第十二讲 磁场--2026届新高三暑假衔接课

夜市物理 新高三暑假自学衔接课 第十二讲 磁场 知识梳理 1.电流的磁场、安培定则 直线电流的磁场 通电螺线管的磁场 环形电流的磁场 特点 无磁极、非匀强，且距导线越远处磁场越弱 与条形磁铁的磁场相似，管内为匀强磁场且磁场最强，管外为非匀强磁场 环形电流的两 侧是N极和S极，且离圆环中心越远，磁场越弱 安培 定则 立体图 截面图 2.磁场中的基本公式 物理量 公式规律 磁感应强度 （单位：T；注意：） 磁通量 （单位：wb；注意：） 安培力 1、 大小：（） 2、 方向：左手定则 3、弯曲通电导线的有效长度 当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。 洛伦兹力 1、大小：（）；2、方向：左手定则 3、向心力公式：； 4、周期：； 5、有界磁场中运动时间： t＝T 或t＝T 6、带电粒子在匀强磁场中圆周运动问题的一般解题步骤 （1）画轨迹，找圆心（做速度v的垂线）； （2）构建直角三角形，求半径R； （3）找圆心角，偏转角等于圆心角，求时间t 考点分析 1. 安培力及其应用 1. 安培力的方向：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内．让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向．拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向． 2.安培力的大小 1）磁场和电流平行时：F＝0. 2）磁场和电流垂直时（F、B、I要两两垂直）：， 3）B与I的夹角为θ：. 3.安培力作用下的力电综合问题 求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路 1）选对象：通电导线或通电导体棒 2）平面化分析力：变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈⭕表示，电流方向用“×”或“●”表示，由左手定则判断安培力的方向，并画出平面受力分析图，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I.如图所示： 3）列方程：在其他力基础上多一个安培力，根据平衡条件列方程 求解关键：电磁问题力学化；立体图形平面化 典例分析 例1.如图所示，把一根柔软的铜制弹簧悬挂起来，使它的下端刚好跟槽中的水银接触，再将a、b端分别与一直流电源两极相连；发现弹簧开始上下振动，电路交替通断。则下列说法正确的是（　　） A．通入电流时，弹簧各相邻线圈之间相互排斥 B．将a、b端的极性对调，弹簧将不再上下振动 C．换用交流电，也可使弹簧上下振动 D．增大电流，弹簧下端离开水银液面的最大高度一定变小 例2.如图所示，长为2l的直导线折成边长相等、夹角为120°的V形，并置于与其所在平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B。当在导线中通以电流I时，导线受到的安培力大小为（　　） A． B． C． D． 例3.如图所示的装置是用来测量匀强磁场磁感应强度B的等臂电流天平，其右臂挂着匝数为n的矩形线圈，线圈的水平边长为l，磁场的方向与线圈平面垂直。当线圈没有通电时，天平处于平衡状态，当线圈通入图示电流I时，则须在一个托盘中加质量为m的小砝码才能使天平重新平衡。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．应在右盘中加入小砝码 B．由以上测量数据可求出匀强磁场的磁感应强度 C．若发现右盘向上翘起，则应增大线圈中的电流 D．若只改变电流的方向，线圈仍保持平衡状态 例4.如图所示，质量为m、长为L的直导线用两绝缘细线悬挂于O、，并处于匀强磁场中。当导线中通以沿x轴正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，则（　　） A．磁场可以沿z轴正方向 B．若磁场沿z轴负方向，每根绳子拉力的大小为 C．若磁场沿z轴负方向，直导线受到的安培力的大小为 D．磁场的磁感应强度最小值为 例5.如图甲所示，一质量为m的金属棒垂直放在间距为L的两水平平行导轨上，接触良好通过金属棒的电流为I，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向与导轨平面的夹角为，金属棒保持静止，重力加速度为g。 (1)在图乙中画出金属棒的受力图； (2)求金属棒受到的支持力和摩擦力f的大小。 例6.如图所示，电阻不计的两平行金属导轨间距，固定在倾角的绝缘斜面上，下端接一电动势、内阻的电源。金属导轨所在的区域加一磁感应强度大小的匀强磁场，磁场方向垂直斜面向下。现把一根质量的金属杆垂直放在导轨上，接入电路的电阻，当开关闭合后处于静止状态。重力加速度取，求： (1)金属杆受到的安培力大小和方向； (2)金属杆受到导轨的摩擦力大小和方向。 考点分析 2.洛伦兹力 1. 洛伦兹力的方向 1）判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角) 注意：1）洛伦兹力的特性：洛伦兹力始终垂直于v的方向，所以洛伦兹力一定不做功 2）洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观表现.所以洛伦兹力的方向与安培力的方向一样也由左手定则判定. 2. 洛伦兹力的大小 1）v∥B时：； 2）v⊥B时：； 3）v与B的夹角为θ：. 3.洛伦兹力与电场力比较 洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中 大小 (v⊥B) 力方向与场方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 作用效果 　只改变电荷的速度方向,不改变速度大小 　既可以改变电荷的速度大小,也可以改变速度的方向 典例分析 例1.如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的滑块从斜面的顶端由静止释放。重力加速度为，滑块滑到斜面某位置时，恰好不受斜面的弹力，则在该位置滑块的速度大小为（　　） A． B． C． D． 例2.如图所示，绝缘粗糙水平面位于垂直于纸面向里的匀强磁场中，一比荷始终保持不变的带负电小物块以初速度在绝缘粗糙水平面上滑行一段时间后停止运动，下列说法正确的是（　　） A．物块滑动过程中，物块的加速度恒定不变 B．物块滑动过程中，物块的加速度逐渐增大 C．物块滑动过程中，洛伦兹力对物做正功 D．物块滑动过程中，物块克服洛伦兹力做功 例3. 如图所示，光滑绝缘直杆倾角为，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（　　） A．机械能减小 B．最大上滑位移为 C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大 例4.如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带负电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀加速直线运动 B．小球做匀减速直线运动 C．小球对桌面的压力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 例5.一带电粒子沿垂直磁场方向射入匀强磁场，经过轨迹如图所示，轨迹上每一小段都可以近似看成圆弧，其能量逐渐减小（质量、电量不变），从图中可以确定运动方向和电性是（　　） A．粒子从b到a，带负电 B．粒子从a到b，带负电 C．粒子从a到b，带正电 D．粒子从b到a，带正电 例6.如图所示，带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，关于小球在磁场中运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动 B．洛伦兹力对小球不做功 C．小球的速度保持不变 D．小球的机械能保持不变 考点分析 3.带电粒子在磁场中的运动 1. 基本思路 1）画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 2）找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 3）用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 2.基本公式：、 3.重要结论：、 4.