第04讲 重难点专题拓展：相似三角形中的常考模型（5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第04讲 重难点专题拓展：相似三角形中的常考模型 （5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 模型一：“A”字模型 模型展示： (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. (3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝. 图1　 　图2 　　图3 模型二：“8”字模型 模型展示： 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论： ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 模型三：“一线三等角”模型 模型展示： (1)“三垂直”模型 如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型 如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 模型四：填空小压轴翻折中的几何模型 “一线三等角” 模型：若翻折后出现三个直角顶点在同一直线上，可考虑 “一线三等角” 模型。如 2023 年上海中考一模中，可由一个直角顶点构造出一线三等角模型，利用相似三角形对应边成比例，或结合直角三角形勾股定理、特殊角三角比列出等式进行计算。 “斜 A 型” 相似模型：翻折后若能找出一组公共角，且另有一组角相等，可形成 “斜 A 型” 相似。如在一些矩形翻折问题中，通过翻折性质导出角相等关系，进而发现有公共边的斜 A 型相似，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解。 利用翻折性质构造相似模型：根据翻折前后两个图形全等，对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点的连线。若翻折后有线段平行等条件，可据此找出相等角，进而得到相似三角形。例如，若翻折后有一组平行边，则可利用同位角或内错角相等，结合翻折得到的等角，证明三角形相似，再利用相似三角形的性质建立边的比例关系求解。 直角三角形相关相似模型：若翻折后出现直角三角形，可结合直角三角形的性质寻找相似关系。如利用直角三角形斜边中线定理得到等角，进而证明相似；或根据直角三角形中 30° 角、45° 角的性质，找出边与角的关系，再结合相似三角形对应边成比例来解题。若已知直角三角形的斜边与斜边上高的关系，也可配合特殊角三角比，找出相似三角形或线段比例关系。 模型五：填空小压轴旋转中的几何模型 旋转边长问题：先确定旋转中心和方向，找出旋转前后相等的线段或角度，准确画图后，结合勾股定理、三角比、相似三角形等知识构造方程求解。如已知矩形的边长，将矩形绕某点旋转后，求旋转后某条线段的长度，可通过寻找旋转前后的全等关系，找出相关的直角三角形或相似三角形来计算。 旋转面积问题：同样要先明确旋转中心和方向，找到旋转前后相等的线段和角度并画图。观察所求图形面积的形状，若为三角形，可根据面积公式求解；若图形较复杂，可利用相似、等高模型等将面积进行转化后求解。 【题型1 “A”字模型】 【例1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝， ∴BD＝BC－CD＝， ∵DE∥CA， ∴， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴＝． ∴DF＝AG． ∵DE∥CA， ∴＝，＝． ∴＝． ∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG， ∴． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 【例1-2】（2025·上海青浦·一模）已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． (1)求证：； (2)取的中点，联结，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，转化为比例式为，再由可得结论； （2）由点是线段的中点，可得，再由可得，即，可证明，最后由相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）证明：如图， 点是线段的中点， ， ， ， ， 【例1-3】如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值． 【答案】． 【解析】点作交于点． 　，； ，　， ，，， ，的值为． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （）根据题意得，证明，再由相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2，BD = 2DC，求AC的长． 【答案】． 【解析】过点作交于点． ，　； 又， ， ， ． ， ．　 又， ． ． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识． 【题型2 “8”字模型】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在平行四边形中，E是边上的一点，与相交于点F，与的延长线相交于点G，，．求的长． 【答案】， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由四边形为平行四边形，得出，，．又因为在延长线上，得出．则，又因，，推出；因为，则．又，，推出．因为，则．又因为，则，因为，则，所以． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，． 点在延长线上， ． ． ，， ， 即． ， ∴， ． ，， ． ， ． ， ． ， ， 即． 综上，，． 【例2-2】已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或 【知识点】矩形性质理解、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长、等腰三角形的定义 【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得； （2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN； （3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得． 【详解】解：（1）如图1， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM， ∴, ∴AM＝2CF＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝5， ∴， ∴BN＝10； （2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在， ∴CF＝9﹣2CF， ∴CF＝3， 当点M和B点重合时， AB＝2CF， ∴CF＝4.5， ∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5， 如图2， 当0＜x＜3时， 作EG⊥BC于G， 由（1）知， EG＝3，AM＝2CF＝2x， ∴BM＝9﹣2x， 由得，， ∴， ∴y＝ ＝ ＝； 如图3， 当3＜x＜4.5时， 由得， ∴CN＝， ∴y＝ ＝； （3）如图4， ∵， ∴， ∴CG＝CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4， ∴BE＝5， 当BM＝BE＝5时， 9﹣2x＝5， ∴x＝2， 如图5， 当EM＝EB＝5时， 作EH⊥AB于H， ∴BM＝2BH＝2EG＝6， ∴9﹣2x＝6， ∴x=， 如图6， 当EM＝BM时， 作MH⊥BE于H， 在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝， ∴BM＝， ∴9﹣2x＝， ∴x＝， 综上所述：x＝2或或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）2；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，根据相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由BE=EF可得与的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值，-即可得四边形AEFH的面积． 