【高一上数学】湛江市第二中学2024-2025学年高一年级第一学期期中考试试卷及答案

湛江市第二中学2024-2025学年第一学期学段一 高一 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 3．命题“ x ∈ R ，x2 －2x＋2 ≤ 0”的否定是( ) ． A ． x ∈ R ，x2 －2x＋2 ≥ 0 B ． x ∈ R ，x2 －2x＋2＞0 C ． ，x2 －2x＋2 ≤ 0 D ． ，x2 －2x＋2＞0 4．已知，则函数的最小值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 5．已知函数，如果且，则它的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   6．已知函数的定义域为，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，分别由下表给出，则函数的值域是（    ） x 1 2 3 1 3 1 x 1 2 3 3 2 1 A． B． C． D． 8．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.设设max{a ，b} = ，则函数f ( x ) =max{x2-x ，1-x2 }的单调增区间为 ( ) A. [−1 ，0] ，[ 2 ， + ∞ ) B. ( − ∞ ， − 1] ，[0 ，] C. ( − ∞ ， − ] ，[0 ，1] D. [ − ，0] ，[1 ， +∞ ) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9．下列几种说法中，正确的是（    ） A．面积相等的三角形全等 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为实数，则“”是“”的必要不充分条件 D．命题“若，则”的否定是假命题 10．设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最大值 D．有最大值8 11．已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的值等于 ． 13．不等式的解是 ． 14．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 16．（15分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x（）满足函数关系式． (1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； (2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？ 17．（15分）（1）已知函数，若存在使，求实数a的取值范围； （2）已知函数，对于任意，恒成立，求实数x的取值范围. 18．（17分）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求，； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 19．（17分）已知函数 (1)当时，求的单调增区间； (2)若，使，求实数a的取值范围． 湛江市第二中学2024-2025学年第一学期学段一 高一 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集运算的定义可得解. 【详解】，， . 故选：B. 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】由可得成立， 由得，或，即得不到， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 3．命题“ x ∈ R ，x2 －2x＋2 ≤ 0”的否定是( ) ． A ． x ∈ R ，x2 －2x＋2 ≥ 0 B ． x ∈ R ，x2 －2x＋2＞0 C ． ，x2 －2x＋2 ≤ 0 D ． ，x2 －2x＋2＞0 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题否定的定义，即可得解. 【详解】命题 x ∈ R ，x2 －2x＋2 ≤ 0， 所以命题p的否定为 ，x2 －2x＋2＞0 故选：D. 【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题. 4．已知，则函数的最小值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以函数的最小值是. 故选：D 5．已知函数，如果且，则它的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据二次函数的对称轴，与轴交点位置，开口方向以及最值可判断图象位置. 【详解】由题意，函数， 因为，令，可得，即函数图象过点． 又由，可得，，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令，可得，可排除B、C项． 故选：A． 6．已知函数的定义域为，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据题意，可知，则，从而可求出的定义域. 【详解】解：因为函数的定义域为， 则，所以， 所以的定义域为. 故选：C. 7．已知函数，分别由下表给出，则函数的值域是（    ） x 1 2 3 1 3 1 x 1 2 3 3 2 1 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、复合函数的值域 【分析】根据函数的定义计算函数值后可得． 【详解】，，． 值域为， 故选：A． 8．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.设设max{a ，b} = ，则函数f ( x ) =max{x2-x ，1-x2 }的单调增区间为 ( ) A. [−1 ，0] ，[ 2 ， + ∞ ) B. ( − ∞ ， − 1] ，[0 ，] C. ( − ∞ ， − ] ，[0 ，1] D. [ − ，0] ，[1 ， +∞ ) 【答案】D 由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0 ，解得x=1或x=− 当x≥1或x≤- ，f ( x ) =max{x2-x ，1-x2 }=x2-x ，此时函数的递增区间为[1 ，+ ∞ ) ， 当- ＜x＜ 1 ，f ( x ) =max{x2-x ，1-x2 }=1-x2 ，此时函数的递增区间为[- ，0] ， 综上函数的递增区间为[- 1 0] ，[− ，+ ∞ ) ， 故选 ：D ． 根据题意得到函数解析式 ，作出两个函数的图象 ，利用数形结合即可得到结论 ． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9．