基本类型：在带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下（电子、质子、α粒子等微观粒子的重力通常忽略不计）， 1）若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），带电粒子以入射速度v做匀速直线运动. 2）若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v做匀速圆周运动. 5.圆心的确定 1）轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) 2）轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) 3）沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 6. 半径的确定 1）由物理公式求，洛伦兹力提供向心力：.得轨迹半径：. 2）由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定，如图 或由求得 7. 时间的求解 1）周期：、，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关． 2）运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间. 典例分析 例1.如图所示，从一粒子源O发出质量相等的三种粒子，以相同的速度垂直射入匀强磁场中，结果分成了a、b、c三束，下列说法正确的有（　　） A．a粒子带负电，b粒子不带电，c粒子带正电 B．a粒子带正电，b粒子带正电，c粒子带负电 C．a、c的带电量的大小关系为 D．a、c的带电量的大小关系为 例2.如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿方向运动 C．穿过金属板后，轨迹半径变小 D．穿过金属板后，所受洛伦兹力变大 例3.如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，一带电粒子从轴上的点以速度射入第一象限内，速度方向与轴正方向成角，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知，不计粒子重力。求： (1)判断粒子的电性； (2)粒子的比荷； (3)粒子从点运动到点的时间。 例4.如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电的粒子垂直于磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直磁场边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间； (2)若粒子恰好未从EF边界射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间。 考点分析 4.带电粒子在组合场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．分析思路 1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图． 2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． 3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理． 3．常见粒子的运动及解题方法 1）处于电场中 ①匀变速直线运动：利用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理求解 ②类平抛（斜抛）运动：利用运动的分解、功能关系求解 2）处于磁场中 ①匀速直线运动“运动运动学公式求解 ②匀速圆周运动：利用集合知识、圆周运动、牛顿第二定理求解 ③螺旋运动：分解成直线运动和匀速圆周运动求解 4.解题思路 1）先读图：看清并且明白场的变化情况 2）受力分析：分析粒子在不同的变化场区的受力情况 3）过程分析：分析粒子在不同时间段内的运动情况 4）找衔接点：找出衔接点相邻两过程的物理量 5）选规律：联立不同阶段的方程求解 典例分析 例1.如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第二、三象限有沿轴正方向的匀强电场，第一、四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为、带电荷量为的粒子从轴上的点，以速度平行于轴正向开始运动，粒子第一次进入磁场时恰好经过轴上的点。已知点坐标为，点坐标为，不计粒子重力。 (1)求匀强电场场强的大小； (2)求粒子刚进入磁场时的速度大小； (3)如果粒子第一次经过轴后能再次经过点，求磁感应强度的大小。 例2.真空中的平面直角坐标系xOy的第一象限内存在沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，其余象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。如图所示，一质量为m、电荷量为（）的带电粒子，从y轴上的P点以一定的速度平行于x轴射入第一象限，然后从x轴上的Q点进入磁场，恰好能回到P点。已知，，不计粒子受到的重力。求： (1)粒子射入匀强电场时的初动能； (2)粒子回到P点时的速度大小v； (3)匀强磁场的磁感应强度大小B。 考点分析 在于 5.带电粒子在叠加场中的运动 1.磁场力、重力并存 1）若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒. 2.电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) 1）若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解. 3.电场力、磁场力、重力并存 1）若三力平衡,带电体做匀速直线运动. 2）若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动. 3）若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解. 注意：1）带电粒子在复合场中做直线运动 ①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解.   ②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解. 2）带电粒子在复合场中做曲线运动   ①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解.   ②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解. 典例分析 例1.如图所示，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直（平行纸面）向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动。若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内（　　） A．小球的动能减小 B．小球的电势能减小 C．小球的重力势能增大 D．小球的机械能增大 例2.如图所示，足够长的粗糙绝缘挡板竖直固定，左侧空间存在磁感应强度大小为B、方向水平向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为的滑块（可视为质点）紧贴挡板从某点由静止释放，当滑块下滑高度h时开始做匀速运动，若滑块与挡板间的动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度为g，运动过程中滑块电荷量不变，求： (1)滑块速度为v时的加速度大小； (2)滑块由静止开始下滑h的过程中克服摩擦力做的功。 例3.如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 考点分析 6. 各种科学仪器 装置 原理图 规律 速度 选择器 公式： 运动：匀速直线运动 磁流体 发电机 等离子体：高速正负粒子 公式： 电磁 流量计 公式： 流量： 霍尔 元件 公式： 电流： 电势差： 回旋加速器 1、 周期：T交流=T粒子 最大动能：由qvB＝，得Ekm＝， 由磁感应强度B和D形盒半径R决定，与加速电压无关。 质谱仪 电场加速：qU＝mv2。 匀速圆周运动：qvB＝m。 半径：r＝ 典例分析 例1.