暑假作业16 几何法破解空间距离问题（7大巩固提升练+4大能力培优练+2大创新题型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业16 拓展专题6 几何法破解空间距离问题 【知识点 空间距离】 1.两点间的距离 连接两点间线段的长度称为两点间的距离. 2.点到直线的距离 过点向直线作垂线，这点和垂足间的线段的长度叫作这点到直线的距离. 3.点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线段的长度. 4.直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线与平面的距离. 从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距 离.可选择直线上的端点、中点等. 5.两个平行平面的距离 若两个平面平行，则其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离，叫作两平行平面间的距离. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：求点到直线的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 1. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 【题型二：直接法求点到平面的距离（易错）】 ⭐【知识讲解】 所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的长，即得户得点到平面的距离. 3.在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 4.两平行平面，之间的距离为，直线与平面，分别交于A，两点，点，若，则点P到平面的距离为 ． 【题型三：等体积法求点到平面的距离（易错）】 ⭐【知识讲解】 所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离. 5．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 6．已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为 ． 【题型四：垂面法求点到平面的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 7.如图9-8-6,长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，E为AA1的中点，求： ⑴点A1到截面AB1D1的距离； ⑵点E到截面AB1D1的距离.A B C D A1 B1 C1 D1 O1 H · E 图9-8-6 【题型五：等距转化法求点到平面的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 8．在三棱柱中，是棱长为的正四面体，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 9．已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．    (1) 求证：平面平面； (2) 若，求点到平面的距离． 【题型六：转化法求直线到平面的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到直线的距离. 10.已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为　　. 【题型七：转化法求两平行平面间的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 两平行平面间的距离一般转化为求其中一个平面上某点到另一个平面的距离. 12．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 13．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【题型一：由空间距离求参（重点）】 1如图，已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，球心到平面的距离为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，平面，与平面的距离为，该五面体的体积为（      ）    A． B．6 C．9 D． 【题型二：空间角与空间距离的综合】 3．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ） A．正方体的内切球的半径为 B．两条异面直线和所成的角为 C．直线BC与平面所成的角等于 D．点D到面的距离为 4．在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．异面直线 【题型三：空间距离与位置关系的综合（难点）】 5．四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 6．如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，点在线段上，∥平面． （1）证明：点为线段中点； （2）已知平面，，点到平面的距离为1，四棱锥的体积为，求． 【题型四：与距离有关的最值（范围）问题】 7．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 8．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 9.如图，在斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直. （1）求证：平面平面； （2）若与平面的距离为，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值. 【题型一：数学文化题（高频）】 1.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为(    ) A． B．1 C． D． 2．榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木根是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体中，四边形为矩形，，，都与底面ABC垂直，，，，直线到平面的距离为，则几何体的体积为（    ）    A．8 B．11 C．14 D．18 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； (3)当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 【题型二：新定义题（难点）】 4．定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 ． 5．