13.3.1三角形的内角（第1课时）（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.3.1三角形的内角（第1课时）（解析版） 目 录 类型一、利用三角形内角和求角度 1 类型二、跨学科问题 1 类型三、三角板问题 2 类型一、利用三角形内角和求角度 1．如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得， 故选：D 2．某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：，，，由平行线的性质得出，进而可求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 3．将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，理解图示，掌握以上知识是关键． 根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∵， ∴，故选：D ． 4．若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用， 先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 解得， ∴． 故选：C． 5．如图，直线于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意得出，然后代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选A． 6．在中，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形三个内角的和是．根据已知条件和三角形的三个内角的和是求出答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 7．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 8．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 9．已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、，    由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ，                 所以是等腰直角三角形，, 则 10．如图,在中，，分别是边上的高,且与相交于点,求及的度数． 【答案】∠A=54°；. 【分析】根据三角形的内角和定理，即可求出∠A的度数；由垂直的定义，以及，，求出∠BCE和∠CBD，然后求出∠BOC. 【详解】解：根据题意， ∵在中，，， ∴； ∵BD垂直AC，CE垂直AB， ∴， ∴∠BCE=，， ∴. 【点睛】本题考查了三角形的内角和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理和余角的性质进行求角度. 11．如图，∠A＝26°，∠B＝50°，∠DFE＝128°，求∠C的度数． 【答案】52° 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角和即可求出∠FDC的度数，再根据互补两角的和为180°，即可得出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和为180°即可得出∠C的度数． 【详解】∵∠A＝26°，∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－(∠A＋∠B)＝104°， ∴∠CDF＝180°－∠ADB＝76°，∵∠DFE＝128°， ∴∠CFD＝180°－∠DFE＝52°， 在△CDF中，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD＝52° 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和为180°，以及互补两角的和为180°，难度适中． 12．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可；根据及三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用、表示出的度数，再根据直角三角形的性质用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线，先根据角平分线的定义求出度数，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又， ∴． 类型二、跨学科问题 1．跨学科试题·物理  如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 利用平行线的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质得，进而得出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图 ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵支持力的方向与斜面垂直， ∴ ∴ 故选：C． 3．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 4．小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相应角度． 根据求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 类型三、三角板问题 1．如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．将直尺与角的三角板如图所示叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意可知，再由三角形内角和定理确定的值，然后根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出，平行求出，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 5．如图，直线，是一块含角的直角三角板，其中，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解的关键是熟练掌握平行线的性质． 过点作，根据平行线的性质逐步进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ， ， 故选：B． 6．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 求出后，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图进行标注： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ． 故答案为：． 8．把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ． 【答案】25° 【分析】本题考查了平行线的公理及性质,平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， ， 故答案为：． 1．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先根据三角形内角和定理，求出的度数，然后根据角平分线的定义，求出的度数，再次利用三角形内角和定理，求出的度数，最后根据求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 3．在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 4．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． 5．如图，在 中，， 于点，是的一条角平分线，若，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线以及高线的定义，根据题意角平分线的定义以及已知条件得出，进而求得，由，即可求解． 【详解】解：∵分 ∴． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 1．【概念认识】 如图①，射线BP在的内部，若，则射线叫做的邻“分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点，若，则___________； (2)如图③，在中，点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点，且，求的度数； (3)如图④，在中，点在边的延长线上，连接，且，的邻“3分线”与交于点，若，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）设，，根据邻“2分线”和邻“2分线”的定义和三角形内角和定理进行计算即可； （2）设，，根据邻“4分线”与邻“4分线”的定义和三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：设，， ∵点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴设，， ∵的邻“3分线”与交于点， ∴设，则， 在中，由三角形内角和定理得， ∴， 在中，由三角形内角和定理得． 2．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） (2)如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)①的三条高所在直线交于点A；②见解析 (2)①，②，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点， 则为的第三条高； （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②；理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 5 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.1三角形的内角（第1课时）（原卷版） 目 录 类型一、利用三角形内角和求角度 1 类型二、跨学科问题 1 类型三、三角板问题 2 类型一、利用三角形内角和求角度 1．如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．在中，，，则的度数为 ． 7．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 8．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 9．已知△中，，，求、、的度数及的面积． 10．如图,在中，，分别是边上的高,且与相交于点,求及的度数． 11．如图，∠A＝26°，∠B＝50°，∠DFE＝128°，求∠C的度数． 12．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 13．如图，在中，平分，，．求的度数． 类型二、跨学科问题 1．跨学科试题·物理  如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则 ． 类型三、三角板问题 1．如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．将直尺与角的三角板如图所示叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，直线，是一块含角的直角三角板，其中，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 8．把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ． 1．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ． 4．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 5．如图，在 中，， 于点，是的一条角平分线，若，求 的度数． 1．【概念认识】 如图①，射线BP在的内部，若，则射线叫做的邻“分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点，若，则___________； (2)如图③，在中，点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点，且，求的度数； (3)如图④，在中，点在边的延长线上，连接，且，的邻“3分线”与交于点，若，直接写出的大小（用含的式子表示）． 2．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） (2)如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$