如图所示的平行板器件中，电场强度和磁感应强度相互垂直。的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，恰能沿虚线通过。则（　　） A．的粒子以速度从右侧沿水平方向进入，能沿虚线通过 B．的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，不能沿虚线通过 C．的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，能沿虚线通过 D．改变电场强度和磁感应强度，粒子一定不能沿虚线通过 例2.质谱仪是发现新粒子及分析同位素的重要仪器。如图为质谱仪的原理示意图，带电粒子经电场加速后再沿直线通过速度选择器，最后进入到偏转磁场并打在A点。不计带电粒子重力，关于该带电粒子在质谱仪中的运动，下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子有可能带负电 B．速度选择器中的磁场B的方向垂直纸面向里 C．仅增大偏转磁场的磁感应强度B0，带电粒子会打到A点左边 D．若增大加速电压U，要让带电粒子沿直线通过速度选择器，可减小磁感应强度B的大小 例3.回旋加速器是加速带电粒子的装置。它由两个半径均为R的D形盒组成，D形盒狭缝间加周期性变化的交变电压U，交变电压的周期为T，匀强磁场垂直于D形盒向下，一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子在加速器中被加速，则下列判断正确的是（　　） A．粒子在D形盒中沿顺时针方向旋转 B．狭缝间电场的方向每经过时间T改变一次 C．粒子被加速的次数为 D．若要加速质量为2m、电荷量为+q的粒子，只需要将磁感应强度大小减为原来的一半即可 例4.如图为磁流体发电机的示意图，两正对平行极板P、Q的间距为d，两板的面积均为S，内部充满方向与板平行、磁感应强度大小为B的匀强磁场，直流电动机M的内阻为R。现让等离子体（高温下被电离含有大量带正电和负电的离子的气体）以速度v持续垂直磁场喷入两板间。若磁流体发电机稳定发电时，电动机M正常工作，理想电流表A的示数为I。磁流体发电机的内阻只考虑充满两板间的等离子体的电阻，两板间等离子体的等效电阻为R。则下列说法正确的是（　　） A．P板为电源的正极 B．带负电的粒子在两极板间受到的洛伦兹力方向向下 C．电动机M正常工作时两端的电压为 D．电动机M正常工作时的机械功率为 例5.电磁血流量计的原理是基于法拉第电磁感应定律，可用于心血管手术的精密监控，其原理如图所示。空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。当血液从内径为的水平血管左侧流入、右侧流出时，因为血液中含有大量的正、负离子，血管上下两侧间将形成电势差。当血液的流量（单位时间内流过血管横截面的血液体积）一定时，下列说法正确的是（    ） A．血管上侧电势低，血管下侧电势高 B．若血管内径变大，则血液流速变大 C．若血管内径变大，则变小 D．的大小与血液流速无关 巩固练习 一、单选题 1．（2025·福建莆田·三模）如图所示，粗细均匀的“L”型金属棒用绝缘细线和悬吊，静止在垂直于平面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为部分水平，长为部分竖直，长为。给金属棒通入大小为、方向从到的恒定电流，同时给金属棒施加一个外力，使金属棒仍处于原静止状态，则加在金属棒上外力的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·二模）如图所示的四幅图片中：图甲是把一不计重力的通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方；图乙是电磁轨道炮的工作原理图，平行导轨水平放置于沿竖直方向的匀强磁场中，带有可导电金属架和炮弹垂直放在导轨上；图丙是当电流方向相同时，两条通电导线之间也有作用力；图丁是通电直导线置于匀强磁场中，通电导线电流方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。下列说法中正确的是（　　） A．图甲中，通电直导线受到安培力且左端向里右端向外 B．图乙中，闭合开关，金属架和炮弹一起水平向右运动，磁场方向应竖直向上 C．图丙中，当电流方向相同时，导线相互排斥，相互作用是通过磁场发生的 D．图丁中，通电直导线受到安培力且方向向上 3．（2025·贵州贵阳·二模）如图，方向垂直纸面向里的匀强磁场区域中有一边界截面为圆形的无场区，O为圆形边界的圆心，P、Q为边界上的两点，OP与OQ的夹角为60°。一带电粒子从P点沿垂直磁场方向射入匀强磁场区域后经过时间t从Q点第一次回到无场区，粒子在P点的速度方向与OP的夹角为20°。若磁感应强度大小为B，粒子的比荷为k，不计粒子重力，则t为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东·期中）我国的超高压直流输电技术全球领先。如图为我国的长江边一段南北走向的高压直流输电线，其中的电流方向从南到北，输电线笔直且与地面平行，不考虑磁偏角，则该段输电线所受地磁场所给的安培力方向为（　　） A．垂直输电线向东 B．垂直输电线向西 C．垂直输电线向上 D．垂直输电线向下 5．（2025·河北石家庄·三模）回旋加速器利用高频交变电压使带电粒子在电场中不断加速。如图所示，回旋加速器两“D”型盒内存在垂直“D”型盒的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，所加速粒子的比荷为k，高频电源由LC振荡电路产生，LC振荡电路中电感线圈的自感系数为L。为使回旋加速器正常工作，LC振荡电路中的电容器的电容C为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山东·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（　　）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。） A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为 B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半 C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半 D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向 二、多选题 7．（2025·甘肃·二模）如图所示，在磁感应强度大小，方向水平向里的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，取。关于小环的运动下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小环做负功 B．小环的轨迹是抛物线 C．小环在绝缘杆上运动时间为0.2s D．小环的机械能减少 8．（2025·四川宜宾·三模）水平地面上方足够大的空间存在水平方向上相互正交的匀强电场和匀强磁场，如图所示。一质量kg，带电量C的物体从A点由静止释放，释放后经时间s，恰好从B点离开地面。已知电场强度N/C，磁感应强度T，物体与地面的动摩擦因数。物体可视为质点，重力加速度m/s²，则（　　） A．物体从A运动到B做加速度增大的加速直线运动 B．物体运动到B点的速度大小为6m/s C．A、B之间的距离m D．从B点离开地面后，再经过秒后，物体距离地面的高度为米 9．（2025·山西大同·三模）如图所示，圆柱形磁铁N极朝上竖直固定，半径为r、质量为m的通电圆环水平静止在磁铁的正上方，圆环圆心在磁铁的竖直轴线上，圆环中的电流大小恒为I，圆环上每一极小段导线上安培力的竖直分量与水平分量相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．圆环有收缩趋势 B．俯视看圆环中电流沿逆时针方向 C．圆环处磁场磁感应强度大小为 D．圆环处磁场方向与竖直方向夹角为30° 三、解答题 10．（2025·四川南充·三模）如图所示，光滑绝缘的水平桌面离地面高为，桌面边缘处静止放置一个质量为、电荷量为的小球，桌面边缘右侧有竖直向上的匀强电场和水平向外的匀强磁场，场强、磁感应强度为。桌面上有另一质量也为的绝缘球以速度与小球发生弹性正碰（Q的电荷量不变），碰后小球进入复合场区域，运动过程忽略空气阻力且不考虑运动电荷对电场、磁场的影响，小球触地不反弹，重力加速度为。求： (1)碰后瞬间小球的速度大小； (2)小球在复合场中的运动时间和小球落地时两球的距离。 11．