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业16 拓展专题6 几何法破解空间距离问题 【知识点 空间距离】 1.两点间的距离 连接两点间线段的长度称为两点间的距离. 2.点到直线的距离 过点向直线作垂线，这点和垂足间的线段的长度叫作这点到直线的距离. 3.点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线段的长度. 4.直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线与平面的距离. 从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距 离.可选择直线上的端点、中点等. 5.两个平行平面的距离 若两个平面平行，则其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离，叫作两平行平面间的距离. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：求点到直线的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 1. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先得到，设点A到平面的距离为h，得到方程，求出答案. 【详解】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8， 则直三棱柱的体积为4，故， 即， 又因为， 所以，故点A到平面的距离为. 故选：B 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 【答案】B 【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA， BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2. 【题型二：直接法求点到平面的距离（易错）】 ⭐【知识讲解】 所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的长，即得户得点到平面的距离. 3.在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 【答案】 【解析】如图，设为底面的中心，则底面， 因为平面，所以， 由题意，， 则在正方形中，， 所以， 则顶点P到底面的距离为. 4.两平行平面，之间的距离为，直线与平面，分别交于A，两点，点，若，则点P到平面的距离为 ． 【答案】或 【分析】作图，利用三角形的相似比可得. 【解析】设点P到平面的距离为，到平面的距离为． 当P在平面，之间时，； 当P在平面，同侧时， ∵，∴，， ∴，． ∴点P到平面的距离为或． 【易错警示】本题中点P可以在两平面之间，也可以在两平面之外，要注意不要漏解. 【题型三：等体积法求点到平面的距离（易错）】 ⭐【知识讲解】 所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离. 5．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用等体积计算即可. 【解析】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 6．已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【解析】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，由体积为， 得，解得：，设点到平面的距离为， 由，得等腰底边上的高为， 则，取的中点，连接，则， 由平面，面，得，而， 平面，因此平面，在中，， 由，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 【题型四：垂面法求点到平面的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 7.如图9-8-6,长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，E为AA1的中点，求： ⑴点A1到截面AB1D1的距离； ⑵点E到截面AB1D1的距离.A B C D A1 B1 C1 D1 O1 H · E 图9-8-6 【答案】(1) ;(2) 【解析】 ⑴如图所示，设A1C1∩B1D1=O1 ∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1， ∴B1D⊥平面AA1O1 故平面AA1O1⊥平面AB1D1，其交线为AO1， 在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离， 在Rt△A1O1A中，A1O1=， AO1=，由A1O1·A1A=A1H·AO1得，A1H=. 故点A1到截面AB1D1的距离为 ⑵∵E为AA1的中点，∴A1到平面AB1D1的距离是E到平面AB1D1的距离的2倍， ∴E到平面AB1D1的距离为. 【方法点拨】本题如果直接过点A1作平面AB1D1的垂线，垂足的位置没法确定，为了解决这一问题，于是过点A1作一个与平面AB1D1垂直的平面AA1C1，然后利用面面垂直的性质定理确定了点A1在平面AB1D1的垂足.这就是“垂面法”求点到面的距离的基本思想. 【题型五：等距转化法求点到平面的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 8．在三棱柱中，是棱长为的正四面体，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取、的中点、，连接、、、，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，利用余弦定理、同角三角函数的基本关系求出的值，进而可求得的长，再结合平面可求得结果. 【解析】分别取、的中点、，连接、、、，如下图所示： 由题意可知，因为四面体是棱长为的正四面体， 则是边长为的等边三角形，则，故， 同理可得，， 因为且，所以，四边形为平行四边形，则且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 又因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则，且、、、四点共面， 因为，，，、平面， 所以，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，所以，， 又因为，，、平面，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 因此，点到平面的距离为. 因为，平面，平面，所以，平面， 所以，点到平面的距离等于. 故选：C. 9．已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．    (1)求证：平面平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）由勾股定理证得，，得到平面，证得，从而证得平面，进而利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （2）根据题意点到平面的距离转化为到平面的距离，过点作证得平面，转化为边的高，在中，利用面积相等，即可求解. 