，连，，，通过证明，，可证平面； （2）将侧面与展开在一个平面内，根据两点间线段最短可求出结果； （3）根据对称性得，因为的面积为定值，所以当平面平面时，三棱锥体积最大，由此计算可得结果. 【解析】（1）在图2中，取的中点，连，，， 因为，为的中点，所以， 同理得，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面.    （2）将侧面与展开在一个平面内，如图： 当点是与的交点时，最小， 在图1中，，，所以 因为，，，，，， 所以，所以， 所以. 所以的最小值为.      （3）根据图形的对称性可知，， 因为的面积为，为定值， 所以当点到平面的距离最大值时，三棱锥体积最大，此时平面平面，点到平面的距离等于点到的距离，等于， 所以此多面体体积的最大值为. 【题型二:截面的最值（范围）问题（难点）】 ⭐【知识讲解】 截面有关的最值(范围)计算，常考虑以下方法： (1)极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性） (2)坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值. (3)化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算. 6．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由截面为等腰三角形，利用三角形面积公式，结合顶角的范围求解可得. 【解析】由题意得，圆锥的母线长， 设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为，由题意知，， 所以截面面积， 当时，，即截面面积的最大值为. 故选：D． 7.已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE，由已知得四边形是平行四边形，所以，随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E为的中点，由此可得选项. 【解析】设，则，设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE， 若平面截长方体所得截面为平行四边形，即四边形是平行四边形，所以， 随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从的中点开始运动，此时点E与重合，直到点G运动到点D为止，此时点E为的中点，所以临界状态为点E为的中点，此时，所以， 故选：D. 8.在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由等面积法可知，推导出平面，，从而，即可求解. 【解析】在中，由，，可得，， 设，在中，，由等面积法可知， 因为，，，，平面，所以平面， 又由平面，所以，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以.故选：B. 【题型三　翻折有关的动态轨迹问题（难点）】 ⭐【知识讲解】 翻折有关的轨迹问题 (1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹. (2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹. (3)可以利用空间坐标运算求轨迹. 9．(多选)如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=，F为AB的中点，现将△ABE沿BE折起到平面A1BE位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是(　　) A.平面BCDE⊥平面A1BE B.若O为BE的中点，则DE∥平面FOC C.折起过程中，F点的轨迹长度为 D.三棱锥A1-CDE的外接球的体积为π 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意得∠BEC=∠CED=，所以∠BED=，即DE⊥BE， 而已知DE⊥A1B，且A1B∩BE=B，A1B⊂平面A1BE，BE⊂平面A1BE， 所以DE⊥平面A1BE，DE⊂平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面A1BE，故A正确； 对于B，因为O为BE的中点，所以OC⊥BE，又DE⊥BE，所以OC∥DE， 又DE⊄平面FOC，OC⊂平面FOC，所以DE∥平面FOC，故B正确； 对于C，因为四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=，所以CE==2， 过点F作FG⊥BE交BE于点G，如图， 则FG=BF=， 所以折起过程中，F点的轨迹是以G为圆心，FG=为半径，圆心角为的圆弧， 所以F点的轨迹长为×=，故C错误； 对于D，连接A1O，如图， 则A1O⊥BE，又平面BCDE⊥平面A1BE，平面BCDE∩平面A1BE=BE， A1O⊂平面A1BE，所以A1O⊥平面BCDE， 又四边形OCDE为边长为的正方形，则三棱锥A1-CDE的外接球即为四棱锥A1-OCDE的外接球， 又四边形OCDE外接圆的直径为CE=2，A1O=BE=， 设四棱锥A1-OCDE的外接球的半径为R，则(2R)2=A1O2+OD2=A1O2+CE2，即(2R)2=+22=6，所以R=， 所以外接球的体积V=R3=×=π， 即三棱锥A1-CDE的外接球的体积为π，故D正确. 10.(多选)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=3，点E，F分别为边AB，CD上的点，且EF∥AD，AE=2.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥BF B.点M的轨迹长度为 C.点M到平面EBCF的最大距离为 D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-BCF外接球的表面积为28π 【答案】BCD 【解析】如图，连接CE，EM.因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD， 又AE⊥EF，所以AE⊥平面EBCF.所以CE为CA在平面EBCF内的射影.易得△BCF为等边三角形，显然CE不垂直于BF，所以AC不可能垂直于BF，故A错误； 易知BE⊥EF，易证BE⊥平面AEFD，所以∠BME为直线MB与平面AEFD所成的角.同理∠CMF为直线MC与平面AEFD所成的角，所以∠BME=∠CMF，所以tan∠BME=tan∠CMF，所以=.因为CF=2BE，所以FM=2EM. 在平面AEFD内，以E为坐标原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则F(3，0)，设M(x，y)，则有=2，化简得(x+1)2+y2=4，即点M在平面AEFD内的轨迹方程为(x+1)2+y2=4(0≤x≤1，y≥0)，所以点M在四边形AEFD内的轨迹为以(-1，0)为圆心，2为半径的圆的一段弧，弧所对的圆心角为，所以弧长为×2=，B正确； 要使三棱锥M-BCF的体积最大，只要点M的纵坐标的绝对值最大即可.令x=0， 则y=±，又y≥0，所以M(0，)，此时M到平面EBCF的最大距离为，C正确； 三棱锥M-BCF外接球的球心在过△BCF的外接圆圆心且垂直于平面BCF的直线上. 在三棱锥M-BCF中，设点Q为等边△BCF外接圆的圆心，设三棱锥M-BCF外接球的球心为O，半径为R，设OQ=a，则有R2=a2+4=+7， 解得a=，所以R2=7，所以三棱锥M-BCF外接球的表面积S=4πR2=28π，D正确. 【题型一：数学文化题（高频）】 1.已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心位置及半径，在空间内轨迹为以为球心的球，球与面的交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求得圆弧的长度即可. 【解析】在平面中，图①中以为原点以为轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，解得，所以圆心， 所以在空间内轨迹是以为球心，半径为的球， 因为平面， 平面截球所得小圆是以为圆心，以为半径的圆，且， 所以点P在侧面上的轨迹长度为P在侧面上的轨迹长度为. 【方法点睛】求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 2．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三棱锥）．若为线段（除端点外）上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为1，，平面截三棱锥所得截面的面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质可得平面平面，根据面面平行的性质可得，，利用相似三角形的性质可求面积. 【解析】 由题意得，．如图，设分别为截面与的交点，连接，则平面截三棱锥所得截面为. ∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面平面，平面平面， ∴，同理可得． ∵正方体棱长为1，∴， ∴，且． ∵ ，∴． 【题型二：新定义题(难点)】 3.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 【答案】(1)2；(2)①；② 【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可 （2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算， 把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可. ②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题. 【解析】（1）由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得：. （2）①如图，分别取的中点，连接，显然有， 所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，    因为平面，平面，所以，，，， 因为，，所以平面，又因为平面，所以， 由点处的离散曲率为可得， 所以，，，而，， 所以，故异面直线与的夹角的余弦值为. ②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，设， 在中， 因为，所以，所以， 故， 当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.    【关键点睛】本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题. 4.定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）求出、、的值，结合曲率的定义可计算出结果； （2）计算出四棱锥的表面积，根据等体积法计算出四棱锥内切球的半径，结合球体体积公式可求得结果； （3）过点作交于点，连接，推导出平面，分析可知，为直线与平面所成的角，然后设，利用余弦定理求出，利用三角形相似求出，结合函数基本性质求出的范围，即可得出结果. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得． （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积． （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角． 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为． 【方法点睛】计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$