13.3.1三角形的内角（第2课时）（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.3.1三角形的内角（第2课时）（原卷版） 目 录 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1 类型二、锐角互余的三角形是直角三角形 4 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1．如图，将一块含有的直角三角板放于两条平行线上，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，折射角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如题图，，于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 8．如图，直线，直线，，则的度数为 ． 9．如图，直线，，若，则 10．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：中，． 求证：． 证明：如图，过点作，（ ① ） 则． ， ． ．（ ② ） ． ． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 ； 证明过程中，②处应填写的依据是 ． 【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程． 11．如图，在中，于点，交于点，，则 ． 12．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 13．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 14．如图是一种躺椅，如图是其简化示意图．扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时和的度数． 类型二、锐角互余的三角形是直角三角形 15．如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．如图，，过点B作于B，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知直线，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 21．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 23．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 24．如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 1．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 3．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 5．如图，在中，，，分别是，上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 1．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 2．已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.1三角形的内角（第2课时）（解析版） 目 录 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1 类型二、锐角互余的三角形是直角三角形 9 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1．如图，将一块含有的直角三角板放于两条平行线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板有关的计算题，平行线的性质，三角形内角和定理，先根据题意得，再结合对顶角相等，得，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵将一块含有的直角三角板放于两条平行线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关的性质是解题的关键．先根据平行线性质求出，再在直角三角形中利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 3．一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，折射角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根据互余及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，法线与杯底垂直，的余角为， 由平行线的性质可知：． 故选C． 4．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 故选：B． 5．如题图，，于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据两直线平行，内错角相等，则，运用直角三角形的两个锐角互余进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点E， ∴， 故选：B 6．如图，在中，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理计算解答即可． 本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选：C． 7．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为直角三角形, 此时， 当时，为直角三角形, 此时 ∵ ∴， 故答案为：或． 8．如图，直线，直线，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出，然后求出的邻补角，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】因为，， 所以， 则的邻补角为， 所以． 故答案为：． 9．如图，直线，，若，则 【答案】55 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键． 根据垂直的定义和余角的定义计算得到，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55 10．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：中，． 求证：． 证明：如图，过点作，（ ① ） 则． ， ． ．（ ② ） ． ． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 ； 证明过程中，②处应填写的依据是 ． 【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程． 【答案】 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，可得，则结论可证． 【详解】证明：如图，过点A作，（在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直） 则． ， ． ．（同旁内角互补，两直线平行） ． ． 故答案为：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同旁内角互补，两直线平行． 11．如图，在中，于点，交于点，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 12．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ． 故答案为： ． 13．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】；相等的锐角有： 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有：． 14．如图是一种躺椅，如图是其简化示意图．扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由，可得，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 类型二、锐角互余的三角形是直角三角形 15．如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 16．如图，，过点B作于B，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：于B，， ， ， ， 故选：B． 17．如图，已知直线，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和垂直线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义，可以求出的大小，最终确定的度数． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 18．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段和线段垂直于点Q得出，再由可得出的度数，由即可得出结论． 【详解】解：∵线段和线段垂直于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 19．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 20．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 21．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 22．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 23．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图中有3个直角三角形，分别是，， (2)，理由见解析 【分析】（1）由题中已知条件，是高，可以得到、、都是直角． （2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到． 【详解】（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，； （2） ∆，，是直角三角形，且、、是直角， ，， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 1．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 3．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 4．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义． （1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，分别是，上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ； （2）解：，， 由（）可知：， ， ， 平分， ． 1．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 2．已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的概念求解即可； （2）根据网格的特点求解即可． 【详解】（1）如图1所示，即为所要求作的直角三角形， （2）如图2所示，点H即为所要求作的点，    【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的概念，正确借助网格分析是解题关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$