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示的装置，从灯丝K发出连续电子流，经过的电压加速后，从小孔S垂直进入垂直于纸面向外的匀强磁场中，电子偏转后都能打在荧光屏EF上发出荧光，EF与加速电极CD在同一条直线上。若电子在加速电场中运动的时间极短，电子离开灯丝时的初速度可认为是零，电子带电荷量为e，质量为m。已知EF上发出荧光部分的长度为L，求： (1)到达小孔S处电子的速度大小的区间范围； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。 轻松学物理 1 学科网（北京）股份有限公司 $$夜市物理 新高三暑假自学衔接课 第十二讲 磁场 知识梳理 1.电流的磁场、安培定则 直线电流的磁场 通电螺线管的磁场 环形电流的磁场 特点 无磁极、非匀强，且距导线越远处磁场越弱 与条形磁铁的磁场相似，管内为匀强磁场且磁场最强，管外为非匀强磁场 环形电流的两 侧是N极和S极，且离圆环中心越远，磁场越弱 安培 定则 立体图 截面图 2.磁场中的基本公式 物理量 公式规律 磁感应强度 （单位：T；注意：） 磁通量 （单位：wb；注意：） 安培力 1、 大小：（） 2、 方向：左手定则 3、弯曲通电导线的有效长度 当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。 洛伦兹力 1、大小：（）；2、方向：左手定则 3、向心力公式：； 4、周期：； 5、有界磁场中运动时间： t＝T 或t＝T 6、带电粒子在匀强磁场中圆周运动问题的一般解题步骤 （1）画轨迹，找圆心（做速度v的垂线）； （2）构建直角三角形，求半径R； （3）找圆心角，偏转角等于圆心角，求时间t 考点分析 1. 安培力及其应用 1. 安培力的方向：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内．让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向．拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向． 2.安培力的大小 1）磁场和电流平行时：F＝0. 2）磁场和电流垂直时（F、B、I要两两垂直）：， 3）B与I的夹角为θ：. 3.安培力作用下的力电综合问题 求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路 1）选对象：通电导线或通电导体棒 2）平面化分析力：变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈⭕表示，电流方向用“×”或“●”表示，由左手定则判断安培力的方向，并画出平面受力分析图，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I.如图所示： 3）列方程：在其他力基础上多一个安培力，根据平衡条件列方程 求解关键：电磁问题力学化；立体图形平面化 典例分析 例1.如图所示，把一根柔软的铜制弹簧悬挂起来，使它的下端刚好跟槽中的水银接触，再将a、b端分别与一直流电源两极相连；发现弹簧开始上下振动，电路交替通断。则下列说法正确的是（　　） A．通入电流时，弹簧各相邻线圈之间相互排斥 B．将a、b端的极性对调，弹簧将不再上下振动 C．换用交流电，也可使弹簧上下振动 D．增大电流，弹簧下端离开水银液面的最大高度一定变小 【答案】C 【详解】A．通入电流时，弹簧各相邻线圈中电流的方向相同，根据同向电流相互吸引可知，弹簧各相邻线圈之间相互吸引，故A错误； B．将a、b端的极性对调，弹簧各相邻线圈中电流的方向仍然相同，它们之间相互吸引，导致弹簧收缩，下端离开水银液面，电路断开，电流消失，弹簧伸长，电路导通，重复上述过程，水银弹簧仍然上下振动，故B错误； C．结合上面选项分析可知，弹簧的上下振动与电流的方向无关，用频率合适的交流电，也可使弹簧上下振动，故C正确； D．增大电流，弹簧各相邻线圈之间相互吸引力增大，下端离开水银液面的最大高度一定变大，故D错误。 故选C。 例2.如图所示，长为2l的直导线折成边长相等、夹角为120°的V形，并置于与其所在平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B。当在导线中通以电流I时，导线受到的安培力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】导线在磁场中的有效长度为 导线受到的安培力大小为 故选C。 例3.如图所示的装置是用来测量匀强磁场磁感应强度B的等臂电流天平，其右臂挂着匝数为n的矩形线圈，线圈的水平边长为l，磁场的方向与线圈平面垂直。当线圈没有通电时，天平处于平衡状态，当线圈通入图示电流I时，则须在一个托盘中加质量为m的小砝码才能使天平重新平衡。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．应在右盘中加入小砝码 B．由以上测量数据可求出匀强磁场的磁感应强度 C．若发现右盘向上翘起，则应增大线圈中的电流 D．若只改变电流的方向，线圈仍保持平衡状态 【答案】C 【详解】A．根据左手定则，安培力向下，应在左盘中加入小砝码，A错误； B．根据平衡条件得 ，解得，B错误； C．若发现右盘向上翘起，表明向下的安培力偏小，则应增大线圈中的电流，C正确； D．若只改变电流的方向，安培力向上，线圈不能保持平衡状态，D错误。 故选C。 例4.如图所示，质量为m、长为L的直导线用两绝缘细线悬挂于O、，并处于匀强磁场中。当导线中通以沿x轴正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，则（　　） A．磁场可以沿z轴正方向 B．若磁场沿z轴负方向，每根绳子拉力的大小为 C．若磁场沿z轴负方向，直导线受到的安培力的大小为 D．磁场的磁感应强度最小值为 【答案】D 【详解】A．磁场若沿z轴正方向，安培力方向水平向左，无法平衡，故A错误； B．若磁场沿z轴负方向，安培力方向水平向右，则每根绳子拉力的大小为，故B错误； C．若磁场沿z轴负方向，安培力方向水平向右，则直导线受到的安培力的大小为，故C错误； D．磁场的磁感应强度最小值为，故D正确。 例5.如图甲所示，一质量为m的金属棒垂直放在间距为L的两水平平行导轨上，接触良好通过金属棒的电流为I，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向与导轨平面的夹角为，金属棒保持静止，重力加速度为g。 (1)在图乙中画出金属棒的受力图； (2)求金属棒受到的支持力和摩擦力f的大小。 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）对金属棒受力分析如图 （2）根据共点力平衡条件，水平方向 竖直方向 又 解得， 例6.如图所示，电阻不计的两平行金属导轨间距，固定在倾角的绝缘斜面上，下端接一电动势、内阻的电源。金属导轨所在的区域加一磁感应强度大小的匀强磁场，磁场方向垂直斜面向下。现把一根质量的金属杆垂直放在导轨上，接入电路的电阻，当开关闭合后处于静止状态。重力加速度取，求： (1)金属杆受到的安培力大小和方向； (2)金属杆受到导轨的摩擦力大小和方向。 【答案】(1)；方向垂直杆沿斜面向上 (2)；方向沿斜面向上 【详解】（1）根据闭合电路欧姆定律    根据安培力大小公式，有 方向垂直杆沿斜面向上； （2）对金属杆受力分析如图所示，根据沿斜面方向受力平衡有 解得 方向沿斜面向上； 考点分析 2.洛伦兹力 1. 洛伦兹力的方向 1）判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角) 注意：1）洛伦兹力的特性：洛伦兹力始终垂直于v的方向，所以洛伦兹力一定不做功 2）洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观表现.所以洛伦兹力的方向与安培力的方向一样也由左手定则判定. 2. 洛伦兹力的大小 1）v∥B时：； 2）v⊥B时：； 3）v与B的夹角为θ：. 3.洛伦兹力与电场力比较 洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中 大小 (v⊥B) 力方向与场方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 作用效果 　只改变电荷的速度方向,不改变速度大小 　既可以改变电荷的速度大小,也可以改变速度的方向 典例分析 例1.如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的滑块从斜面的顶端由静止释放。