【解析】（1）证明：因为是正方形，且，可得，且， 又因为，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）解：因为与平面交点为，且， 可得点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作于点， 由（1）知平面，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 即到平面的距离为边的高，设为， 过作于，则，所以， 所以，即点到平面的距离等于．    【题型六：转化法求直线到平面的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到直线的距离. 10.已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，连接，由几何关系证明MN到平面的距离即点到平面的距离，再由等体积法求出结果即可； 【解析】 延长交延长线于点，连接，， 因为分别是AB和BC的中点，则， 由正方体的性质可得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以MN到平面的距离即点到平面的距离，设为， 则， 因为正方体的棱长为1， 所以，，， 所以，即， 故选：C. 11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为　　. 【答案】 【解析】因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC，所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距离为. 【题型七：转化法求两平行平面间的距离（重点）】 ⭐【知识讲解】 两平行平面间的距离一般转化为求其中一个平面上某点到另一个平面的距离. 12．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由正方体的性质可得、，再由线面平行的判定可证面、面，最后根据面面平行的判定证结论. （2）将问题转化为求到面的距离，利用等体积法有求点面距离即可. 【解析】（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点， 所以，，故为平行四边形， 所以，又E是AA1的中点，易知：， 所以， 正方体中，而，面， 由面，则面，同理面， 又，面，故平面EB1D1平面FBD； （2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离， 而，而，，故△中BD的高为， 所以， 而，到面的距离， 所以，可得， 故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为. 13．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【题型一：由空间距离求参（重点）】 1如图，已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，球心到平面的距离为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可证得，，从而可得球心是的中点，取的中点，连接，然后在中可求得球的半径，进而可求得球的体积 【详解】如图，因为，， 所以，所以. 因为平面，平面， 所以，. 又，所以平面， 所以，所以球心是的中点. 取的中点，连接，则∥， 所以平面，所以. 设球的半径为，在中，， 所以球的体积为， 故选：A. 2．某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，平面，与平面的距离为，该五面体的体积为（      ）    A． B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】把五面体分割成一个柱体和两个椎体即可. 【解析】在平面中，过分别作，交点分别为， 在平面中，过分别作，交点分别为， 连接， ，，， 平面，平面， 平面，同理可得：平面， 所以平面平面， 所以该几何体分成中间一个直三棱柱和左右两个四棱椎，且两个四棱锥可合为一个大的四棱锥， 平面中过点作， 因为平面，平面， ，， 平面，平面， 平面， 设两个四棱锥合在一起的大四棱锥的体积为 所以五面体的体积 . 故选：B.    【题型二：空间角与空间距离的综合】 3．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ） A．正方体的内切球的半径为 B．两条异面直线和所成的角为 C．直线BC与平面所成的角等于 D．点D到面的距离为 【答案】BC 【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接，把异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角，为正三角形，可判定B正确；证得平面，进而求得直线与平面所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到，进而可判定D错误. 【解析】对于A中，正方体的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，所以内切球的半径，所以A错误. 对于B中，如图所示，连接， 因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角的大小， 又因为，则为正三角形，即，所以B正确； 对于C中，如图所示，连接，在正方形中，. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为， 所以C正确； 对于D中，如图所示，设点D到面的距离为，因为为正三角形， 所以, 又因为，根据等体积转换可知：， 即，即，解得，所以D错误. 故选：BC. 4．在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．异面直线 【答案】AC 【分析】根据线面角的定义判断A，取取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，从而判断B，利用等体积法判断C，利用线面垂直的性质推出矛盾，即可判断D. 【解】因为面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角是，故A正确； 取中点为，连接， 因为面， 面，所以、、，， 所以，，， 故为二面角的平面角， 则，故二面角的正切值为，故B错误； 因为，所以，设到面的距离为， 则，解得，故C正确； 若，又面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以，与矛盾，故D错误； 故选：AC. 【题型三：空间距离与位置关系的综合（难点）】 5．四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为。 6．