2.3 确定二次函数的表达式 第2课时 课件 -2024-2025学年北师大版九年级数学北师大版下册

第二章　二次函数 3　确定二次函数的表达式 第2 课时　确定二次函数的表达式（2） 1 　利用抛物线上任意三点求二次函数的表达式 1. 三类表达式 （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0），二次函数的顶点坐标是 （h，k）； （3）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是图象与 x轴交点的横坐标 . 2. 利用待定系数法求表达式：一设、二代、三求、四还原. （1）设此二次函数的表达式为① ⁠； （2）将已知的三个点的坐标代入表达式中，得到一个② ⁠一次方 程组； （3）解这个三元一次方程组，得到a，b，c的值； （4）将a，b，c的值代入（1）中即可得到所求的表达式. y＝ax2＋bx＋c 三元 【例1】 已知二次函数的图象经过（1，－1），（0，1），（－1，13）三 点，求此二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），由函数图象过已知三 点（1，－1），（0，1），（－1，13），得 解得 故所求二次函数的表达式为y＝5x2－7x＋1. 求过（－1，0），（1，0）和（0，－1）三点的抛物线的表达 式，并求出它的顶点坐标. 解：∵抛物线经过点（－1，0），（1，0）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x＋1）（x－1）， 将点（0，－1）的坐标代入y＝a（x＋1）（x－1），得a＝1， ∴该抛物线的表达式为y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1， ∴顶点坐标为（0，－1）， 综上，抛物线的表达式为y＝x2－1，顶点坐标为（0，－1）. 【例2】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过（3，0），（2，－3）两 点，且以直线x＝1为对称轴，求这个二次函数的表达式. 解：依题意，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3. 解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝1，且它经过点A （3，0）， ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3. ∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4， ∴顶点坐标为（1，－4）. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴 为直线x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的表达式和顶点坐标. 　综合运用几何知识求二次函数的表达式 此类问题通常与线段的倍分关系、三角形的面积等知识点相关，要注意点所 在的象限. 【例3】 如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C， F在抛物线上，点D，E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形面积 为8. （1）求此抛物线的表达式； 解：（1）∵A（0，1）为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴. ∵C，F在抛物线上， ∴BC＝BF. ∵矩形CDEF的面积为CF·OB＝8， ∴CF＝ ＝4， ∴BC＝BF＝2， ∴点F的坐标为（2，2）. 设抛物线表达式为y＝ax2＋1， 把（2，2）代入表达式得2＝4a＋1，解得a＝ ， ∴抛物线表达式为y＝ x2＋1. （2）求当－1≤x≤3时，y的取值范围； 解：（2）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＝0时，y取最小值为1. ∵3－0＞0－（－1）， ∴当x＝3时y取最大值. 把x＝3代入y＝ x2＋1，得y＝ . ∴1≤y≤ . （3）直接写出当y＞3时，x的取值范围. 解：（3）把y＝3代入y＝ x2＋1，得3＝ x2＋1， 解得x＝－2 或x＝2 ， ∴当y＞3时，x＜－2 或x＞2 . 如图，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A（－5，0），B （－1，0），与y轴交于点C（0，－5），点P是抛物线上的动点，连接 PA，PC，PC与x轴交于点D. （1）求该抛物线所对应的函数表达式； 解：（1）设抛物线表达式为y＝a（x＋5）（x＋1），把C（0，－5）代 入，得5a＝－5，解得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－（x＋5）（x＋1）＝－x2－6x－5. （2）若点P的坐标为（－2，3），请求出此时△APC的面积. 解：（2） 设直线PC的表达式为y＝mx＋n，把P（－2，3），C（0， －5）代入，得 解得 ∴直线PC的表达式为 y＝－4x－5.令y＝0，则－4x－5＝0，解得x＝－ ， ∴D（－ ，0）， ∴AD＝－ －（－5）＝ ， ∴S△APC＝S△APD＋S△ACD＝ AD·｜yP｜＋ AD·｜yC｜＝ AD·（｜yP｜ ＋｜yC｜）＝ × ×8＝15. 1. 已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3）， 求此函数的表达式. 解：设此函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， ∴ 解得 ∴此函数的表达式为y＝x2－2x－3. 2. 抛物线y＝ax2－3ax＋b经过点（－1，0），（3，2），求此抛物线的表 达式. 解：由题意，得 ∴ ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. 3. 将抛物线y＝－x2平移后经过A（1，－2），B（3，－1）两点，求平移 后得到的抛物线的表达式. 解：设平移后得到的抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋c.则－2＝－1＋b＋ c，－1＝－9＋3b＋c，解得b＝ ，c＝－ ， ∴平移后得到的抛物线的表达式为y＝－x2＋ x－ . 4. 将抛物线y＝－x2＋bx＋c向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长 度得抛物线y＝－x2＋2x＋8，则原抛物线的表达式为 . y＝－x2－2x＋11 5. 如图，对称轴为直线x＝ 的抛物线经过B（2，0），C（0，4）两点， 抛物线与x轴的另一个交点为A. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由对称性，得A（－1，0），设抛物线的 表达式为y＝a（x＋1）（x－2），把C（0，4）的 坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2， ∴y＝－2（x＋1）（x－2）， ∴抛物线的表达式为y＝－2x2＋2x＋4. （2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求 S的最大值. 