重力加速度为，滑块滑到斜面某位置时，恰好不受斜面的弹力，则在该位置滑块的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由左手定则可知，滑块所受洛伦兹力垂直斜面向上，滑块滑至某位置时恰好不受弹力，则 解得 故选B。 例2.如图所示，绝缘粗糙水平面位于垂直于纸面向里的匀强磁场中，一比荷始终保持不变的带负电小物块以初速度在绝缘粗糙水平面上滑行一段时间后停止运动，下列说法正确的是（　　） A．物块滑动过程中，物块的加速度恒定不变 B．物块滑动过程中，物块的加速度逐渐增大 C．物块滑动过程中，洛伦兹力对物做正功 D．物块滑动过程中，物块克服洛伦兹力做功 【答案】B 【详解】AB．根据左手定则可知，小物块所受洛伦兹力竖直向上，根据牛顿第二定律有 又 联立得 根据题意可知，v逐渐减小，所以加速度逐渐增大，故A错误，B正确； CD．物块滑动过程中，所受洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功，故CD错误。 故选B。 例3. 如图所示，光滑绝缘直杆倾角为，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（　　） A．机械能减小 B．最大上滑位移为 C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大 【答案】B 【详解】A．小球运动过程中，只受到竖直向下的重力、与杆垂直的洛伦兹力和弹力，由于洛伦兹力和弹力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误； BC．小球上滑时，根据牛顿第二定律 下滑时，根据牛顿第二定律 所以根据可知，上滑时间等于下滑时间，小球向上滑动的最大位移为 故B正确，C错误； D．小球向下滑动时受到竖直向下的重力、垂直杆向上的洛伦兹力、与杆垂直的弹力，小球向下加速时，根据可知，小球受到的洛伦兹力增大，若小球回到出发点加速到时，小球受到的洛伦兹力仍小于小球垂直杆方向的分力，则根据平衡条件可知，杆对小球的弹力一直垂直杆向上减小，故D错误。 故选B。 例4.如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带负电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀加速直线运动 B．小球做匀减速直线运动 C．小球对桌面的压力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 【答案】C 【详解】CD．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度 根据安培定则，结合磁感应强度的叠加原理可知，直线MON上靠近M处的磁场方向垂直于MN向里，靠近N处的磁场方向垂直于MN向外，磁场大小先减小，过O点后反向增大，根据左手定则可知，带负电的小球受到的洛伦兹力方向开始时竖直向下，大小逐渐减小，过O点后洛伦兹力的方向向上，大小逐渐增大，小球在竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，小球对桌面的压力一直在减小，故C正确，D错误； AB．结合上述可知，由于桌面光滑，小球仅在竖直方向上受到重力、洛伦兹力与支持力作用，在沿速度方向不受外力作用，小球所受外力的合力为0，则小球将做匀速直线运动，故AB错误。 故选C。 例5.一带电粒子沿垂直磁场方向射入匀强磁场，经过轨迹如图所示，轨迹上每一小段都可以近似看成圆弧，其能量逐渐减小（质量、电量不变），从图中可以确定运动方向和电性是（　　） A．粒子从b到a，带负电 B．粒子从a到b，带负电 C．粒子从a到b，带正电 D．粒子从b到a，带正电 【答案】A 【详解】由题意可知，由于带电粒子的能量逐渐减小，故其速度减小，在磁场中洛伦兹力提供向心力 解得其半径为 由于速度减小，故其半径逐渐减小，故可知粒子的运动方向从b到a；由其偏转方向及左手定则可知粒子带负电。 故选A。 例6.如图所示，带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，关于小球在磁场中运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动 B．洛伦兹力对小球不做功 C．小球的速度保持不变 D．小球的机械能保持不变 【答案】BD 【详解】A．带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，所以小球受重力和洛伦兹力作用，速度方向与合力方向夹角不是，故小球做曲线运动，故A错误； BD．洛伦兹力方向与速度方向垂直，故洛伦兹力对小球不做功，故重力作用下，小球机械能保持不变，故BD正确； C．小球在重力与洛伦兹力作用下，小球的速度发生变化，故C错误。 故选BD。 考点分析 3.带电粒子在磁场中的运动 1. 基本思路 1）画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 2）找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 3）用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 2.基本公式：、 3.重要结论：、 4.基本类型：在带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下（电子、质子、α粒子等微观粒子的重力通常忽略不计）， 1）若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），带电粒子以入射速度v做匀速直线运动. 2）若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v做匀速圆周运动. 5.圆心的确定 1）轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) 2）轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) 3）沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 6. 半径的确定 1）由物理公式求，洛伦兹力提供向心力：.得轨迹半径：. 2）由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定，如图 或由求得 7. 时间的求解 1）周期：、，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关． 2）运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间. 典例分析 例1.如图所示，从一粒子源O发出质量相等的三种粒子，以相同的速度垂直射入匀强磁场中，结果分成了a、b、c三束，下列说法正确的有（　　） A．a粒子带负电，b粒子不带电，c粒子带正电 B．a粒子带正电，b粒子带正电，c粒子带负电 C．a、c的带电量的大小关系为 D．a、c的带电量的大小关系为 【答案】C 【详解】AB．由左手定则可知，a带正电，b不带电，c带负电，故AB错误； CD．由洛伦兹力提供向心力可得 可得 由题图可知，则有，故C正确，D错误。 故选C。 例2.如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿方向运动 C．穿过金属板后，轨迹半径变小 D．穿过金属板后，所受洛伦兹力变大 【答案】C 【详解】ABC．带电粒子穿过金属板后速度减小，根据牛顿第二定律 可得 可知轨迹半径应减小，故可知粒子运动方向是，粒子所受的洛伦兹力均指向圆心，在e点洛伦兹力向右，则由左手定则可知，粒子应带负电，故AB错误，C正确； D．穿过金属板后速度减小，根据可知，洛伦兹力减小，故D错误。 故选C。 例3.如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，一带电粒子从轴上的点以速度射入第一象限内，速度方向与轴正方向成角，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知，不计粒子重力。求： (1)判断粒子的电性； (2)粒子的比荷； (3)粒子从点运动到点的时间。 【答案】(1)粒子带负电 (2) (3) 【详解】（1）根据左手定则可知，粒子带负电。 （2）粒子做匀速圆周运动，作出轨迹如图所示 设粒子的质量为，电荷量为，运动轨迹的半径为，根据几何知识有 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 （3）粒子做匀速圆周运动的周期为 结合上述解得 由几何知识可得 则有 解得 例4.