【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8， ∴，=8， ∴，， ∴，， ∵BE=EF=FD， ∴，， ∴BG=AD=4，HD=BG， ∴HD=2； （2）∵BE=EF， ∴=a， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形AEFH的面积=-=． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2-2】已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用条件证明，后证明即可； （2）利用平行线分线段成比例定理，巧用等量代换即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的相似，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的证明，熟练掌握三角形相似的条件，根据平行线分线段成比例定理，选择合适的比例式是解题的关键． 【变式2-3】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 【题型3 “一线三等角”模型】 【例3-1】如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积． A B C D E 【答案】24． 【解析】，， ． 又， ． ． ． ， ． ． 在中， ，． ． 【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等． 【例3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则 的边长为多少？ 【答案】9 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得是解答此题的关键．由，可证得；可用等边三角形的边长表示出的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】是等边三角形， ， , , ， 设， ， ， 解得：， 即, 故的边长为9 【例3-3】已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x． （1）当AP = AD时，求线段PC的长； （2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长． A B C D P A B C D （备用图） 满分解答： （1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． ∵ AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC， ∴ ∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°， CE = AB = 3． ∵ AD // BC，∴ ∠A +∠ABC = 180°．即得 ∠A = 90°． 又∵ ∠ADC =∠DCE +∠DEC，∠ADC =∠ADP +∠PDC， ∴ ∠ADP =∠DCE． 又由 ∠A =∠DEC = 90°，得 △APD∽△DCE． ∴ ． 于是，由AP = AD = 2，得 DE = CE = 3．…………………………（2分） 在Rt△APD和Rt△DCE中， 得 ，．…………………………………………（1分） 于是，在Rt△PDC中，得 ． （1分） （2）在Rt△APD中，由 AD = 2，AP = x， 得 ．……………………………………………………（1分） ∵ △APD∽△DCE，∴ ． ∴ ．…………………………………………（1分） 在Rt△PCD中，． ∴ 所求函数解析式为．…………………………………（2分） 函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分） （3）当△APD∽△DPC时，即得 △APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分） 根据题意，当△APD∽△DPC时，有下列两种情况： （ⅰ）当点P与点B不重合时，可知 ∠APD =∠DPC． 由 △APD∽△DCE，得 ．即得 ． 由 △APD∽△DPC，得 ． ∴ ．即得 DE = AD = 2． ∴ AE = 4． 易证得四边形ABCE是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分） （ⅱ）当点P与点B重合时，可知 ∠ABD =∠DBC． 在Rt△ABD中，由 AD = 2，AB = 3，得 ． 由 △ABD∽△DBC，得 ． 即得 ． 解得 ．………………………………………………………（2分） ∴ △APD∽△DPC时，线段BC的长分别为4或． 【变式3-1】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____． 【答案】1或2 【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案． 【详解】设BP=x，则PC=3-x， ∵AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠B=180°-∠C=90°， ∴∠B=∠C， ∵AP⊥DP， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠CDP+∠DPC=90°， ∴∠CDP=∠APB， ∴△CDP∽△BPA， ∴， ∵AB＝1，CD＝2，BC＝3， ∴， 解得：x1=1，x2=2， ∴BP的长为1或2， 故答案为：1或2 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，即可得到结论； （3）根据是等边三角形，推导出和的面积，通过，求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：作于F， ∵是等边三角形，，, ∴的高， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如图1） (1)试求的度数； (2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持,与交于点.（如图2） ①求证:∽； ②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设,试求关于的函数解析式,并写出定义域. 答案： （1）作，垂足为， 在四边形中，AD∥BC，， 则四边形为正方形 又在中，， ∴. （2）①∵四边形为正方形， ∴,， 又∵， ∴ 又∵, ∴∽. ②是等腰直角三角形， ∵∽， ∴, 又∵, ∴∽， 又在中，,为等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形. ③，（0<<1）. 【变式3-4】【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【题型4 填空小压轴翻折中的几何模型】 【例4-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 【答案】21或65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、等边三角形的性质 【分析】分当点D在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得．设，则，，代入比例式中，可得，，根据，求出x的值，即可得到答案； 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 设，则，， ∴，， ， 又∵, ∴， 解得， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且 ∴，， 设，则，， ， ∴，， ， ， ， 解得， ． 故答案为：21或65． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，的平分线交于点D， 交于点，将沿着翻折，点A落在点处，交于点．则长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证明及是解题的关键． 由可得，再证明，则，所以，可证明，则 ，求得，再证明可得，求得，然后代入数据计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由翻折得∶， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海杨浦·月考）已知菱形中，，点为上一点且，连接，把沿翻折，点落在点处，连接交于点G，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】设与交于H，延长，交于点P，连接，，过A作于M，于N，于O，过B作交延长线于Q，设，，由角平分线的性质可证，可得，再证明，可得，证明，，，，证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，可得，即可得解． 