解：（2）设点P（m，－2m2＋2m＋4），过点P作 PD⊥x轴，垂足为D，如图， ∴S＝－2m2＋4m＋4＝－2（m－1）2＋6， ∴当m＝1时，S有最大值，且Smax＝6. 6. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且 过点C（0，－3）. （1）求抛物线的表达式和顶点坐标； 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）（x－3），把 C（0，－3）的坐标代入得3a＝－3，解得a＝－1， 故抛物线的表达式为y＝－（x－1）（x－3），即y ＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1， ∴顶点坐标为（2，1）. （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x 上，并写出平移后抛物线的表达式. 解：（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到的抛物线的表达式为y＝－x2，平移后抛物线的 顶点坐标为（0，0），顶点在直线y＝－x上（答案不 唯一）. 7. 如图，抛物线y＝－x2＋4x＋2的顶点为D，E（4，m）在抛物线上，点 Q在x轴上，点P在抛物线上，当以D，E，P，Q为顶点的四边形是以DE 为边的平行四边形时，求点P的坐标. 解：易得D（2，6），E（4，2），过点P作PH⊥x轴于点H，过点D，E 分别作y轴，x轴的平行线，两直线交于点G. △PHQ≌△DGE，PH＝DG ＝4， ∴｜yP｜＝±4. 当y＝－4时，－x2＋4x＋2＝－4， ∴x1＝2－ ，x2＝2＋ ， ∴P1（2－ ，－4），P2（2＋ ，－4）； 当y＝4时，－x2＋4x＋2＝4， ∴x1＝2－ ，x2＝2＋ . ∴P3（2－ ，4），P4（2＋ ，4）. 参考答案 【新课导学】 ①y＝ax2＋bx＋c　②三元 【例1】　解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），由函数图 象过已知三点（1，－1），（0，1），（－1，13），得 解得 故所求二次函数的表达式为y＝5x2－7x＋1. 对点训练1　解：∵抛物线经过点（－1，0），（1，0）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x＋1）（x－1）， 将点（0，－1）的坐标代入y＝a（x＋1）（x－1），得a＝1， ∴该抛物线的表达式为y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1， ∴顶点坐标为（0，－1）， 综上，抛物线的表达式为y＝x2－1，顶点坐标为（0，－1）. 【例2】　解：依题意，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3. 对点训练2　解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝1，且它 经过点A（3，0）， ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3. ∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4， ∴顶点坐标为（1，－4）. ∴抛物线对称轴为y轴. ∵C，F在抛物线上， ∴BC＝BF. ∵矩形CDEF的面积为CF·OB＝8， ∴CF＝ ＝4， ∴BC＝BF＝2， ∴点F的坐标为（2，2）. 设抛物线表达式为y＝ax2＋1， 把（2，2）代入表达式得2＝4a＋1，解得a＝ ， 【例3】　解：（1）∵A（0，1）为抛物线顶点， ∴抛物线表达式为y＝ x2＋1. （2）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＝0时，y取最小值为1. ∵3－0＞0－（－1）， ∴当x＝3时y取最大值. 把x＝3代入y＝ x2＋1，得y＝ . ∴1≤y≤ . （3）把y＝3代入y＝ x2＋1，得3＝ x2＋1， 解得x＝－2 或x＝2 ， ∴当y＞3时，x＜－2 或x＞2 . 对点训练3　解：（1）设抛物线表达式为y＝a（x＋5）（x＋1），把C （0，－5）代入，得5a＝－5，解得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－（x＋5）（x＋1）＝－x2－6x－5. （2） 设直线PC的表达式为y＝mx＋n，把P（－2，3），C（0，－5）代 入，得 解得 ∴直线PC的表达式为y＝－4x－ 5.令y＝0，则－4x－5＝0，解得x＝－ ， ∴D（－ ，0）， ∴AD＝－ －（－5）＝ ， ∴S△APC＝S△APD＋S△ACD＝ AD·｜yP｜＋ AD·｜yC｜＝ AD·（｜yP｜ ＋｜yC｜）＝ × ×8＝15. 【课堂通关】 1. 解：设此函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， ∴ 解得 ∴此函数的表达式为y＝x2－2x－3. 2. 解：由题意，得 ∴ ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. 3. 解：设平移后得到的抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋c.则－2＝－1＋b ＋c，－1＝－9＋3b＋c，解得b＝ ，c＝－ ， ∴平移后得到的抛物线的表达式为y＝－x2＋ x－ . 4. y＝－x2－2x＋11 5. 解：（1）由对称性，得A（－1，0），设抛物线的表达式为y＝a（x＋ 1）（x－2），把C（0，4）的坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2， ∴y＝－2（x＋1）（x－2）， ∴抛物线的表达式为y＝－2x2＋2x＋4. （2）设点P（m，－2m2＋2m＋4），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，如图， ∴S＝－2m2＋4m＋4＝－2（m－1）2＋6， ∴当m＝1时，S有最大值，且Smax＝6. 6. 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）（x－3），把C（0，－3）的坐标代 入得3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线的表达式为y＝－（x－1） （x－3），即y＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1， ∴顶点坐标为（2，1）. （2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为y ＝－x2，平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），顶点在直线y＝－x上（答案 不唯一）. 7. 解：易得D（2，6），E（4，2），过点P作PH⊥x轴于点H，过点 D，E分别作y轴，x轴的平行线，两直线交于点G. △PHQ≌△DGE，PH ＝DG＝4， ∴｜yP｜＝±4. 当y＝－4时，－x2＋4x＋2＝－4， ∴x1＝2－ ，x2＝2＋ ， ∴P1（2－ ，－4），P2（2＋ ，－4）； 当y＝4时，－x2＋4x＋2＝4， ∴x1＝2－ ，x2＝2＋ . ∴P3（2－ ，4），P4（2＋ ，4）. $$