如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电的粒子垂直于磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直磁场边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间； (2)若粒子恰好未从EF边界射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若恰好能垂直边界EF射出磁场，其运动轨迹如图所示。 由数学知识可得，粒子运动半径 由洛伦兹力提供向心力得 解得 粒子运动周期 由图知粒子的偏转角为 又 联立解得粒子在磁场中的运动时间 （2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF相切，粒子运动的轨迹如图所示。 由几何关系得 所以 由洛伦兹力提供向心力得 所以 由图知粒子的偏转角为 故得粒子在磁场中的运动时间 考点分析 4.带电粒子在组合场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．分析思路 1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图． 2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． 3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理． 3．常见粒子的运动及解题方法 1）处于电场中 ①匀变速直线运动：利用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理求解 ②类平抛（斜抛）运动：利用运动的分解、功能关系求解 2）处于磁场中 ①匀速直线运动“运动运动学公式求解 ②匀速圆周运动：利用集合知识、圆周运动、牛顿第二定理求解 ③螺旋运动：分解成直线运动和匀速圆周运动求解 4.解题思路 1）先读图：看清并且明白场的变化情况 2）受力分析：分析粒子在不同的变化场区的受力情况 3）过程分析：分析粒子在不同时间段内的运动情况 4）找衔接点：找出衔接点相邻两过程的物理量 5）选规律：联立不同阶段的方程求解 典例分析 例1.如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第二、三象限有沿轴正方向的匀强电场，第一、四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为、带电荷量为的粒子从轴上的点，以速度平行于轴正向开始运动，粒子第一次进入磁场时恰好经过轴上的点。已知点坐标为，点坐标为，不计粒子重力。 (1)求匀强电场场强的大小； (2)求粒子刚进入磁场时的速度大小； (3)如果粒子第一次经过轴后能再次经过点，求磁感应强度的大小。 【答案】(1)E= (2)v= (3) 【详解】（1）设匀强电场场强为E，粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，则有qE=ma 从P点第一次到达M点经过的时间为t，做类平抛运动，则有3d=v0t，2d= 联立解得E= （2）设粒子第一次到达M点时速度为v，方向与y轴正方向夹角为θ，到达M点时速度竖直分量vy=v0 速度水平分量vx，则有 解得vx= 粒子在M点速度v= （3）由几何关系可知 设磁感应强度为B，粒子在磁场中的轨迹轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB= ①若粒子再次经过M点时，从电场进入磁场，则粒子在磁场中进入电场时，必然再次经过P点，由几何关系有2×3d=2Rsinθ 解得B= ②若粒子再次经过M点时，从磁场进入电场，每完成一个周期性运动，轨迹沿y轴平移距离为Δy=2×3d-2Rsinθ 则有n·Δy=2Rsinθ（n=1、2、3……） 联立解得B=（n=1、2、3……） 综上所述粒子第一次经过轴后能再次经过点磁感应强度的大小 例2.真空中的平面直角坐标系xOy的第一象限内存在沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，其余象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。如图所示，一质量为m、电荷量为（）的带电粒子，从y轴上的P点以一定的速度平行于x轴射入第一象限，然后从x轴上的Q点进入磁场，恰好能回到P点。已知，，不计粒子受到的重力。求： (1)粒子射入匀强电场时的初动能； (2)粒子回到P点时的速度大小v； (3)匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设带电粒子射入匀强电场时的初速度大小为，带电粒子从P点运动到Q点所用的时间为t，则有， 粒子射入匀强电场时的初动能为 解得 （2）设粒子在Q点时的速度方向与x轴的夹角为θ，此时位移与x轴的夹角为α，如图所示 根据几何关系，则有，， 解得 （3）由于粒子回到P点时速度方向与y轴正方向所成的角一定为钝角，粒子轨迹的圆心一定位于第三象限，图中β与θ互余，则有， 根据牛顿第二定律 解得 考点分析 在于 5.带电粒子在叠加场中的运动 1.磁场力、重力并存 1）若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒. 2.电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) 1）若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解. 3.电场力、磁场力、重力并存 1）若三力平衡,带电体做匀速直线运动. 2）若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动. 3）若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解. 注意：1）带电粒子在复合场中做直线运动 ①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解.   ②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解. 2）带电粒子在复合场中做曲线运动   ①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解.   ②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解. 典例分析 例1.如图所示，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直（平行纸面）向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动。若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内（　　） A．小球的动能减小 B．小球的电势能减小 C．小球的重力势能增大 D．小球的机械能增大 【答案】A 【详解】带负电的小球在电磁场中做直线运动，小球共受到三个力作用：向下的重力G、向上的电场力F、向下的洛伦兹力f，这三个力都在竖直方向上，小球在水平直线上运动，所以小球受到的合力一定是零，小球做匀速直线运动。当小球的入射速度增大时，洛伦兹力增大，则电场力和重力不变，小球将向下偏转，电场力与重力的合力向上，且它们的合力对小球做负功，小球动能减小； 电场力对小球做负功，小球的机械能减小，电势能增大； 重力对小球做正功，重力势能减小。 故选A。 例2.如图所示，足够长的粗糙绝缘挡板竖直固定，左侧空间存在磁感应强度大小为B、方向水平向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为的滑块（可视为质点）紧贴挡板从某点由静止释放，当滑块下滑高度h时开始做匀速运动，若滑块与挡板间的动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度为g，运动过程中滑块电荷量不变，求： (1)滑块速度为v时的加速度大小； (2)滑块由静止开始下滑h的过程中克服摩擦力做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，对滑块，水平方向上由平衡条件有 竖直方向上，由牛顿第二定律有 解得 （2）滑块做匀速运动时有 解得 滑块下滑的过程中，根据动能定理有 解得 例3.