【详解】解：设与交于H，延长，交于点P，连接，，过A作于M，于N，于O，过B作交延长线于Q， 设，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， 把沿翻折，点落在点处， ，，，，， ，， ，，， ， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式4-3】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 【变式4-4】（2025·上海·模拟预测）正方形的边长为，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分两种情况：当在上时，根据四边形是正方形，，得四边形是平行四边形，又将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，可得，故；当在上时，过作于，可证明（），从而推得，是的中位线，，设则，可得，解得，即可得到答案． 【详解】解：当在上时，如图： 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处， ，， ， ， ， 正方形的边长为， ； 当在上时，过作于，如图： 四边形是正方形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 是的中位线，， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【题型5 填空小压轴旋转中的几何模型】 【例5】（24-25九年级上·上海·月考）如图，在中，，，（如图）．将绕点A顺时针方向旋转得（点C、B的对应点分别为点D、E），点D恰好落在直线上，直线和直线交于点F，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程 【分析】证明，得，设，由即可求解． 【详解】解：如图，由旋转得到，， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴， 设则， ∵，即， ∴（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的证明及性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海浦东新·月考）如图，正方形的边长为3，点O为对角线、的交点，点E在边上，且，绕着点B旋转至，如果点D、E、在同一条直线上，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过作于，连接，证明根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为3， ， ， ， ， ， ， 如图，过作于，连接， ， ， ， ， ， ， 绕着点旋转至△， ，，， 即， ，， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则 ． 【答案】2.8 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用勾股定理求得，利用旋转的性质得到，推出 ，结合平行线性质推出，得到，得到四边形是平行四边形，得到；推导，证明，得到，得到，根据，可得，即可求出． 【详解】∵中，， ∴． 由旋转知，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：2.8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形旋转．熟练掌握用勾股定理求边长，旋转的性质，平行四边形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】利用三角形的相似，勾股定理，三角形中位线定理，分类思想解答即可． 【详解】解：如图1，当时， ∵，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， ∵直线经过点A， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2，根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式5-4】（2025·上海宝山·二模）如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质；如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，设，则，，，再证明得到，，代入求出，，利用勾股定理求出，即可求出和，再求即可，注意分情况讨论． 【详解】解：如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，则； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 当在右边时，， ， ∴； 当在左边时，， ， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·上海虹口·一模）如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明得到，证明得到，解得,即可求出长． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 故选：C 3．（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积．首先根据平行四边形的性质可证且相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，从而可求的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可判定，故A选项正确，不符合题意； B．由可判定，故B选项正确，不符合题意； C．由可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意； D． 由可得且，可判定，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，先求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，矩形的边在的边上，顶点分别在边上．已知，设，矩形的面积为，那么关于的函数关系式为 ．（不必写出定义域） 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据矩形的性质求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质等知识点，运用相似三角形的判定与性质用x表示出是解题的关键． 如图：作交于点P、H，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而得到，再证明可得，进而得到，最后运用矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图：作交于点P、H， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ，即，解得：， ∴， ∴矩形的面积为，即． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在正方形中，点P为边上一点，将沿翻折，使得的对应边交对角线于点F，延长交延长线于点G，连接并延长交边于点Q，如果，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、折叠的性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、折叠的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 设，则有， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 9．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若在轴、轴上分别对应实数，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标．如图2，在斜坐标系中，已知点、点，是线段上的任意一点，试用含代数式表示，则 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．