第02讲 常用逻辑用语（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 常用逻辑用语 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 命题 2 知识点2 充分条件、必要条件与充要条件 4 知识点3 反证法 5 知识点4 从集合角度看充分、必要条件 5 题型破译 6 题型1 判断命题的真假 6 题型2 已知命题的真假求参数 12 题型3 充分、必要条件的判定 16 题型4 充分、必要条件的应用 18 题型5 反证法证明 28 04真题溯源·考向感知 33 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）命题 （2）充分条件、必要条件与充要条件 （3）反证法 单选题 填空题 解答题 / 第21题充要条件证明 第16题判断命题的真假 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考内容，考查形式多样。选择题难度中档，分值为5分，解答题一般与压轴题综合总分值为18分。 复习目标： 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系 2.掌握逻辑用语与其他知识综合应用 知识点1 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 自主检测设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【知识点】函数新定义、求正切（型）函数的值域及最值、对数函数单调性的应用、判断命题的真假 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 则 满足和是有限集， 从而和是互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 知识点2 充分条件、必要条件与充要条件 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 自主检测设是虚数单位，则 “”是复数“复数为纯虚数”的 ．(填充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件) 【答案】必要不充分条件 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】根据题意可两个命题成立的条件，再对应到复平面的点集中即可判断充分与必要性. 【详解】，或，即对应复平面的实轴和虚轴，复数为纯虚数，所以且，对应复平面除原点外的虚轴，故“”是复数“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 知识点3 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 自主检测设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【知识点】整数与整除、反证法证明、反证法的概念辨析 【分析】结合数论知识以及反证法即可得证. 【详解】用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 知识点4 从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 题型1 判断命题的真假 例1-1（24-25高三下·上海·月考）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、判断两个集合的包含关系 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数的图像为曲线．关于命题①“任取平面上的一点，与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题②“存在倾斜角的直线，使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是（   ）． A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、函数关系的判断 【分析】命题①由点的对称可得到对称前后点的关系，代入之后可得结果；命题②根据轴对称，找函数上的最低点，证明经过对称之后在第二或第三象限，再找与对称轴的交点必在第一象限，则图像经过轴，又原点也在轴，则对称后的图像与轴有两个交点，可得结论. 【详解】命题①：设曲线关于点对称的曲线上的点为，任取平面上一点，则点关于对称的点为在曲线上， 则有，即，仍为函数，故命题①正确； 命题②：对求导得，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且有最小值， 任取直线，设关于直线的对称点为， 则有，解得：， 因为，所以，即经过对称后，函数上的最低点必在第二象限或第三象限， 又函数与在第一象限有交点，关于对称后，对称图像仍与交于同一点， 所以对称之后的图像与轴有两个公共点，所以对称之后不是函数.    故选：C 【点睛】关键点睛：把握函数的特点，对应一个，有且只有唯一的一个值与之对应，当不为函数时，找到一个对应两个即可. 例1-3（24-25高三上·上海·月考）现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题 ①存在，与有无穷个交点； ②存在，与有无穷个交点； 则下面选项正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、基本初等函数的导数公式、函数图象的应用 【分析】根据函数新定义，明确函数、的性质，从而作出它们的图象，数形结合，即可判断所给命题的真假，可得答案. 【详解】由于，所以， 由于，所以， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，！，当时，， 由题意画出和的函数图象如图所示    可知是以1为周期的周期函数， 因为，所以不存在直线与有无穷个交点；所以①是假命题； 当时，，是一条线段， 即当！时，存在使得直线与函数图象有无数个公共点， 所以②是真命题； 故选：D． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合函数新定义确定函数性质，从而作出函数图象，由此可求解答案. 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（ ） A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题 C．、都为真命题 D．、都为假命题 【答案】B 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、轨迹问题——圆、根据函数的最值求参数、判断命题的真假 【分析】设，，可求得点的轨迹方程为，求得，然后求出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可得出的最小值，可得出关于的函数关系式，利用换元法结合双勾函数的单调性可求得的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】设，，， 可得，所以点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且， 解得， 因为即， 因为， 所以 ， 因为，则， 所以，当时，取得最小值， 且， 令，可得， 所以，， 令，其中，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数， 任取、且，即， 所以，， 因为，则，，则， 所以，函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数， 令，其中， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，即，所以. 故为假命题，为真命题. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将、放到坐标系中，将已知条件转化为坐标关系，进而根据坐标研究. 