如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 考点分析 6. 各种科学仪器 装置 原理图 规律 速度 选择器 公式： 运动：匀速直线运动 磁流体 发电机 等离子体：高速正负粒子 公式： 电磁 流量计 公式： 流量： 霍尔 元件 公式： 电流： 电势差： 回旋加速器 1、 周期：T交流=T粒子 最大动能：由qvB＝，得Ekm＝， 由磁感应强度B和D形盒半径R决定，与加速电压无关。 质谱仪 电场加速：qU＝mv2。 匀速圆周运动：qvB＝m。 半径：r＝ 典例分析 例1.如图所示的平行板器件中，电场强度和磁感应强度相互垂直。的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，恰能沿虚线通过。则（　　） A．的粒子以速度从右侧沿水平方向进入，能沿虚线通过 B．的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，不能沿虚线通过 C．的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，能沿虚线通过 D．改变电场强度和磁感应强度，粒子一定不能沿虚线通过 【答案】C 【详解】A．的粒子以速度从右侧沿水平方向进入时，粒子所受的电场力和洛伦兹力方向都向下，故粒子会向下偏转，不能沿虚线通过，A错误； B．的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，电场力方向变为竖直向上，大小为 洛伦兹力方向变为竖直向下，大小为,合力还是零，故还能沿虚线通过，B错误； C．的粒子以速度从左侧沿水平方向进入，电场力方向竖直向下，大小为，洛伦兹力方向竖直向上，大小为,合力还是零，故能沿虚线通过，C正确； D．改变电场强度和磁感应强度，若仍满足，则粒子所受电场力和洛伦兹力平衡，粒子仍能沿虚线通过，D错误。 故选C。 例2.质谱仪是发现新粒子及分析同位素的重要仪器。如图为质谱仪的原理示意图，带电粒子经电场加速后再沿直线通过速度选择器，最后进入到偏转磁场并打在A点。不计带电粒子重力，关于该带电粒子在质谱仪中的运动，下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子有可能带负电 B．速度选择器中的磁场B的方向垂直纸面向里 C．仅增大偏转磁场的磁感应强度B0，带电粒子会打到A点左边 D．若增大加速电压U，要让带电粒子沿直线通过速度选择器，可减小磁感应强度B的大小 【答案】D 【详解】A．根据带电粒子在电场中的加速及磁场中的偏转，可知粒子带正电，故A错误； B．速度选择器中满足 由于电场力向右，洛伦兹力向左，根据左手定则可知磁场B的方向垂直纸面向外，故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 可得 可知增大B0，R变小，粒子打到A的右边，故C错误； D．增大加速电压会使v增大，速度选择器中要满足，故减小磁感应强度B可行，故D正确。 故选D。 例3.回旋加速器是加速带电粒子的装置。它由两个半径均为R的D形盒组成，D形盒狭缝间加周期性变化的交变电压U，交变电压的周期为T，匀强磁场垂直于D形盒向下，一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子在加速器中被加速，则下列判断正确的是（　　） A．粒子在D形盒中沿顺时针方向旋转 B．狭缝间电场的方向每经过时间T改变一次 C．粒子被加速的次数为 D．若要加速质量为2m、电荷量为+q的粒子，只需要将磁感应强度大小减为原来的一半即可 【答案】C 【详解】A．由于带电粒子带正电，由题图根据左手定则可知，粒子在D形盒中沿逆时针方向旋转，故A错误； B．交变电压的周期为T，狭缝间电场的方向每经过时间T改变2次，故B错误； C．当粒子在磁场中的轨道半径等于D形盒半径时，粒子的速度最大，动能最大，则有 设粒子被加速的次数为，根据动能定理可得 联立解得 故C正确； D．为了使粒子每次经过狭缝都能被加速度，交变电压的周期需要等于粒子在磁场中的运动周期，则有 若要加速质量为2m、电荷量为+q的粒子，只需要将磁感应强度大小变为原来的2倍即可，故D错误。 故选C。 例4.如图为磁流体发电机的示意图，两正对平行极板P、Q的间距为d，两板的面积均为S，内部充满方向与板平行、磁感应强度大小为B的匀强磁场，直流电动机M的内阻为R。现让等离子体（高温下被电离含有大量带正电和负电的离子的气体）以速度v持续垂直磁场喷入两板间。若磁流体发电机稳定发电时，电动机M正常工作，理想电流表A的示数为I。磁流体发电机的内阻只考虑充满两板间的等离子体的电阻，两板间等离子体的等效电阻为R。则下列说法正确的是（　　） A．P板为电源的正极 B．带负电的粒子在两极板间受到的洛伦兹力方向向下 C．电动机M正常工作时两端的电压为 D．电动机M正常工作时的机械功率为 【答案】D 【详解】AB．根据左手定则，带正电的离子受到的洛伦兹力向下，向下偏转，Q板带正电，Q板电势高，故AB错误； C．磁流体发电机稳定发电时，离子在电场力和洛伦兹力作用下做匀速运动，为 可得电动势为E=Bdv 由于电动机为非纯电阻电器，电动机正常工作时的电压为路端电压应该大于，故C错误； D．电动机正常工作时的机械功率为，故D正确。 故选D。 例5.电磁血流量计的原理是基于法拉第电磁感应定律，可用于心血管手术的精密监控，其原理如图所示。空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。当血液从内径为的水平血管左侧流入、右侧流出时，因为血液中含有大量的正、负离子，血管上下两侧间将形成电势差。当血液的流量（单位时间内流过血管横截面的血液体积）一定时，下列说法正确的是（    ） A．血管上侧电势低，血管下侧电势高 B．若血管内径变大，则血液流速变大 C．若血管内径变大，则变小 D．的大小与血液流速无关 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可知，正离子所受洛伦兹力向上，负离子所受洛伦兹力向下，所以，血管上侧聚集正离子，电势高，下侧聚集负离子，电势低，故A错误； B．血液的流量为 若血管内径变大，则S变大，因Q一定，则v变小，故B错误； C．稳定时，粒子所受洛伦兹力等于所受的电场力，即 得 又， 联立得 所以，若d变大，则变小，故C正确； D．在流量Q一定的条件下，根据可知若v变化，则d就变化，根据可知， 必定变化，所以与v有关，故D错误。 故选C。 巩固练习 一、单选题 1．（2025·福建莆田·三模）如图所示，粗细均匀的“L”型金属棒用绝缘细线和悬吊，静止在垂直于平面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为部分水平，长为部分竖直，长为。给金属棒通入大小为、方向从到的恒定电流，同时给金属棒施加一个外力，使金属棒仍处于原静止状态，则加在金属棒上外力的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使金属棒处于原静止状态，需要施加的最小外力等于安培力的水平分力，即 故选A。 2．（2025·河北沧州·二模）如图所示的四幅图片中：图甲是把一不计重力的通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方；图乙是电磁轨道炮的工作原理图，平行导轨水平放置于沿竖直方向的匀强磁场中，带有可导电金属架和炮弹垂直放在导轨上；图丙是当电流方向相同时，两条通电导线之间也有作用力；图丁是通电直导线置于匀强磁场中，通电导线电流方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。下列说法中正确的是（　　） A．图甲中，通电直导线受到安培力且左端向里右端向外 B．图乙中，闭合开关，金属架和炮弹一起水平向右运动，磁场方向应竖直向上 C．图丙中，当电流方向相同时，导线相互排斥，相互作用是通过磁场发生的 D．图丁中，通电直导线受到安培力且方向向上 【答案】B 【详解】A．图甲中，根据左手定则，通电直导线受到安培力且左端向外右端向里，故A错误； B．图乙中，闭合开关瞬间，金属架和炮弹一起水平向右运动，需受向右的安培力，根据左手定则可知，轨道置于沿竖直方向的匀强磁场中，磁场方向应竖直向上，故B正确； C．图丙中，当电流方向相同时，导线相互靠近，说明通电导线相互吸引，故C错误； D．图丁中，通电直导线受到安培力且方向向下，故D错误。 故选B。 3．（2025·贵州贵阳·二模）如图，方向垂直纸面向里的匀强磁场区域中有一边界截面为圆形的无场区，O为圆形边界的圆心，P、Q为边界上的两点，OP与OQ的夹角为60°。一带电粒子从P点沿垂直磁场方向射入匀强磁场区域后经过时间t从Q点第一次回到无场区，粒子在P点的速度方向与OP的夹角为20°。