过点分别作，分别交，于点E，F，可得即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，分别交，于点E，F， ∵点、点，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，即． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果一个三角形的两个内角与，满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”，已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】运用勾股定理得到，分类讨论：如图所示，过点作于点，设，第一种情况，当时，，，，设，则，在中，，列式求解；第二种情况，当时，，，，，即，由此即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，过点作于点，设， 第一种情况，当时， ∵， ∴， ∴是角平分线， ∵，即，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 第二种情况，当时，， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质是关键． 11．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 12．（2025·上海嘉定·二模）如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 【答案】2 【知识点】三线合一、勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长交于点，过点作于点，由翻折得，，则，那么，设正方形边长为4，先由勾股定理求出，再证明，求出，最后由即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， 设正方形边长为4， ∵正方形纸片， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，把握折叠的不变性是解题的关键． 13．（2025·上海宝山·二模）如图，梯形中， ，分别是边上的点，且，，交的延长线于点，与交于点，如果，那么四边形与四边形周长的差是 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．利用平行四边形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用周长的公式运算，化简求值即． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形与四边形周长的差 ， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，将绕点旋转，点A落在直线上，点的对应点分别为点，如果点在一条直线上，那么 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 根据旋转的性质得到可得，，进而得到，再证明；设，则，进而得到、，再证明可得，最后解一元二次方程即可解答． 【详解】解：如图，∵将绕点旋转，点A落在直线上，点的对应点分别为点， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即，解得：或（不符合题意）． 故答案为：． 三、解答题 15．（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 16．（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． （2）设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴； （3）解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，     ∴， ∵， ∴，       设，， ∵， ∴，       设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 18．（2025·上海青浦·二模）已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，证明，得到，结合，即，推出，从而得到，结合，推出，那么，得到，即，最后结合从而得证； （2）先证明，得到，再证明，得到，那么，由四边形是平行四边形．可知．从而有，最后得证． 【详解】（1）证明： ， ，， ， ， ， ． ． 又 ，即． ， 四边形是平行四边形． （2）证明： ，， ． ． ， ，， ， ． ． 四边形AECD是平行四边形． ． ． 即． 19．如图①，已知梯形ABCD中，//，，，，，点P是边AD上的动点，连接BP，作，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． (1)求的度数； (2)如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)2或5 (3) 【知识点】特殊三角形的三角函数、三角函数综合、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】(1)过点D作于点H，可得四边形ABHD是矩形，，CH=BC-AD=1，再通过解直角三角形即可求得的度数，据此即可求得； (2)，过点C作交AD的延长线于点M，可证得四边形ABCM是矩形，，AM=BC=7， 可得MD=BC-AD=1，PM=AM-AP=7-AP，PD=6-AP，，可证得，据此即可求得； (3)过点P作PM⊥DF，交FD的延长线于点M，根据∠F+∠FPD=60°，∠BPA+∠FPD=60°，得∠F=∠BPA，利用正切函数值相等，建立等式计算即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H， ， 梯形ABCD中，//，， ，， 四边形ABHD是矩形，，AD=BH=6， CH=BC-BH=7-6=1， 在中，， ，CD=2CH=2， ． （2）解：如图：过点C作交AD的延长线于点M， ， 梯形ABCD中，//，， ，，， 四边形ABCM是矩形，，AM=BC=7， DM=BC-AD=7-6=1， ，PM=AM-AP=7-AP，PD=6-AP， ， 又， ， ，得， 得， 得， 解得或． （3）过点P作PM⊥DF，交FD的延长线于点M， 根据（1）得∠ADC=∠BPF=120°，AP=x，DF=y，PD=6-x， ∴∠F+∠FPD=60°，∠BPA+∠FPD=60°，∠PDM=60°， ∴∠F=∠BPA，MD=PDcos60°=，MP=PDsin60°=，FM=， ∴tan∠F=tan∠BPA， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，三角形相似的判定和应用，熟练掌握三角形相似的判定，活用三角函数及其特殊角的函数值是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 重难点专题拓展：相似三角形中的常考模型 （5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 模型一：“A”字模型 模型展示： (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. (3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝. 图1　 　图2 　　图3 模型二：“8”字模型 模型展示： 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论： ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 模型三：“一线三等角”模型 模型展示： (1)“三垂直”模型 如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型 如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 模型四：填空小压轴翻折中的几何模型 “一线三等角” 模型：若翻折后出现三个直角顶点在同一直线上，可考虑 “一线三等角” 模型。如 2023 年上海中考一模中，可由一个直角顶点构造出一线三等角模型，利用相似三角形对应边成比例，或结合直角三角形勾股定理、特殊角三角比列出等式进行计算。 “斜 A 型” 相似模型：翻折后若能找出一组公共角，且另有一组角相等，可形成 “斜 A 型” 相似。如在一些矩形翻折问题中，通过翻折性质导出角相等关系，进而发现有公共边的斜 A 型相似，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解。 利用翻折性质构造相似模型：根据翻折前后两个图形全等，对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点的连线。