【变式训练1-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）下列四个命题中，真命题的个数为（    ） ①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、函数奇偶性的定义与判断、判断命题的必要不充分条件、判断命题的真假 【分析】对于①：根据独立事件和事件的运算分析判断；对于②：根据平均数和方差的性质分析判断；对于③：根据数据量与向量夹角之间的关系分析判断；对于④：举反例说明即可. 【详解】对于①：若事件A和相互独立，则， 所以，故①错误； 对于②：设原数据的平均数为，方差为， 将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则新数据的平均数为，方差为， 即方差不会发生改变，故②错误； 对于③：若，等价于和的夹角为锐角或为零角， 所以“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件，故③正确； 对于④：例如，满足， 但为非奇非偶函数，故④错误； 综上所述：真命题的个数为1. 故选：B. 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·月考）如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（    ） 命题甲：存在曲线满足要求 命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求 A．甲命题正确，乙命题正确 B．甲命题错误，乙命题正确 C．甲命题正确，乙命题错误 D．甲命题错误，乙命题错误 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】根据给定图形求出直线的斜率及对应方程，对命题甲中函数求导，利用导数的几何意义建立关系判断方程组有的情况判断；对于乙命题中函数求导，建立方程求出在处的导数值判断. 【详解】由图知点，直线的斜率分别为， 则直线AB的方程为，直线CD的方程为， 对于命题甲：曲线的导函数为， 当时，，当时，，代入得 ，即， 又由，得， 而的取值集合为，要， 必有，又当时，，， 因此不存在，即方程组中a，b没有解，命题甲不正确； 对于命题乙：当时，由，求导得， 有，即， 即当时，曲线满足要求，命题乙正确. 故选：B 【点睛】思路点睛：函数在某点处的导数值，就是该函数图象在该点处切线斜率. 题型2 已知命 题的真假求参数 例2-1命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数 【分析】由题可得或，进而即得. 【详解】由可得或， 因为命题“若，则”是真命题， 从而或， 所以， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 例2-2已知命题：关于的不等式的解集不是空集，命题：关于的方程两个根异号，若与中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、求绝对值不等式中参数值或范围、已知命题的真假求参数 【分析】采用分类讨论法先求解出为真命题时的范围，然后再分析为真命题时的范围，最后根据与一真一假求解出的取值范围. 【详解】当为真命题时， 若，， 若，， 若，， 所以的取值范围是， 又因为的解集不是空集，所以； 当为真命题时， 因为关于的方程两个根异号， 所以，解得； 当为真命题，为假命题时，可得， 当为假命题，为真命题时，此时无解， 综上所述，的取值范围是， 故答案为：. 例2-3已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可； （2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则 ， 解得：，故m的取值范围为 （2）若方程无实根，则，解得：， 当真假时， ，解得：； 当假真时， ，解得：， 综上可知：的取值范围是或. 故m的取值范围为 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型. 【变式训练2-1】命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 【变式训练2-2】命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 【变式训练2-3】已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知命题的真假求参数、点与圆的位置关系求参数、根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可； （2）当为真时，求得，再根据或，求解即可. 【详解】（1）解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 题型3 充分、必要条件的判定 例3-1（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】分类讨论求解，即可判断． 【详解】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 例3-2命题甲：关于x的不等式的解集是空集．命题乙：函数为单调递减函数． (1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求a的取值范围； (2)求a的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知命题的真假求参数、必要条件的判定及性质、根据函数的单调性求参数值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）先求解命题甲、乙分别为真命题时a的取值范围，再求解甲、乙都是假命题a的取值范围，求解对应补集即可； （2）即命题乙为真命题可推出命题甲为真命题，结合命题甲、乙分别为真命题时a的取值范围，分析求解即可. 【详解】（1）由题意，若命题甲为真命题，即关于x的不等式的解集是空集， 即， 解得：或； 若命题乙为真命题，即函数为单调递减函数， 即，解得：； 若甲、乙都是假命题，则且或，即， 故若命题甲、命题乙中至少有一个真，a的取值范围是. （2）由题意，命题甲是命题乙的必要条件， 即命题乙为真命题可推出命题甲为真命题， 由（1）命题乙为真命题，即，命题甲为真命题，即或， 由于或 故当时，命题乙可推出命题甲，即命题甲是命题乙的必要条件. 【变式训练3-1】已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】等比数列下标和性质及应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 【变式训练3-2】已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出圆与轴相切的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】圆的标准方程为， 圆心，半径，有， 若，由，可得， 圆心到轴的距离，此时圆与轴相切； 若圆与轴相切， 则，可得， 所以“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 题型4 充分、必要条件的应用 例4-1（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、用导数判断或证明已知函数的单调性、等比数列的定义 【分析】（1）首先求的导数，再根据等比数列的定义，即可证明； （2）首先求和集合，再利用导数讨论函数的单调性，由，讨论得到取值范围； （3）首先证明必要性，若函数为偶函数，根据偶函数的性质，证明，再证明充分性，若对于任意正实数，均有，分和两种情况证明. 【详解】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 例4-2对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”． (1)证明函数是“类周期函数”； (2)证明函数不是“类周期函数”； (3)已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、反证法证明、判断命题的必要不充分条件 【分析】(1)利用“类周期函数”的定义，找到函数的一个“类周期”，即可证明函数是“类周期函数”； (2)利用反证法可以证明函数不是“类周期函数”； (3)利用函数是“类周期函数”将函数化简，再进行充分必要性的证明. 