暑假作业14 几何体的外接球、内切球、棱切球问题（12大巩固提升练+2大能力培优练+1大创新题型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 拓展专题4：几何体的外接球、内切球、 棱切球问题 【知识点1 几何体的外接球】 1.几何体外接球的概念 （1）若多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球； （2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的截面圆，则该球叫作该旋转体的外接球. 2．常见几何体外接球半径R的速算公式 模型 速算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 【知识点2 几何体的内切球】 1.几何体内切球的概念 内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. 2.内切球半径的求解 作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. 3.常见几何体的内切球半径r的速算公式： (1)棱长为的正方体： (2)棱长为的正四面体：; (3)体积为，表面积为的棱锥：; (4)底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥：. 【知识点3 多面体的棱切球】 1.多面体的棱切球的概念 若一个多面体的各条棱都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球 【注意】旋转体没有棱切球. 2.正方体的棱切球 设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r=，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球直径相等. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：正方体、长方体模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 正方体、长方体的外接球模型： 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 1．已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2.已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 【题型二：正四面体模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 正四面体外接球半径求法： 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 4．棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（          ） A． B． C． D． 5.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【题型三：对棱相等模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 6.在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 7.为了求一个棱长为的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.学以致用： (1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为，2，，求此四面体外接球表面积； (2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形. 【题型四：柱体模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 柱体的外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 8.已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B．1 C． D．3 9．已知圆柱的高为，且其上下底面圆周都在同一个表面积为的球面上，则此圆柱的底面半径为 . 【题型五：线面垂直模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 策略一：补成柱体模型进行求解. 策略二：确定球心法. 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 10．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 11．已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型六：正棱锥与侧棱相等模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 12．已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 13．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型七：共斜边拼接模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 14．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型八：垂面模型(重点)】 ⭐【知识讲解】 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 16.若体积为的四棱锥的五个顶点都在表面积为的球面上，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，则棱的长为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 17.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【题型九：圆锥圆柱圆台模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 18．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 19. （多选）圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为 【题型十：几何体的内切球（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法，如锥体内切球半径.． 20.如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 21.棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 22.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【题型十一：棱切球（重点）】 ⭐【知识讲解】 方法：找切点，找球心，构造直角三角形，求半径. 23．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 24．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 【题型一：二面角模型（难点）】 ⭐【知识讲解】 二面角模型：多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 1．三棱锥中，是边长为4的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【题型二：最值模型（难点）】 ⭐【知识讲解】 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：函数法，基本不等式法，观察法等. 3．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，并且，，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A．56 B．48 C．32 D．58 4.在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（多选）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（    ） A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C．该“刍童”外接球的表面积为 D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 3．（多选）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20cm，帽底宽，关于此斗笠，下面说法正确的是（   ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 4．阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为 . 5．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    6．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 拓展专题4：几何体的外接球、内切球、 棱切球问题 【知识点1 几何体的外接球】 1.几何体外接球的概念 （1）若多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球； （2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的截面圆，则该球叫作该旋转体的外接球. 