若磁感应强度大小为B，粒子的比荷为k，不计粒子重力，则t为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子在磁场中运动轨迹如图所示 由图结合几何关系可知，轨迹的圆心角为 根据牛顿第二定律可得 粒子在磁场中运动的周期为 所以 故选C。 4．（24-25高二下·广东·期中）我国的超高压直流输电技术全球领先。如图为我国的长江边一段南北走向的高压直流输电线，其中的电流方向从南到北，输电线笔直且与地面平行，不考虑磁偏角，则该段输电线所受地磁场所给的安培力方向为（　　） A．垂直输电线向东 B．垂直输电线向西 C．垂直输电线向上 D．垂直输电线向下 【答案】B 【详解】由于地磁场在我国地面附近方向斜向北下，由左手定则判断电线受安培力方向向西。 故选B。 5．（2025·河北石家庄·三模）回旋加速器利用高频交变电压使带电粒子在电场中不断加速。如图所示，回旋加速器两“D”型盒内存在垂直“D”型盒的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，所加速粒子的比荷为k，高频电源由LC振荡电路产生，LC振荡电路中电感线圈的自感系数为L。为使回旋加速器正常工作，LC振荡电路中的电容器的电容C为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据洛伦兹力提供向心力有 被加速粒子在磁场中的运动周期为 粒子在磁场中的运动周期等于LC振荡电路的周期，即 解得 故选A。 6．（2025·山东·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（　　）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。） A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为 B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半 C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半 D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向 【答案】D 【详解】A．题意可知最终粒子速度为0，动能定理有 解得 故A正确，不符合题意； B．根据 解得 可知当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半，故B正确，不符合题意； C．阻力产生的加速度 洛伦兹力产生的加速度 故粒子合加速度 当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半,故C正确，不符合题意； D．若没有阻力，粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期，经过时间，粒子的速度方向将沿着−y方向。由于存在阻力，粒子速度不断减小，运动轨迹不是标准的圆周，经过时间后，粒子的速度方向不会沿着+x方向，故D错误，符合题意。 故选D。 二、多选题 7．（2025·甘肃·二模）如图所示，在磁感应强度大小，方向水平向里的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，取。关于小环的运动下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小环做负功 B．小环的轨迹是抛物线 C．小环在绝缘杆上运动时间为0.2s D．小环的机械能减少 【答案】BCD 【详解】A．根据题意，洛伦兹力的方向始终与小环的运动速度方向垂直，所以洛伦兹力对小环不做功，故A错误； B．小环在水平方向随杆匀速运动，在竖直方向受重力以及向上的洛伦兹力，因水平速度v不变，则向上的洛伦兹力不变，可知小球受向下的不变的合力作用向下做匀变速直线运动，满足平抛运动条件，所以小环的轨迹是抛物线，故B正确； C．小环在竖直方向的加速度 由 解得 故C正确； D．小环在运动向下运动过程中，同时受到向右的洛伦兹力作用，由牛顿第三定律可知小环受到向左的作用力，细杆对小环向左的作用力做负功，洛伦兹力不做功，重力做正功，机械能不守恒，且小环的机械能减少，故D正确。 故选BCD。 8．（2025·四川宜宾·三模）水平地面上方足够大的空间存在水平方向上相互正交的匀强电场和匀强磁场，如图所示。一质量kg，带电量C的物体从A点由静止释放，释放后经时间s，恰好从B点离开地面。已知电场强度N/C，磁感应强度T，物体与地面的动摩擦因数。物体可视为质点，重力加速度m/s²，则（　　） A．物体从A运动到B做加速度增大的加速直线运动 B．物体运动到B点的速度大小为6m/s C．A、B之间的距离m D．从B点离开地面后，再经过秒后，物体距离地面的高度为米 【答案】AD 【详解】A．物体从A运动到B的过程中受力分析，可知物体受重力、电场力、洛伦兹力、摩擦力，水平方向有 竖直方向有 随着速度增大，加速度逐渐增大，故A正确； B．从B点离开地面，则有 解得 故B错误； C．物体从A运动到B的过程中，根据动量定理有 其中 解得m 故C错误； D．粒子离开地面时，恰好受重力、电场力、洛伦兹力作用，且大小分别为N，N，N 根据配速法，如图 其中 解得 与水平方向的夹角满足 可分解为方向的匀速直线运动及向下的作用下的匀速圆周运动，粒子在磁场中运动的周期为 经过秒后，做圆周运动的分运动在竖直方向无位移，则物体距离地面的高度为米 故D正确； 故选AD。 9．（2025·山西大同·三模）如图所示，圆柱形磁铁N极朝上竖直固定，半径为r、质量为m的通电圆环水平静止在磁铁的正上方，圆环圆心在磁铁的竖直轴线上，圆环中的电流大小恒为I，圆环上每一极小段导线上安培力的竖直分量与水平分量相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．圆环有收缩趋势 B．俯视看圆环中电流沿逆时针方向 C．圆环处磁场磁感应强度大小为 D．圆环处磁场方向与竖直方向夹角为30° 【答案】AC 【详解】B．环形电流相当于小磁针而且其N极向下，根据安培定则可知，俯视看电流方向沿顺时针方向，B错误； A．因安培力的水平分量指向圆心，故圆环有收缩趋势，A正确； D．设圆环处磁感应强度大小为B，与竖直方向的夹角为，则水平分量为，竖直分量为，根据题意有 解得 D错误； C．安培力竖直向上的分量大小等于圆环重力，有 解得 C正确． 故选AC。 三、解答题 10．（2025·四川南充·三模）如图所示，光滑绝缘的水平桌面离地面高为，桌面边缘处静止放置一个质量为、电荷量为的小球，桌面边缘右侧有竖直向上的匀强电场和水平向外的匀强磁场，场强、磁感应强度为。桌面上有另一质量也为的绝缘球以速度与小球发生弹性正碰（Q的电荷量不变），碰后小球进入复合场区域，运动过程忽略空气阻力且不考虑运动电荷对电场、磁场的影响，小球触地不反弹，重力加速度为。求： (1)碰后瞬间小球的速度大小； (2)小球在复合场中的运动时间和小球落地时两球的距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据题意可知，两球发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， （2）小球在复合场中的运动过程中，对小球受力分析，受竖直向上的电场力、竖直向下的重力和洛伦兹力，由于 则小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则有 解得 画出小球的运动轨迹，如图所示 由几何关系有 解得 小球在复合场中的运动时间 由几何关系可得，小球落地时两球的距离 11．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示的装置，从灯丝K发出连续电子流，经过的电压加速后，从小孔S垂直进入垂直于纸面向外的匀强磁场中，电子偏转后都能打在荧光屏EF上发出荧光，EF与加速电极CD在同一条直线上。若电子在加速电场中运动的时间极短，电子离开灯丝时的初速度可认为是零，电子带电荷量为e，质量为m。已知EF上发出荧光部分的长度为L，求： (1)到达小孔S处电子的速度大小的区间范围； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在加速电场中运动的时间极短，可以认为被恒压电场加速，设在加速电压u作用后，获得的速度大小为v，有    解得 由表达式，可知加速电压的范围为 可得 （2）电子进入偏转磁场，由洛伦兹力提供向心力，有 可得 电子打在荧光屏上的位置到小孔S的距离 EF上发出荧光部分的长度   解得 轻松学物理 1 学科网（北京）股份有限公司 $$