【详解】（1）取，，， ， 函数是“类周期函数”，是其一个“类周期”； （2）假设函数是“类周期函数”， 则存在非零常数，使得对任意都成立， 取，则可得，所以，与矛盾， 所以假设不成立，故函数不是“类周期函数”； （3）函数，是“类周期函数”， 则存在非零常数，使得，对任意都成立. 取，则，， 对于函数，则有，所以， 或， 对于，取，则， 所以， 函数是“类周期函数”， 对于，取，则， ， 也是“类周期函数”， 不妨设，取，， 则， ， 不恒成立，所以不是的“类周期”， “”不是“是的一个‘类周期’”的充分条件； 下面证明必要性： 假设是的一个“类周期”，且，设， 则（其中）， 对于任意正整数，都有， ，而的值域为，矛盾， 假设不成立，必有， “”是“是的一个‘类周期’”的必要条件， 综上所述，“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件. 例4-3（24-25高三上·上海·月考）已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”． (1)求的所有关联函数； (2)若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； (3)对定义在上的函数，证明：“对任意成立”的充分必要条件是“存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、由导数求函数的最值（不含参）、充要条件的证明 【分析】（1）要根据“S关联函数”的定义找出满足条件的函数； （2）需要利用导数分析函数单调性结合定义求出m的取值范围； （3）要从充分性和必要性两个方面进行证明. 【详解】（1）设是的关联函数. 对于任意，当时，. 因为，所以， 设，则， 令，，那么. 所以的关联函数为. （2）因为是其自身的一个关联函数. 对任意，当时，. 设，（），则. 展开得. 对求导，. 因为在上单调递增，所以在上恒成立. 即在上恒成立，设，. 令，得. 在上递减，在上递增，. 所以. （3）充分性： 假设存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数. 当时，. 对于任意，取，，当（足够大时）. 有，当时，，即.   必要性： 若，定义. 对于任意正整数，对于任意，当时. . 因为，所以. 故命题得证. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 【变式训练4-1】如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2)与平面α所成的角为 【知识点】求线面角、证明线面垂直、充要条件的证明 【分析】（1）证明充要条件，需要证两步，第一需要证点O为的垂心，第二步需要证点O为的垂心即可； （2）先找到与平面α所成的角，最后在三角形中求出即可. 【详解】（1）由，，所以，又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以，又， 即与重合，即为的垂心； 若O为的垂心，，又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 所以“”是“点O为的垂心”的充要条件； （2）由，，所以，又，所以为的中点， 所以为与平面α所成的角，又， 在中，所以， 又因为，所以， 所以与平面α所成的角为.    【变式训练4-2】欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数 (2)没有正整数解，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）利用给定的定义进行判断； （2）先求出时的解析式，利用零点存在定理验证即可； （3）利用函数单调性的定义，倒函数的定义以及充分条件、必要条件的定义进行证明. 【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立， 又，所以是倒函数. 对于定义域为， 当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数. （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以， 要使有正整数解，则， 令，则函数在上单调递增， 因为， ， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为， 所以没有正整数解. （3）充分性：当时，且， 因为是增函数，所以， 即，， 所以. 必要性：当时， 有， 因为恒大于，所以，即， 所以， 因为是增函数，所以，即. 综上可得是的充要条件. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用进行转化. 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海虹口·月考）已知为实数，记. (1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； (2)若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； (3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数的单调性解不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式、充要条件的证明 【分析】（1）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式； （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，求导求出的单调性求得的取值范围. （3）先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性． 【详解】（1）当时，， 所以当时，. 所以. （2）当函数为偶函数时，必有，解得， 经检验，此时确为偶函数. 此时，令，解得， 故当时，，函数是严格减函数； 当时，，函数是严格增函数， 结合函数为偶函数，所以等价于. 化简得，即对恒成立. 令， 则有当时，为严格减函数， 当时，为严格增函数， 结合， 可知 解得. （3）充分性：当时，在上是严格增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在上是严格增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线，由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上是严格增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，是严格减函数， 当时，是严格增函数， 函数在处取到最小值. 必要性： 当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上是严格增函数，不存在最小值，故， 所以在上是严格增函数， 由于，所以，即， 故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性. 题型5 反证法证明 例5-1（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、反证法证明 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 例5-2记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】反证法证明、集合新定义 【分析】（1）根据定义令即可证明； （2）先令，，可得，再令，，即可证明； （3）由题意可得于是，利用反证法，假设，即可证明. 【详解】（1）证明：令，则. （2）证明：由（1）知， 若，令，，则， 若，令，，则. （3）证明：由，则存在且，使得，其中， 于是， 假设，可设，，则，矛盾， 所以， 由，，可得. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【变式训练5-1】（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明． （2）证明：是无理数． 【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析； （2）证明见解析. 