如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，点在线段上，∥平面． （1）证明：点为线段中点； （2）已知平面，，点到平面的距离为1，四棱锥的体积为，求． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）连结，与相交于点,由线面平行的性质定理即可证得，在中，由为中点，即可证得结论； （2）平面，，可证得平面平面，由面面垂直的性质可证得面，由已知可得，根据体积公式即可求得. 【解析】（1）连结，与相交于点，连结，则经过的平面与平面交线为． 因为平面， 所以． 因为四边形是菱形， 所以为的中点， 所以是中位线，于是为线段中点． （2）因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离等于1． 因为平面， 所以平面， 所以平面平面， 平面平面．因为， 所以面，因此． 因为，所以四边形是边长为2的菱形，面积为， 所以四棱锥的体积为， 由，得． 【题型四：与距离有关的最值（范围）问题】 7．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接、，过点作于点，结合题意可得平面，平面，故点到直线距离的最小值为，计算出即可得. 【解析】在上取点，使，连接、，过点作于点， 由，故，又平面， 平面， 故平面，由平面，平面，故， 故，又，，、平面， 故平面，故到平面的距离为， 又在线段上，故点到直线距离的最小值为， 由，故，则， 故. 故选：C. 8．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值． 【解析】   解：如图所示，取的中点F，连接，， ∵，底面， ∴四边形是矩形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， ∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离， 过点作， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∴平面， 过点M作交于点P，则， 取，连接，则四边形是矩形． 可得平面， 在中，， 得， ∴点P到直线的距离的最小值为． 故选：B． 9.如图，在斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直. （1）求证：平面平面； （2）若与平面的距离为，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）通过线面平行证明面面平行； （2）找到三棱锥合适的底和高，并求出底和高关于的表达式，从而求出体积的表达式； （3）求出表达式之后，利用函数思想即可求解体积的最大值，以及此时的值. 【解析】（1）斜三棱柱中，四边形是平行四边形，且为的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 连接，如图所示： 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面，所以平面，因为,平面， 所以平面平面 （2）因为，为的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面，平面， 所以与平面的距离， 因为平面，所以，中， ，所以，，所以 因为平面，则平面，平面，所以，且，，平面， 所以平面，且平面， 所以，记交点为，则三角形为直角三角形， 因为，且，，， 所以，，， 所以， 所以，即 （3）由（2）得：，，令，所以当，时，，此时， 所以当与平面的距离时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为6. 【题型一：数学文化题（高频）】 1.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】连接，如图所示.因为分别为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为为正三角形的中线，所以，, 所以，所以为直角三角形，即， 所以．因为， 所以到平面的距离为， 设到平面的距离为，因为， 所以， 所以，所以． 故选：B. 2．榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木根是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体中，四边形为矩形，，，都与底面ABC垂直，，，，直线到平面的距离为，则几何体的体积为（    ）    A．8 B．11 C．14 D．18 【答案】B 【分析】将几何体被分割为四棱锥与直三棱柱，再分别求出四棱锥和直三棱柱的体积即可. 【解析】    如图，作，，分别在棱，上，连接， 则几何体被分割为四棱锥与直三棱柱． ∵点到平面的距离为， ∴四棱锥的高为， 又四边形的面积为， ∴． ∵，，都与底面垂直， ∴即为直三棱柱的高， 而， ∴， 故几何体的体积为． 故选：B. 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； (3)当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可； （2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可； （3）由前两问表示出阳马的体积，利用基本不等式求出最值，从而得到相应线段的长度，在根据图找出、证明、求解点到平面的距离. 【解析】（1）证明：由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以四边形为平行四边形为矩形， 又，， 所以平面， 所以根据题意得：四棱锥为阳马. （2）由（1）知平面， 所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，， 所以 在中，， 所以， 又，所以在中， ， 所以堑堵的体积为： . （3）过作交于点，如图所示： 由平面，平面， 所以，又， 所以平面， 所以为点到平面的距离， 由， 因为， 当且仅当时， 阳马的体积最大且为， 在中，, 由等面积法得：， 即， 所以当阳马的体积最大时，点到平面的距离为. 【题型二：新定义题（难点）】 4．定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 ． 【答案】/ 【解析】根据题意，设点在锐二面角内， 过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为， ，，则直线，同理：， 而，平面，则平面， 设平面与直线的交点为，平面， 则有，，， 连接、、，则是二面角的平面角或其补角， 依题意，不妨设，则，， 如图：    在中，，，则， 在中，，，则， 则，所以锐二面角的大小为. 5．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 【答案】7， 【分析】分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； 【解析】①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$