13.3.2三角形的外角（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.3.2三角形的外角（解析版） 目 录 类型一、利用三角形的外角求角度 1 类型二、利用三角形的外角解决实际问题 1 类型一、利用三角形的外角求角度 1．一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果． 【详解】解：如图，由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质定理和外角的性质定理，熟记性质定理是解题关键． 根据，可得，根据外角的性质，可得－． 【详解】解：， ， 是的外角，， －． 故选：C． 3．如图，把一个含有角的直角三角板放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上，若测得为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵对边平行的纸条， ∴， 由题意，， ∴； 故选B． 4．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，，，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，，． ∴． 故选：D． 7．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质．根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵直线，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 9．如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质三角形外角的性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．由，根据两直线平行，同位角相等，可得，由三角形外角的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵，， ， ． 故选：A． 10．如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据三角形的外角的性质得，进而根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵两直线平行， ∴ ∴， 故选：B． 11．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．首先求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，、、、标记如下： 由题意知：，， ， ， 故选：C 12．如图，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，根据角平分线的性质可知，根据平行线的性质可知，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：平分， ， ， ， 是的外角， ． 故选：C． 13．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据三角板可得，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 14．如图所示，已知直线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，由三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 16．如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若比大25°，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得； （2）设，从而可得，再根据三角形的外角性质可求出x的值，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ； （2）设，则， 由三角形的外角性质得：，即， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 17．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 18．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ，， ， ， ； （2），， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 类型二、利用三角形的外角解决实际问题 19．汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得，然后利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：由题意可得，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 20．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选D． 21．图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等；由平行线的性质得，由三角形外角的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵椅面与地面平行， ， ， ， ， ； 即椅子靠背与椅面夹角的度数为． 故选：B． 22．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， 故选：A． 23．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级市物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间．王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，以的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键．直接利用三角形外角的性质求出，再利用平行线的性质得出即可； 【详解】解：如图所示：延长交于点F，    ∵， ∴． ∵， ∴， 故选：C． 24．如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等．设交于点G，根据平行线的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，然后根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：如图，设交于点G， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25 1．如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键． 过点F作，由得，，即可解答． 【详解】解：过点F作，如图 ∴， ∵，的平分线与的平分线交于点E ∴，，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选B． 2．如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．延长交直线于F，利用平行线的性质，求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查图形的平移的性质，三角形外角和性质的综合，理解图示，掌握平移的性质，平行线的性质，三角形外角和的性质等知识是解题的关键． 根据图形的平移，可知是的外角，可得，分类讨论，当时；当时；根据角的和差倍分关系即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点， ∵三角形平移得到三角形， ∴， ∴， ∵是的外角， ， 当时，， 解得，； 当时，则， ∴，解得，； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 4．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）130 （2） （3） （4），理由见解析 （5）或，图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 1．【认识概念】如图①，在中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“近三分线”． (1)【解决问题】如图②，在中，，，若的三分线交于点，则___________． (2)如图③，在中，、分别是近三分线和近三分线，且，求的度数； (3)【方法延伸】如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2) (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解决本题的关键．注意要分情况讨论． （1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数； （2）根据、分别是近三分线和近三分线，且可得，进而可求的度数； （3）画出符合条件的所有情况，①当和分别是“近三分线”、“近三分线”时，②当和分别是“近三分线”、“近三分线”时，③当和分别是“近三分线”、“近三分线”时，④当和分别是“近三分线”、“近三分线”时， 再根据三角形外角的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：如图， 当是“近三分线”时，； 当是“近三分线”时，； 综上，或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵分别是近三分线和近三分线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图1，当和分别是“近三分线”、“近三分线”时， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ； ②如图2，当和分别是“近三分线”、“近三分线”时， ，， 由得， 同理可得：， ； ③如图3，当和分别是“近三分线”、“近三分线”时， ，， 由得， 同理可得：， ； ④如图4，当和分别是“近三分线”、“近三分线”时， ，， 由得， 同理可得：，； 综上，的度数为或或或． 2．【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）延长交于，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）延长交于，由平行线的性质结合对顶角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），证明如下： 如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，当的延长线与交于点时，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当的延长线交于，点在上方时，延长交于， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图：当的延长线交于，点在下方时，令交于， ∵， ∴， ∵ ∴， 综上所述，与所有可能的数量关系为或或． 3．问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； (3)问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 【答案】(1) (2)①．②或 (3)与的关系是：，理由见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质分别求出，，再求出它们的和即可得； （2）①过点P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：当P在的延长线上时；当点P在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据（2）的结论得，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点P在的延长线上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点P在线段上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 由（2）得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论的应用，根据平行线的性质探究角的关系，求角的和差，解题关键是通过作辅助线构造平行线． 4．在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． (1)如图1，①若，则___________； ②若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2)①见解析；②或或或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则可求出，由垂直的定义得到，则；②由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，，由三角形外角的性质可得； （2）①由角平分线的定义得到，则，由角平分线的定义得到，则，即可证明；②由平行线的性质得到，则，再分当时，当时， 当时， 当时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.2三角形的外角（原卷版） 目 录 类型一、利用三角形的外角求角度 1 类型二、利用三角形的外角解决实际问题 1 类型一、利用三角形的外角求角度 1．一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，把一个含有角的直角三角板放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上，若测得为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（   ） A． B． C． D． 11．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 12．如图，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，则等于（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，已知直线，，，则的度数为 ． 15．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 16．如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若比大25°，求的度数． 17．如图，已知，，，，求的度数． 18．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 类型二、利用三角形的外角解决实际问题 19．汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 22．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级市物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间．王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，以的度数为（　　） A． B． C． D． 24．如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则 ． 1．如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 2．如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 3．如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为 ． 4．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 1．【认识概念】如图①，在中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“近三分线”． (1)【解决问题】如图②，在中，，，若的三分线交于点，则___________． (2)如图③，在中，、分别是近三分线和近三分线，且，求的度数； (3)【方法延伸】如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，直接写出的度数． 2．【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 3．问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； (3)问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 4．在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． (1)如图1，①若，则___________； ②若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$