2.5二次函数与一元二次方程的关系第2课时 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程的关系 第2课时　二次函数与一元二次方程的关系（2） 1 　用图象法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的步骤： （1）作二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，由图象确定交点个数， 即方程解的个数； （2）确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的取值范围，即确定 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索，即在（2）确定的范围 内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值. （4）确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似根，在（3）中 最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的 近似根. 【例1】下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判 断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 （　C　）. x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04 C A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的变量x，y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －11 －5 －1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解x1的范围是 （　C　）. C A. －3＜x1＜－2 B. －2＜x1＜－1 C. －1＜x1＜0 D. 0＜x1＜1 　二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 （a≠0）及ax2＋bx＋c＜0（a≠0）之间的关系如下（x1＜x2）： 函数 图象 a＞0 a＜0 不等 式 ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c ＜0 ax2＋bx＋c ＞0 ax2＋bx＋c ＜0 解集 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＜x1或x＞ x2 【例2】二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝mx＋n的图象如图所示， 则满足ax2＋bx＋c＜mx＋n的x的取值范围是（　B　）. B A. －3＜x＜0 B. x＜－3或x＞0 C. x＜－3或x＞1 D. 0＜x＜3 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2 （x1＜x2），关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）.则下 列结论正确的是（　B　）. A. x3＜x1＜x2＜x4 B. x1＜x3＜x4＜x2 C. x1＜x2＜x3＜x4 D. x3＜x4＜x1＜x2 B 1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y －5.6 －3.1 －1.5 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线x＝2，则ax2＋bx＋c＝0的较大的根的范围是 （　C　）. A. 0.11＜x＜0.12 B. 0.12＜x＜0.13 C. 3.87＜x＜3.88 D. 3.88＜x＜3.89 C 2. （2024·罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个 交点坐标分别为A（－2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2－bx－c＝ 0的解为 ⁠. x1＝－2，x2＝1 3. 如图，以（－1，4）为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴正半 轴交于点P，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的负实数根的取值范围是 （　C　）. A. －2＜x＜－1 B. －3＜x＜－2 C. －5＜x＜－4 D. －6＜x＜－5 C 4. 在同一平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax2＋bx与直线y2＝2x如图所示， 那么不等式ax2＋bx＞2x的解集是（　B　）. A. x＜0 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x＜0或x＞2 B 5. （2024秋·深圳校级月考）已知二次函数y＝x2－4x＋3. （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 解：（1）当x＝3时，y＝x2－4x＋3＝0； 当x＝4时，y＝x2－4x＋3＝3. 补全表格如下. 画图如图. x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … （2）当x 时，y随x的增大而减小； 解：（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小.故答案为＜2. （3）当y＞0时，x的取值范围是 ⁠； 解：（3）抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），当y＞0时，x的 取值范围是x＜1或x＞3.故答案为x＜1或x＞3. ＜2 x＜1或x＞3 （4）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ⁠. 解：（4）当x＝0时，y＝3； 当x＝2时，y有最小值为－1，当x＝3时，y＝0， ∴当0≤x＜3时，y的取值范围是－1≤y≤3. 故答案为－1≤y≤3. －1≤y≤3 6. （2023·宝安区11校联考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定 函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习 过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象. 同时，我们也学习了绝对值的意义｜a｜＝ 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y＝｜kx－3｜＋b中，当x ＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1. （1）求这个函数的表达式； 解：（1）∵在函数y＝｜kx－3｜＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时， y＝－1， ∴ 解得 ∴这个函数的表达式为y＝ －4. （2）在如图所示的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的 图象，并写出这个函数的一条性质； 性质：当x＞2时，y的值随x值的增大 而增大（合理即可）. 解：（2）∵y＝ －4， ∴y＝ ∴函数y＝ x－7过点（2，－4）和（4，－1）， 函数y＝－ x－1过点（0，－1）和（－2，2），该函数图象如图所示. （3）已知函数y＝ x－3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写 出不等式｜kx－3｜＋b≤ x－3的解集； 解：（3）由函数的图象可得，不等式｜kx－3｜＋b≤ x－3的解集为 1≤x≤4. 由图象可知，要使方程｜x2－6x｜－a＝0有四个不相等的实数根，则0＜a＜9， 故答案为0＜a＜9. （4）若方程｜x2－6x｜－a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范 围是 ⁠. 解：（4）由｜x2－6x｜－a＝0得a ＝｜x2－6x｜，作出y＝｜x2－6x｜的 图象，如图所示. 0＜a＜9 参考答案 【新课导学】 【例1】　C　对点训练1　C　【例2】　B　对点训练2　B 【课堂通关】 1. C　2.x1＝－2，x2＝1　3.C　4.B 5. 解：（1）当x＝3时，y＝x2－4x＋3＝0； 当x＝4时，y＝x2－4x＋3＝3. 补全表格如下. x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 画图如图. （2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小.故答案为＜2. （3）抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值 范围是x＜1或x＞3.故答案为x＜1或x＞3. （4）当x＝0时，y＝3； 当x＝2时，y有最小值为－1，当x＝3时，y＝0， ∴当0≤x＜3时，y的取值范围是－1≤y≤3. 故答案为－1≤y≤3. 6. 解：（1）∵在函数y＝｜kx－3｜＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0 时，y＝－1， ∴ 解得 ∴这个函数的表达式为y＝ －4. （2）∵y＝ －4， ∴y＝ ∴函数y ＝ x－7过点（2，－4）和（4，－ 1），函数y＝－ x－1过点（0，－ 1）和（－2，2），该函数图象如图 所示. 性质：当x＞2时，y的值随x值的增大而增大（合理即可）. （3）由函数的图象可得，不等式｜kx－3｜＋b≤ x－3的解集为1≤x≤4. （4）由｜x2－6x｜－a＝0得a＝｜x2－6x｜，作出 y＝｜x2－6x｜的图象，如图所示. 由图象可知，要使方程｜x2－6x｜－a＝0有四个不相等的实数根，则0＜a ＜9，故答案为0＜a＜9. $$