【知识点】判断命题的充分不必要条件、反证法证明 【分析】（1）根据原命题与逆否命题的关系得出命题真假，据此判断充分条件、必要条件即可； （2）利用反证法证明是无理数. 【详解】（1）充分不必要条件； 证明如下： 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则， 显然正确，故原命题正确，即或； 命题：若或，则的逆否命题为：若，则且，显然命题错误，故原命题错误，即或不能推出， 故“”是“或”的充分不必要条件. （2）假设是有理数， ， 不是整数，故存在两个互质的正整数， 使得，于是，两边平方，得. ∵是3的倍数，是3的倍数. 又∵是正整数，是3的倍数. 设 (为正整数)，代入上式，得，，同理也是3的倍数， 这与前面的假设互质矛盾. 因此假设是有理数不成立，故是无理数. 【变式训练5-2】对任意实数，记为不大于的最大整数，再记，由此可定义函数，进而可定义递推数列. (1)求的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由). (2)求证：①的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同. (3)为进一步研究各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由. 【答案】(1)，有 (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)正确，理由见解析 【知识点】数与式中的归纳推理、反证法证明、函数新定义 【分析】(1)根据，再结合即可求定义域； (2) ①利用归纳法，，假设，证明即可；②利用反证法，假设存在，结合的反函数存在，可得推出矛盾，即可证明； (3)根据归纳法，步骤一证明“对任意，”，步骤二证明任取既约，对归纳证“为中的项”. 【详解】（1）①求定义域： ，而 ， 故 ，定义域. ②判断是否有反函数：有. （2）①由归纳法证： 时：； 假设时，即 ， 则当时， ， 而，故. ②反证：假设存在且，使得，则由(1)知存在，故 . 但由①知，矛盾，故由反证法得证. （3）判断：上述猜想正确. 理由：观察并猜测图中“”分别对应函数. 步①:归纳证“对任意，”： 归纳基础(时)易验证；假设成立，则： ，而 ，故； ，而 ，故. 步②:任取既约，对归纳证“为中的项”： 归纳基础(时)易验证；假设对任意满足的既约，存在,使得，则当既约的满足时，讨论： ：； ：. 综合知步②正确，即既约的均为中的项，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题第二问①的关键在于利用归纳法，，假设时，通过合情推理得，②在于利用反证法，假设存在且，使得，通过反函数的作用关系得到矛盾，第三问的关键在于分步完成证明，先用归纳证“对任意，”，再用归纳法证任取既约，对归纳证“为中的项” 一、单选题 1．（2024·上海·秋季高考）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间向量的坐标运算 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 2．（2023·上海·秋季高考）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】B 【知识点】圆锥曲线新定义 【分析】由新定义求解曲线上任一点到定点距离的取值范围，当任意，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断， 【详解】对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为， 当时，对称轴，可得， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误， 故选：B 【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可． 3．（2021·上海·春季高考）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数对称性的应用 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 故为周期函数且周期为2， 而在必有最大值，故必有最大值，故A错误. 对于B，而的图像关于点对称，故， 故，故，故 故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设， 则，故无最大值， 故选：D 二、解答题 4.（2024•上海·秋季高考）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 【分析】（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可； （2）由题意知，（a），，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可； （3）必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可． 【解答】解：（1）由题意，得（1），，； ． （2）证明：由题意知，（a），， 记，则或2． 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论，当，有，为严格增函数， 因为（a），所以此时（a），，符合条件； 当时，，先增后减，， 因为取等号），所以， 则此时（a），，也符合条件； 当时，，，在，严格增，在，严格减，在，严格增， ， 因为（a），当时，（a），则（a）， 则此时（a），，成立； 综上可知，对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）证明：必要性：若为偶函数， 则，，（c）（c），， 当，（c），因为，故（c）； 充分性：若对于任意正实数，均有（c）， 其中，，（c）（c），， 因为有最小值，不妨设（a）， 由于任意，令，则，，所以最小元素为（a）． （c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立， 所以（a）， 若，则（c）对任意成立是偶函数； 若，此后取，， 综上，任意，（c），即是偶函数． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 5．（2022·上海·秋季高考）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 【答案】(1)7或9； (2)答案见解析； (3). 【知识点】判断命题的真假、写出原命题的逆命题及真假判断、根据数列递推公式写出数列的项、数学归纳法证明数列问题 【分析】（1）利用递推公式可得，进而可求出； （2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例即可得出命题为假命题； （3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9； （2）因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， （3）因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 命题 2 知识点2 充分条件、必要条件与充要条件 3 知识点3 反证法 3 知识点4 从集合角度看充分、必要条件 4 题型破译 4 题型1 判断命题的真假 4 题型2 已知命题的真假求参数 6 题型3 充分、必要条件的判定 7 题型4 充分、必要条件的应用 8 题型5 反证法证明 11 04真题溯源·考向感知 12 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）命题 （2）充分条件、必要条件与充要条件 （3）反证法 单选题 填空题 解答题 / 第21题充要条件证明 第16题判断命题的真假 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考内容，考查形式多样。选择题难度中档，分值为5分，解答题一般与压轴题综合总分值为18分。 复习目标： 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系 2.