3.4圆周角和圆心角的关系第2课时课件-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章　圆 4　圆周角和圆心角的关系 第2课时　圆周角和圆心角的关系（2） 1 　圆周角定理的推论 直径所对的圆周角是① ，90°的圆周角所对的弦是② ⁠. 【例1】如图，☉O的直径是AB，∠BPQ＝45°，圆的半径是4，则弦BQ的 长是（　B　）. 直角 直径 B A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 （2024春·罗湖区校级月考）如图，点C在以AB为直径的圆上， 则BC＝（　B　）. A. AB· sin B B. AB· cos B C. D. B 　圆内接四边形 圆内接四边形的概念：如果一个多边形的所有③ 都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的④ .圆 内接四边形的对角⑤ ⁠. 顶点 外接圆 互补 （1）求证：∠B＝2∠ACD； 证明：∵D为 的中点， ∴ ＝ ， ＝2 ， ∴∠B＝2∠ACD. 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，D为 的 中点，E为BA延长线上一点. 解：∵∠ACD＝35°，∠B＝2∠ACD， ∴∠B＝2×35°＝70°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∴∠BCD＝70°＋35°＝105°. ∵四边形ABCD为☉O的内接四边形， ∴∠BAD＝180°－∠BCD＝75°， ∴∠EAD＝180°－75°＝105°. （2）若∠ACD＝35°，求∠EAD的度数. （2023·光明区一模）如图，以△ABC的边AB为直径作☉O交AC 于点D且OD∥BC，☉O交BC于点E，连接DE. （1）求证：CD＝DE； 证明：∵四边形ABED内接于☉O， ∴∠DEB＋∠A＝180°.又∠DEB＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠A. ∵OD∥BC，∴∠C＝∠ADO. ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO， ∴∠C＝∠DEC， ∴CD＝DE. （2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长度. 解：如图所示，连接AE， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠CAE＋∠C＝90°，∠AED＋∠DEC＝90°.由（1）知CD＝DE， ∴∠C＝∠DEC， ∴∠CAE＝∠AED， ∴AD＝DE， ∴AD＝DC， ∴AC＝2AD＝8.由（1）可得∠BAC＝∠ADO，∠C＝∠ADO， ∴∠C＝∠BAC， ∴AB＝BC＝12.设CE＝x，则BE＝12－x，∵AC2－CE2＝AB2－BE2， ∴82－x2＝122－（12－x）2，解得x＝ ， ∴CE＝ . 　圆中垂径定理与圆周角定理的综合应用 【例3】如图，AB为☉O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点 D为 的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交☉O于点F，AC与 DF交于点G. （1）若点C为 的中点，求∠AGF的度数； 解：（1）∵AB为☉O的直径，D为 的中点， ∴ ， ∴∠BAC＝30°. ∵DE⊥AB， ∴∠AEG＝90°， ∴∠AGF＝90°－30°＝60°. （2）若AC＝12，AE＝3，求☉O的半径. 解：（2）如图，连接OF. ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF， . ∵点D是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴AC＝DF＝12， ∴EF＝ DF＝6.设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，OF2＝EF2＋OE2，即x2 ＝62＋（x－3）2，解得x＝7.5， ∴☉O的半径是7.5. 如图，AB为圆O的直径，AE为圆O的弦，C为圆O上一点， ＝ ，CD⊥AB，垂足为D. （1）连接CO，判断CO与AE的位置关系，并说明理由； 解：（1）CO⊥AE，理由如下：如图，延长CO交AE于点M， ∵ ，OC为☉O的半径， ∴AM＝EM， ∴CM⊥AE，即CO⊥AE. （2）若AE＝8，BD＝2，求圆O的半径. 解：（2）设OA＝OB＝OC＝r，∵CM⊥AE，CD⊥AB，AE＝8， ∴∠AMO＝∠CDO＝90°，AM＝EM＝4.在△AMO与△CDO中， ∴△AMO≌△CDO（AAS）， ∴OM＝OD. ∵BD＝2， ∴OM＝OD＝r－2. ∵OM2＋AM2＝OA2， ∴（r－2）2＋42＝r2，解得r＝5，即☉O的半径为5. 1. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD的 大小是 ⁠. 130° 2. （2024·宝安区三模）如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，若 ∠ADC＝32°，则∠BAC＝ ⁠°. 58 3. （2024·深圳模拟）如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上的 一点，若∠A＝102°，则∠DCE的度数为 ⁠. 102° 4. 如图，以△ABC的边AB为直径作☉O，分别交AC，BC于点D，E，若 ∠C＝60°，AC＝6，则CE的长为 ⁠. 3 5. （2024春·龙华区月考）如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两 点，且OD∥BC，连接AC和BD. 下列四个结论中： ① ＝ ； ②OD垂直平分AC； ③BD＝AC； ④∠AOD＝2∠DBC. 所有正确结论的序号是 ⁠. ①②④ 6. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高.求证：∠BAO＝ ∠CAD. 证明：如图，作直径AE，连接BE，则∠ADC＝∠ABE＝90°，∠C＝ ∠E， ∴∠BAE＝∠CAD. 7. 如图，AB为☉O的直径，AC为弦， ＝ ，AM⊥CD于点M， BN⊥CD于点N. （1）求证：AM＝DN； 证明：如图，连接AD，BD，∵ ＝ ， ∴AD＝BD. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADM＋∠BDN＝90°.又∠BDN＋∠DBN＝90°， ∴∠ADM＝∠DBN. ∵∠AMD＝∠DNB＝90°， ∴△AMD≌△DNB， ∴AM＝DN. （2）若AB＝10，AM∶BN＝3∶4，求CD的长. 解：如图，连接BC，∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵ ＝ ， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴AM＝CM＝DN. 