若翻折后有线段平行等条件，可据此找出相等角，进而得到相似三角形。例如，若翻折后有一组平行边，则可利用同位角或内错角相等，结合翻折得到的等角，证明三角形相似，再利用相似三角形的性质建立边的比例关系求解。 直角三角形相关相似模型：若翻折后出现直角三角形，可结合直角三角形的性质寻找相似关系。如利用直角三角形斜边中线定理得到等角，进而证明相似；或根据直角三角形中 30° 角、45° 角的性质，找出边与角的关系，再结合相似三角形对应边成比例来解题。若已知直角三角形的斜边与斜边上高的关系，也可配合特殊角三角比，找出相似三角形或线段比例关系。 模型五：填空小压轴旋转中的几何模型 旋转边长问题：先确定旋转中心和方向，找出旋转前后相等的线段或角度，准确画图后，结合勾股定理、三角比、相似三角形等知识构造方程求解。如已知矩形的边长，将矩形绕某点旋转后，求旋转后某条线段的长度，可通过寻找旋转前后的全等关系，找出相关的直角三角形或相似三角形来计算。 旋转面积问题：同样要先明确旋转中心和方向，找到旋转前后相等的线段和角度并画图。观察所求图形面积的形状，若为三角形，可根据面积公式求解；若图形较复杂，可利用相似、等高模型等将面积进行转化后求解。 【题型1 “A”字模型】 【例1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【例1-2】（2025·上海青浦·一模）已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． (1)求证：； (2)取的中点，联结，求证：． 【例1-3】如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 【变式1-2】如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2，BD = 2DC，求AC的长． 【题型2 “8”字模型】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在平行四边形中，E是边上的一点，与相交于点F，与的延长线相交于点G，，．求的长． 【例2-2】已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 【变式2-2】已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且． （1）求证：； （2）过点作的垂线，交于点，求证：． 【变式2-3】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【题型3 “一线三等角”模型】 【例3-1】如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积． A B C D E 【例3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则 的边长为多少？ 【例3-3】已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x． （1）当AP = AD时，求线段PC的长； （2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长． A B C D P A B C D （备用图） 【变式3-1】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【变式3-3】在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如图1） (1)试求的度数； (2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持,与交于点.（如图2） ①求证:∽； ②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设,试求关于的函数解析式,并写出定义域. 【变式3-4】【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【题型4 填空小压轴翻折中的几何模型】 【例4-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，的平分线交于点D， 交于点，将沿着翻折，点A落在点处，交于点．则长为 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海杨浦·月考）已知菱形中，，点为上一点且，连接，把沿翻折，点落在点处，连接交于点G，则 ． 【变式4-3】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【变式4-4】（2025·上海·模拟预测）正方形的边长为，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，则的长为 ． 【题型5 填空小压轴旋转中的几何模型】 【例5】（24-25九年级上·上海·月考）如图，在中，，，（如图）．将绕点A顺时针方向旋转得（点C、B的对应点分别为点D、E），点D恰好落在直线上，直线和直线交于点F，则线段的长为 ． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海浦东新·月考）如图，正方形的边长为3，点O为对角线、的交点，点E在边上，且，绕着点B旋转至，如果点D、E、在同一条直线上，那么的长为 ． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 【变式5-4】（2025·上海宝山·二模）如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 2．（2025·上海虹口·一模）如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 5．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 7．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，矩形的边在的边上，顶点分别在边上．已知，设，矩形的面积为，那么关于的函数关系式为 ．（不必写出定义域） 8．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在正方形中，点P为边上一点，将沿翻折，使得的对应边交对角线于点F，延长交延长线于点G，连接并延长交边于点Q，如果，那么的值是 ． 9．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若在轴、轴上分别对应实数，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标．如图2，在斜坐标系中，已知点、点，是线段上的任意一点，试用含代数式表示，则 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果一个三角形的两个内角与，满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”，已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 11．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 12．（2025·上海嘉定·二模）如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 13．（2025·上海宝山·二模）如图，梯形中， ，分别是边上的点，且，，交的延长线于点，与交于点，如果，那么四边形与四边形周长的差是 ．（结果用含的代数式表示） 14．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，将绕点旋转，点A落在直线上，点的对应点分别为点，如果点在一条直线上，那么 ． 三、解答题 15．（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 16．（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 17．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 18．（2025·上海青浦·二模）已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 19．如图①，已知梯形ABCD中，//，，，，，点P是边AD上的动点，连接BP，作，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． (1)求的度数； (2)如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$