3.6 直线和圆的位置关系 第2课时 课件-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第三章　圆 6　直线和圆的位置关系 第2课时　直线和圆的位置关系（2） 1 　切线的判定 过半径外端且① 于这条半径的直线是圆的切线. 【例1】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　D　）. A. 与圆有公共点的直线 B. 经过半径外端的直线 C. 垂直于圆的半径的直线 D. 与圆心的距离等于半径的直线 垂直 D A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 下列四个选项中的表述，一定正确的是（　C　）. C 　切线的证明技巧 （1）有交点，连半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径. 【例2】如图，AB为☉O的直径，点C在☉O上，∠CAB＝30°，直线CE 与直径AB的延长线交于点D，CA＝CD. 求证：CE是☉O的切线. 证明：∵∠CAB＝30°，CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAB＝30°. 如图，连接OC， ∴∠BOC＝2∠CAB＝60°， ∴∠BOC＋∠CDA＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥CE. ∵点C在☉O上， ∴CE是☉O的切线. （2024·罗湖区模拟）如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点， D为AC的中点，过C作☉O的切线交OD的延长线于点E，交AB的延长线 于点F，连接EA. （1）求证：EA与☉O相切； 证明：如图，连接OC， ∵EF为切线， ∴∠OCE＝90°. ∵D为AC的中点， ∴OE⊥AC， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠EAC. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠OAC＋∠EAC＝∠OCA＋∠ECA＝90°， 即∠EAO＝90°， ∴EA为☉O的切线. （2）若CE＝3，CF＝2，求☉O的半径. 解：如图，连接BC，∵AB为直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠CAB＋∠CBA＝90°. ∵EF为切线， ∴∠BCF＋∠BCO＝90°， 且∠BCO＝∠CBA， ∴∠BCF＝∠CAF， ∴△BCF∽△CAF， ∴ ＝ . 由（1）知EA为☉O切线， 则EA＝EC＝3，EF＝EC＋FC＝5， 在Rt△AEF中，AF＝ ＝4， ∴ ＝ ，解得BF＝1， ∴AB＝AF－BF＝3， ∴☉O的半径为 . 　切线的判定与性质的综合应用 【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作☉O，交BC边于 点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E. （1）求证：DE是☉O的切线； 证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝60°. ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°.∴∠EDC＝30°. ∴∠ODE＝90°.∴DE⊥OD. ∵点D在☉O上，∴DE是☉O的切线. （2）若△ABC的边长为4，求EF的长度. 解：如图2，连接AD，BF. ∵AB为☉O的直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°.∴AF⊥BF，AD⊥BD. ∵△ABC是等边三角形， ∴DC＝ BC＝2，FC＝ AC＝2. ∵∠EDC＝30°， ∴EC＝ DC＝1.∴EF＝FC－EC＝2－1＝1. 如图，∠B＝∠D＝90°，∠1＝∠2，AB与CD交于点O，以O 为圆心，OB长为半径作圆. （1）证明：AC是☉O的切线； 证明：过点O作OE⊥AC，垂足为点E， ∴∠OEC＝∠OEA＝90°. ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠OEC＝90°. 在△BOC和△EOC中， ∴△BOC≌△EOC（AAS）， ∴OB＝OE. ∵OB为半径， ∴OE为半径. 又∵OE⊥AC， ∴AC是☉O的切线. （2）已知BC＝3，AB＝4，求OC的长. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC＝ ＝ ＝5， 设☉O的半径为r，则OB＝OE＝r， ∴OA＝AB－OB＝4－r. 由（1）得△BOC≌△EOC， ∴BC＝CE＝3， ∴AE＝AC－CE＝5－3＝2. 在Rt△OAE中，由勾股定理，得OE2＋AE2＝OA2， 即r2＋22＝（4－r）2，解得r＝ . 在Rt△OBC中，由勾股定理，得 OC2＝OB2＋BC2＝（ ）2＋32＝ ， ∴OC＝ . 　三角形的内切圆与内心 1. 三角形的内切圆：与三角形的三边都② 的圆是三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心是三角形的三条③ 的交点，叫做三角形的内心. 【例4】在△ABC中，∠A＝50°，点I是△ABC的内心，则∠BIC ＝ ，若点O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ⁠. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，I为△ABC的内 心，IE⊥AB于E，则IE＝ ，AE＝ ，BI＝ ⁠. 相切 角平分线 115° 100° 1 2 ​ 1. 下列说法中正确的是（　B　）. A. 与圆有公共点的直线是圆的切线 B. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D. 经过圆的半径的外端点的直线是圆的切线 B 2. 如图，AB是☉O的弦，BC是过点B的直线，∠AOB＝130°，当∠ABC 的度数为 时，BC是☉O的切线. 65° 3. （2024·深圳模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上 一点，以CD为直径的☉O与边AC交于点E，连接BE，AB＝BE. （1）求证：BE是☉O的切线； 证明：如图，连接OE， ∵AB＝BE， ∴∠A＝∠AEB. ∵OE＝OC， ∴∠C＝∠OEC. ∵∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠AEB＋∠CEO＝90°， ∴∠BEO＝90°. ∵OE是☉O的半径， ∴BE是☉O的切线. （2）若tan∠ACB＝ ，☉O的直径为4，求BD的长. 解：如图，连接DE，∵CD为☉O的直径， ∴∠CED＝90°. 由（1）知，∠BEO＝90°， ∴∠BED＝∠CEO＝∠C. ∵∠EBD＝∠CBE， ∴△BDE∽△BEC， ∴ ＝ . ∵tan∠ACB＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ . 设BD＝x，BE＝2x， ∴AB＝2x， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝ ＝ ， 解得x＝ ，故BD的长为 . 4. 如图，AB是☉O的直径，C，D都是☉O上的点，且AD平分∠CAB，过 点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. （1）求证：EF是☉O的切线； 证明：如图，连接OD，∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠EAD. ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠EAD， ∴OD∥AE. ∴∠ODF＝∠AEF＝90°. ∵D在☉O上， ∴EF是☉O的切线. （2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长. 解：如图，连接BC交OD于点H，∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵AB＝13，AC＝5， ∴BC＝ ＝ ＝12. ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴BC∥EF， ∴∠OHB＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥BC， ∴CH＝ BC＝6. ∵CH＝BH，OA＝OB， ∴OH是△ABC的中位线， ∴OH＝ AC＝2.5， ∴DH＝6.5－2.5＝4. ∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°， ∴四边形ECHD是矩形， ∴CE＝DH＝4. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为 AB上的一点，DE＝DC，以点D为圆心，DB长为半径作☉D，AB＝5， EB＝3. （1）求证：AC是☉D的切线； 证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F，∵AB为☉D的切线， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF， ∴AC是☉D的切线. （2）求线段AC的长. 解：在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵DE＝DC，BD＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴EB＝FC. 在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵AD＝AD，BD＝FD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴AB＝AF， ∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC， ∴AC＝5＋3＝8. 参考答案 【新课导学】 ①垂直　【例1】　D　对点训练1　C 【例2】　证明：∵∠CAB＝30°，CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAB＝30°. 如图，连接OC， ∴∠BOC＝2∠CAB＝60°， ∴∠BOC＋∠CDA＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥CE. ∵点C在☉O上， ∴CE是☉O的切线. 对点训练2　（1）证明：如图，连接OC， ∵EF为切线， ∴∠OCE＝90°. ∵D为AC的中点， ∴OE⊥AC， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠EAC. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠OAC＋∠EAC＝∠OCA＋∠ECA＝90°， 即∠EAO＝90°， ∴EA为☉O的切线. （2）解：如图，连接BC，∵AB为直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠CAB＋∠CBA＝90°. ∵EF为切线， ∴∠BCF＋∠BCO＝90°， 且∠BCO＝∠CBA， ∴∠BCF＝∠CAF， ∴△BCF∽△CAF， ∴ ＝ . 由（1）知EA为☉O切线， 则EA＝EC＝3，EF＝EC＋FC＝5， 在Rt△AEF中，AF＝ ＝4， ∴ ＝ ，解得BF＝1， ∴AB＝AF－BF＝3， ∴☉O的半径为 . 【例3】　（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝60°. ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°.∴∠EDC＝30°.∴∠ODE＝90°.∴DE⊥OD. ∵点D在☉O上， ∴DE是☉O的切线. （2）解：如图2，连接AD，BF. ∵AB为☉O的直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝ 90°.∴AF⊥BF，AD⊥BD. ∵△ABC是等边三角形， ∴DC＝ BC＝2，FC＝ AC＝2. ∵∠EDC＝30°， ∴EC＝ DC＝1.∴EF＝FC－EC ＝2－1＝1. 对点训练3　（1）证明：过点O作OE⊥AC，垂足为点E， ∴∠OEC＝∠OEA＝90°. ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠OEC＝90°. 在△BOC和△EOC中， ∴△BOC≌△EOC（AAS）， ∴OB＝OE. ∵OB为半径， ∴OE为半径. 又∵OE⊥AC， ∴AC是☉O的切线. （2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC＝ ＝ ＝5， 设☉O的半径为r，则OB＝OE＝r， ∴OA＝AB－OB＝4－r. 由（1）得△BOC≌△EOC， ∴BC＝CE＝3， ∴AE＝AC－CE＝5－3＝2. 在Rt△OAE中，由勾股定理，得OE2＋AE2＝OA2， 即r2＋22＝（4－r）2，解得r＝ . 在Rt△OBC中，由勾股定理，得 OC2＝OB2＋BC2＝（ ）2＋32＝ ， ∴OC＝ . 知识点4　②相切　③角平分线 【例4】　115°　100°　对点训练4　1　2　 【课堂通关】 1. B　2.65° ∴∠AEB＋∠CEO＝90°， ∴∠BEO＝90°. ∵OE是☉O的半径， ∴BE是☉O的切线. 3. （1）证明：如图，连接OE， ∵AB＝BE， ∴∠A＝∠AEB. ∵OE＝OC， ∴∠C＝∠OEC. ∵∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠C＝90°， （2）解：如图，连接DE，∵CD为☉O的直径， ∴∠CED＝90°. 由（1）知，∠BEO＝90°， ∴∠BED＝∠CEO＝∠C. ∵∠EBD＝∠CBE， ∴△BDE∽△BEC， ∴ ＝ . ∵tan∠ACB＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ . 设BD＝x，BE＝2x， ∴AB＝2x， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝ ＝ ， 解得x＝ ，故BD的长为 . 4. （1）证明：如图，连接OD，∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠EAD. ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠EAD， ∴OD∥AE. ∴∠ODF＝∠AEF＝90°. ∵D在☉O上， ∴EF是☉O的切线. （2）解：如图，连接BC交OD于点H，∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵AB＝13，AC＝5， ∴BC＝ ＝ ＝12. ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴BC∥EF， ∴∠OHB＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥BC， ∴CH＝ BC＝6. ∵CH＝BH，OA＝OB， ∴OH是△ABC的中位线， ∴OH＝ AC＝2.5， ∴DH＝6.5－2.5＝4. ∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°， ∴四边形ECHD是矩形， ∴CE＝DH＝4. 5. （1）证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F，∵AB为☉D的切线， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF， ∴AC是☉D的切线. （2）解：在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵DE＝DC，BD＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴EB＝FC. 在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵AD＝AD，BD＝FD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴AB＝AF， ∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC， ∴AC＝5＋3＝8. $$