2．常见几何体外接球半径R的速算公式 模型 速算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 【知识点2 几何体的内切球】 1.几何体内切球的概念 内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. 2.内切球半径的求解 作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. 3.常见几何体的内切球半径r的速算公式： (1)棱长为的正方体： (2)棱长为的正四面体：; (3)体积为，表面积为的棱锥：; (4)底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥：. 【知识点3 多面体的棱切球】 1.多面体的棱切球的概念 若一个多面体的各条棱都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球 【注意】旋转体没有棱切球. 2.正方体的棱切球 设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r=，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球直径相等. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：正方体、长方体模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 正方体、长方体的外接球模型： 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 1．已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为三棱锥中，，、两两垂直， 所以其外接球半径满足，. 故三棱锥的外接球表面积为. 故选：D. 2.已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：设正方体的中心满足： 所以该几何体的外接球的球心为，半径为1 则外接球表面积为 故选：A 3．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 【答案】 【解析】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 【题型二：正四面体模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 正四面体外接球半径求法： 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 4．棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为 的正四面体的外接球的半径为， 设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则 ，体高为 ，由于外接球半径为 ，利用勾股定理得： ，解得， 故选:D． 5.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为， 正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径， 所以正四面体的外接球体积为． 故选：A 【题型三：对棱相等模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 6.在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 7.为了求一个棱长为的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.学以致用： (1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为，2，，求此四面体外接球表面积； (2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形. 【解析】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质， 可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如下图： 设此四面体所在长方体的棱长分别为a，b，c， 则， 解得，得， 外接球的表面积为. （2）在四面体ABCD中，，，， 如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合 四面体ABCD的四个面为全等三角形， 即只需证明一个面为锐角三角形即可. 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则，，， ，，， 为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形. 【题型四：柱体模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 柱体的外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 8.已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【解析】，则，则， 所以外接圆的半径， 设，所以直三棱柱外接球的半径， 球的体积，所以，即， 所以三棱柱的体积. 故选：A 9．已知圆柱的高为，且其上下底面圆周都在同一个表面积为的球面上，则此圆柱的底面半径为 . 【答案】 【解析】设球的半径为，则，所以， 设圆柱的底面半径为，则，解得. 【题型五：线面垂直模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 策略一：补成柱体模型进行求解. 策略二：确定球心法.如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 10．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 11．已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设球心为，取线段的中点记为. 因为，，， 所以在中，由余弦定理可得，即. 则有，即是以线段为斜边的直角三角形. 所以点是截面ABC的圆心，半径为 则平面ABC. 又因为平面ABC，且三棱锥内接于半径的球， 所以球心在线段的垂直平分线上， 所以， 由，,解得. 所以三棱锥的体积为. 故选：C. 【题型六：正棱锥与侧棱相等模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 12．已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 故点为外接球的球心，半径为2， 故外接球的体积， 故选：C． 13．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 【题型七：共斜边拼接模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 14．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则,所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为. 故选：C.    15．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令正方形对角线与的交点为，如图所示： 由正方形中，, 则，那么, 将正方形沿对角线折起，如图所示：    则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为， 故外接球的表面积为. 故选：D 【题型八：垂面模型(重点)】 ⭐【知识讲解】 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 16.若体积为的四棱锥的五个顶点都在表面积为的球面上，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，则棱的长为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】设四棱锥的外接球球心为，半径为，则，解得， 设四棱锥的高为，则，解得， 设的中点为，过点在平面内作， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 由球的几何性质可知平面，且，则， 所以，平面，故的外接圆的半径为，，且， 因为，所以，、在的同侧，则为锐角，设，， 所以，， ，可得，① 由余弦定理可得，，② 联立①②可解得或. 故选：D. 17.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故选：A. 【题型九：圆锥圆柱圆台模型（重点）】 ⭐【知识讲解】 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 18．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题意知，侧面展开图的面积， 则，即，故圆锥的底面周长为的长，为， 所以，所以圆锥的底面半径为1， 从而，故其外接球的球心在线段上． 不妨设球心为，半径为．连接，则由， 得，解得，所以， 所以该圆锥的外接球的表面积． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先根据侧面展开图的面积求出侧面展开图的圆心角，再求出圆锥底面的半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径． 19. （多选）圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到圆台的母线长，进而求出侧面积，加上上下底面积，得到表面积；B选项，利用台体体积公式进行计算；C选项，作出辅助线，得到外接球半径，求出表面积；D选项，当为球的直径时，球的体积为，故得到圆台能装下最大球的体积小于等于，D错误. 