掌握逻辑用语与其他知识综合应用 知识点1 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 自主检测设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 知识点2 充分条件、必要条件与充要条件 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 自主检测设是虚数单位，则 “”是复数“复数为纯虚数”的 ．(填充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件) 知识点3 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 自主检测设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 知识点4 从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 题型1 判断命题的真假 例1-1（24-25高三下·上海·月考）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数的图像为曲线．关于命题①“任取平面上的一点，与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题②“存在倾斜角的直线，使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是（   ）． A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 例1-3（24-25高三上·上海·月考）现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题 ①存在，与有无穷个交点； ②存在，与有无穷个交点； 则下面选项正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（ ） A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题 C．、都为真命题 D．、都为假命题 【变式训练1-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）下列四个命题中，真命题的个数为（    ） ①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数； A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·月考）如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（    ） 命题甲：存在曲线满足要求 命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求 A．甲命题正确，乙命题正确 B．甲命题错误，乙命题正确 C．甲命题正确，乙命题错误 D．甲命题错误，乙命题错误 题型2 已知命 题的真假求参数 例2-1命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是 . 例2-2已知命题：关于的不等式的解集不是空集，命题：关于的方程两个根异号，若与中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围是 ． 例2-3已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 【变式训练2-1】命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【变式训练2-2】命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【变式训练2-3】已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 题型3 充分、必要条件的判定 例3-1（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 例3-2命题甲：关于x的不等式的解集是空集．命题乙：函数为单调递减函数． (1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求a的取值范围； (2)求a的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件． 【变式训练3-1】已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练3-2】已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 题型4 充分、必要条件的应用 例4-1（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 例4-2对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”． (1)证明函数是“类周期函数”； (2)证明函数不是“类周期函数”； (3)已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件． 例4-3（24-25高三上·上海·月考）已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”． (1)求的所有关联函数； (2)若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； (3)对定义在上的函数，证明：“对任意成立”的充分必要条件是“存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数”． 【变式训练4-1】如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 【变式训练4-2】欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海虹口·月考）已知为实数，记. (1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； (2)若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； (3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 题型5 反证法证明 例5-1（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 例5-2记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 【变式训练5-1】（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明． （2）证明：是无理数． 【变式训练5-2】对任意实数，记为不大于的最大整数，再记，由此可定义函数，进而可定义递推数列. (1)求的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由). (2)求证：①的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同. (3)为进一步研究各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由. 一、单选题 1．（2024·上海·秋季高考）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·秋季高考）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 3．（2021·上海·春季高考）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 二、解答题 4.（2024•上海·秋季高考）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 5．（2022·上海·秋季高考）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$