下列几种说法中，正确的是（    ） A．面积相等的三角形全等 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为实数，则“”是“”的必要不充分条件 D．命题“若，则”的否定是假命题 【答案】CD 【知识点】判断命题的真假、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、判断非命题的真假 【分析】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，； 对于B：当时，满足，但； 对于C：由得，解得； 对于D：因为，所以，由原命题与原命题的否定的真假关系可判断. 【详解】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，故A错； 对于B：当时，满足，但，故B错； 对于C：由得，解得，所以能成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：因为，所以，所以命题“若，则”是真命题，所以命题“若，则”的否定是假命题，故D正确， 故选：CD. 10．设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最大值 D．有最大值8 【答案】AC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D. 【详解】因为正实数满足，所以 ，当且仅当时等号成立，A正确； ，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：AC． 11．已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果. 【详解】因为，所以. 【点睛】本题主要考查了分段函数及分段函数的求值问题，属于容易题. 13．不等式的解是 ． 【答案】或 【知识点】分式不等式 【详解】 ， 即， 原不等式可化为：，即， 解得或， 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意将问题转化为对任意恒成立，进而得，解不等式即可得答案. 【详解】由，得， ， 即， 令，当不等式在上恒成立时， 即在上的最大值小于等于0， 的图象开口方向向上， 在或处取得最大值， ，解得， 由，开口向上，对称轴为，有， 此时， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由不等式的解集知的两个根，根据方程根的定义或韦达定理便可得到a、b的值. （2）先将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定区间找出函数的最大值和最小值，从而确定值域. 【详解】（1）∵的解集为或， ∴的根为，， ， ∴，. （2）由（1）知， ， 抛物线开口向上，对称轴为. ∵，∴； 又，∴. ∴函数的值域为. 16．（15分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x（）满足函数关系式． (1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； (2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？ 【答案】(1)40到80天之间 (2)400天 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据条件解不等式； （2）首先列式，再利用基本不等式求函数的最值. 【详解】（1）要使营运累计收入高于800元，令，解得． 所以营运天数的取值范围为40到80天之间． （2），当且仅当时等号成立，解得． 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大利润为每天20元． 17．（15分）（1）已知函数，若存在使，求实数a的取值范围； （2）已知函数，对于任意，恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）由题意即存在使，根据得到不等式解得； （2）设，可知在上单调递减，由恒成立，即即可解得. 【详解】解：（1）存在使， ，解得或 的范围是 （2）设，则在单调递减， 对恒成立， ，解得， 的范围是 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题. 18．（17分）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求，； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，； (2)在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）结合奇函数性质与计算即可得解； （2）结合函数单调性定义，令，得到的正负即可得； （3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解. 【详解】（1）函数是定义在区间上的奇函数， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以， 当，有， 所以是定义在区间上的奇函数，符合要求， 所以，； （2）在区间上单调递增，证明如下： 由（1）得，令， 则 ， 由，所以，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递增； （3）由得， 由在区间上单调递增， 所以，解得， 所以. 19．（17分）已知函数 (1)当时，求的单调增区间； (2)若，使，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和 (2) 【知识点】分段函数的单调性、求二次函数的值域或最值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，， 时，单调递增， 时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为和， （2），使 所以， 即，      ①当时，，对称轴， 当即时，， ， 所以， 所以或， 因为，所以 ， 当即时，， ， 所以， ， 因为，所以， ②当时，，对称轴， 所以， ， 所以， ， 所以 ，                          ③当时，， 因为， 因为， 所以不可能是函数的最大值， 所以， 所以， 所以，                               综上所述：a的取值范围是  . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将，使，转化为，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力 数学试题 第17页/（共20页） 数学试题 第18页/（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$