【解析】A选项，圆台的上底面面积为，下底面面积为， 由题意得，过点作⊥于点， 则，由勾股定理得， 故侧面积为， 故表面积为，A错误； B选项，圆台的体积为，B正确； C选项，设外接球球心为，连接，则， 设，则， 由勾股定理得，即， 同理可得， 故，解得， 故，故圆台外接球表面积为，C正确； D选项，当为球的直径时，即半径为1，此时球的体积为， 故圆台能装下最大球的体积不会大于，D错误. 故选：BC 【题型十：几何体的内切球（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法，如锥体内切球半径.． 20.如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， 因为，所以，， 因为，所以， 因为三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面∥平面，所以， 由， 得， ， ，解得， 因为，所以，. 故选：A. 21.棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【解析】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 22.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 【题型十一：棱切球（重点）】 ⭐【知识讲解】 方法：找切点，找球心，构造直角三角形，求半径. 23．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 24．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 【答案】 【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为， 如图所示，为的中点，，    由正四面体的性质可知线段为正四面体的高， 在正中，， 同理，在正中，， 则，， 所以， 则， 由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上， 则， ， 所以，故， 而棱切球与棱相切，故其半径为， 则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为. 【题型一：二面角模型（难点）】 ⭐【知识讲解】 二面角模型：多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 1．三棱锥中，是边长为4的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点为，连接，如下图所示： 又因为是边长为4的正三角形，，所以; 所以即为二面角的平面角，即， 由余弦定理可得，可得； 所以，可得， 又，平面，因此平面； 易知， 设的外接圆半径为，则，可得； 设的外接圆圆心为，一定在上，且； 则三棱锥的外接球的球心一定在圆心的正上方，即平面； 因此与平行， 令三棱锥的外接球的半径为，则， 解得； 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 【方法总结】求解几何体外接球问题时，要首先根据几何体的特征确定出球心位置，再利用线面垂直以及勾股定理等求出外接球半径即可得出结论. 2．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 取中点，中点，连接，，由题意可知： ，，所以为二面角的平面角，. 由题意可得为等腰直角三角形，所以为的外心， 过作直线平面，则三棱锥外接球的球心必在直线上. 因为平面，平面，所以，所以在平面中. 又为的外心，连接，则平面. 所以. 由于，，则， 为等腰直角三角形，故， 在中， ，，，所以. 所以三棱锥外接球的半径：， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故选：D 【方法点睛】本题确定外接球球心位置的方法是：作三棱锥两个平面的外心，过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点就是三棱锥的外接球的球心. 【题型二：最值模型（难点）】 ⭐【知识讲解】 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：函数法，基本不等式法，观察法等. 3．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，并且，，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A．56 B．48 C．32 D．58 【答案】A 【解析】设球心为O，连接OA，OB，OC，， 设点C、D到平面OAB的距离分别为、，点A、B到平面OCD的距离分别为、， 则，，， 则 ， 当且仅当平面OAB，平面OCD时取等号. 故选：A 【技巧点拨】利用，结合点C、D到平面OAB的距离和，点A、B到平面OCD的距离和为关键. 4.在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设外接圆半径为， 在中，由余弦定理，， 即，整理得， 所以，故 由正弦定理得，所以， 三棱锥的外接球的半径 三棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故选：A． 5．在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故选：. 【题型一：数学文化题（高频）】 1．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得. 【解析】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 2．（多选）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（    ） A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C．该“刍童”外接球的表面积为 D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误； 对B：设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图： 易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等. 则,，, 所以， 可得， 设，则，故B正确； 对C：如图： 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（） 则， 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：. 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（） 则，不合题意，故舍去. 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.故C正确； 对D：如图： 等腰梯形中，，，，所以， 即等腰梯形外接圆的半径. 所以该“刍童”的的外接球球心到平面的距离为：， 所以该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD 3．（多选）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20cm，帽底宽，关于此斗笠，下面说法正确的是（   ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 【答案】ACD 【分析】根据题干，将图形画出，对于A：利用直角三角形中的边角关系即可求得； 对于B:求出截面的表达式，利用三角函数的有界性即可求得结果； 对于C：利用直角三角形勾股定理即可求得结果； 对于D：利用直角三角形中的边角关系即可求得； 【解析】对于A： 设圆锥顶点为P，O为底面圆心，底面圆的半径为，轴截面为， 则，，． ，，，A正确； 对于B:设截面三角形中两母线所成角为，， 则截面三角形为等腰三角形，截面三角形面积为：， 当且仅当时，等号成立，B错误； 对于C：设外接球球心为M，半径为，易得， 在中，，则， 解得，所以外接球表面积，C正确； 对于D：设内切球球心为,内切球半径为，， ，D正确． 故选：ACD． 4．阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为 . 【答案】 【解析】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得：. 5．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    【答案】, 【分析】利用旋转和对称关系求出，根据柱体、球体的表面积公式求解即可. 【解析】    如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , . 6．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    【答案】(1)作图见解析，2；(2)①；② 【分析】（1）首先根据题意画出阳马和鳖臑，，再计算其体积比即可. （2）①根据即可得到三棱锥的高；②根据计算得到三棱锥外接球的半径为，再求外接球表面积即可. 【解析】（1）如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥， 设，，，则，， 于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2. （2）①，， 等腰的面积， 设三棱锥的高为，由，得， 解得，所以三棱锥的高为. ②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为，则 所以三棱锥外接球的体积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$