由（1）知DM＝BN， ∴DN∶BN＝3∶4. ∵BD＝ AB＝5 ， ∴DN＝3 ，BN＝4 ， ∴CD＝CM＋DM＝DN＋BN＝7 . 8. 如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分 ∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连接BD，CD. （1）求证：DB＝DE； 证明：由圆周角定理可得，∠CAD＝∠CBD， ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE. ∴DB＝DE. （2）若AB＝2 ，BE＝2 ，求BC的长. 解：如图，连接OC，OD，OD交BC于点F，由圆周角定理可得∠BAD＝ ∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， ∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD. ∴BD＝DC. ∵OB＝OC， ∴OD垂直平分BC. ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°。∵BD＝ED， ∴△BDE是等腰直角三角形. ∵BE＝2 ，BE2＝BD2＋ED2＝2BD2， ∴BD＝2. ∵AB＝2 ， ∴OB＝OD＝ .由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2，解得AD＝4（负根已经 舍去）.设OF＝t，则DF＝ －t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2－OF2 ＝BD2－DF2＝BF2，即（ ）2－t2＝22－（ －t）2，解得t＝ ，即 OF＝ ， ∴BF＝ ＝ ＝ . ∴BC＝2BF＝ . 参考答案 【新课导学】 ①直角　②直径　【例1】　B　对点训练1　B ③顶点　④外接圆　⑤互补 【例2】　（1）证明：∵D为的中点， ∴，＝2， ∴∠B＝2∠ACD. （2）解：∵∠ACD＝35°，∠B＝2∠ACD， ∴∠B＝2×35°＝70°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∴∠BCD＝70°＋35°＝105°. ∵四边形ABCD为☉O的内接四边形， ∴∠BAD＝180°－∠BCD＝75°， ∴∠EAD＝180°－75°＝105°. 对点训练2　（1）证明：∵四边形ABED内接于☉O， ∴∠DEB＋∠A＝180°.又∠DEB＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠A. ∵OD∥BC， ∴∠C＝∠ADO. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠C＝∠DEC， ∴CD＝DE. （2）解：如图所示，连接AE， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠CAE＋∠C＝90°，∠AED＋∠DEC＝90°.由（1）知CD＝DE， ∴∠C＝∠DEC，∴∠CAE＝∠AED， ∴AD＝DE，∴AD＝DC， ∴AC＝2AD＝8.由（1）可得∠BAC＝∠ADO，∠C＝∠ADO， ∴∠C＝∠BAC， ∴AB＝BC＝12.设CE＝x，则BE＝12－x，∵AC2－CE2 ＝AB2－BE2， ∴82－x2＝122－（12－x）2，解得x＝ ，∴CE＝ . 【例3】　解：（1）∵AB为☉O的直径，D为 的中点， C为 的中点， ∴ ＝ ＝ ， ∴∠BAC＝30°. ∵DE⊥AB， ∴∠AEG＝90°， ∴∠AGF＝90°－30°＝60°. （2）如图，连接OF. ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF， ＝ . ∵点D是 的中点， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AC＝DF＝12， ∴EF＝ DF＝6.设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，OF2＝EF2＋OE2，即 x2＝62＋（x－3）2，解得x＝7.5， ∴☉O的半径是7.5. 对点训练3　解：（1）CO⊥AE，理由如下：如图，延长CO交AE于点 M，∵ ＝ ，OC为☉O的半径， ∴AM＝EM， ∴CM⊥AE，即CO⊥AE. （2）设OA＝OB＝OC＝r，∵CM⊥AE，CD⊥AB，AE＝8， ∴∠AMO＝∠CDO＝90°，AM＝EM＝4.在△AMO与△CDO中， ∴△AMO≌△CDO（AAS）， ∴OM＝OD. ∵BD＝2， ∴OM＝OD＝r－2. ∵OM2＋AM2＝OA2， ∴（r－2）2＋42＝r2，解得r＝5，即☉O的半径为5. 【课堂通关】 1.130°　2.58　3.102°　4.3　5.①②④ 6. 证明：如图，作直径AE，连接BE，则∠ADC＝∠ABE＝90°， ∠C＝∠E， ∴∠BAE＝∠CAD. 7. （1）证明：如图，连接AD，BD，∵ ＝ ， ∴AD＝BD. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADM＋∠BDN＝90°.又∠BDN＋∠DBN＝90°， ∴∠ADM＝∠DBN. ∵∠AMD＝∠DNB＝90°， ∴△AMD≌△DNB， ∴AM＝DN. （2）解：如图，连接BC，∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵ ＝ ， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴AM＝CM＝DN. 由（1）知DM＝BN， ∴DN∶BN＝3∶4. ∵BD＝ AB＝5 ， ∴DN＝3 ，BN＝4 ， ∴CD＝CM＋DM＝DN＋BN＝7 . 8. （1）证明：由圆周角定理可得，∠CAD＝∠CBD，∵AE平分∠BAC， BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE. ∴DB＝DE. （2）解：如图，连接OC，OD，OD交BC于点F，由圆周角定理可得 ∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， ∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD. ∴BD＝DC. ∵OB＝OC， ∴OD垂直平分BC. ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°。∵BD＝ED， ∴△BDE是等腰直角三角形. ∵BE＝2 ，BE2＝BD2＋ED2＝2BD2， ∴BD＝2. ∵AB＝2 ， ∴OB＝OD＝ .由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2，解得AD＝4（负根已经 舍去）.设OF＝t，则DF＝ －t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2－ OF2＝BD2－DF2＝BF2，即（ ）2－t2＝22－（ －t）2，解得t＝ ， 即OF＝ ， ∴BF＝ ＝ ＝ . ∴BC＝2BF＝ . $$