6.2反比例函数的图象与性质第2课课件-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第六章　反比例函数 2　反比例函数的图象与性质 第2课时　反比例函数的图象与性质（2） 1 　反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线 k的符号 ① ⁠. ② ⁠. 图象 k＞0 k＜0 k的符号 ① ⁠. ② ⁠. 性质 （1）图象在第③ ⁠象 限； （2）在每一象限内，y的值随x 值的增大而④ ⁠； （3）图象是⑤ ⁠图 形，对称中心是⑥ ⁠； （4）图象是⑦ ⁠图 形，对称轴是直线y＝x和直线 ⑧ ⁠ （1）图象在第⑨ ⁠象 限； （2）在每一象限内，y的值随 x值的增大而⑩ ⁠； （3）图象是⑪ ⁠图 形，对称中心是⑫ ⁠； （4）图象是⑬ ⁠图 形，对称轴是直线y＝x和直线⑭ ⁠ 一、三 减小 中心对称 原点O 轴对称 y＝－x 二、四 增大 中心对称 原点O 轴对称 y＝－x k＞0 k＜0 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，都是在各自的象限内的增减情 况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双 曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 【例1】如图，反比例函数y＝ 的图象的一支在第一象限. （1）求k的取值范围. 解：∵反比例函数y＝ 的图象的一支在第一象限， ∴k－2＞0，解得k＞2. （2）在这个函数图象的某一支上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2），如 果x1－x2＞0，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 解：∵k－2＞0， ∴反比例函数y＝ 在每一个象限内，y都随x的增大而减小. ∵x1－x2＞0， ∴x1＞x2， ∴y1＜y2. 已知反比例函数y＝ 的图象上有A（x1，y1），B（x2， y2）两点，当x1＜x2＜0时，有y1＜y2，求m的取值范围. 解：∵反比例函数y＝ 的图象上有 A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1＝ ，x2＝ . ∵当x1＜x2＜0时，y1＜y2， ∴5m－2＜0， ∴m＜ . 　反比例函数中k的相关意义与计算 1. 过双曲线y＝ （k≠0）上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面 积为⑮ ⁠. ｜k｜ 2. 过双曲线y＝ （k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线， 连接该点和原点，所得三角形的面积为⑯ ⁠. 特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与 两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. ​ 【例2】如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y＝ 的图象上， 过点P作PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为5，则k的值为 ⁠. －10 解析：由题意得 ｜k｜＝5，解得k＝±10， 又∵k＜0， ∴k＝－10，故答案为－10. 下面四个图中反比例函数的表达式均为y＝ ，则阴影部分图形的 面积为3的有（　B　）. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1. 若点A（x1，－1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数y＝ 的 图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　B　）. A. x1＜x2＜x3 B. x1＜x3＜x2 C. x3＜x2＜x1 D. x2＜x1＜x3 B 2. （2023·深圳期末）如果在反比例函数y＝ 图象的每一支上，y都随x 的增大而增大，那么t的取值范围是（　C　）. A. t＞ B. t≥ C. t＜ D. t≤ C 3. 如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝ （x＞ 0）图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时，△OAB的面积将 （　C　）. A. 逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 C 4. （2024·南山区二模）如图，点A是反比例函数y＝ 的图象上的一点，过 点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC. 若 △ABC的面积为6，则k的值是 ⁠. －12 解析：如图，连接OA， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△CAB＝6， 而S△OAB＝ ｜k｜， ∴ ｜k｜＝6. ∵k＜0， ∴k＝－12.故答案为－12. 5. 如图，点A是反比例函数y＝ 图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD，若四边形ABCD的面积为4，则k＝ ⁠ ⁠. －4 6. 已知点（2，y1），（3，y2）在反比例函数y＝ 的图象上，则下列结 论正确的是（　B　）. A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1和y2的大小不能确定 B 解析：∵k2≥0， ∴－k2－1＜0， ∴在每一象限内，反比例函数y＝ 的函数值y随x的增大而增大.又∵点 （2，y1），（3，y2）在反比例函数y＝ 的图象上，且3＞2＞0， ∴y1＜y2，故选B. 7. 已知点A（－2，y1），B（－1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　C　）. A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1 C 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC中点A在函数y＝ （x＞ 0）的图象上，点C在函数y＝－ （x＜0）的图象上，若点B的横坐标为－ ，求此时点A的坐标. 解：如图，过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点C在函数y＝－ （x＜0）的图象 上， ∴S△OCE＝ × ＝ ，S△OAF＝ . ∵CE⊥x轴， ∴∠CEO＝90°，∠OCE＋∠COE＝90°. ∵在矩形OABC中，∠AOC＝90°， ∴∠AOF＋∠COE＝90°， ∴∠AOF＝∠OCE. 又∵∠CEO＝∠OFA＝90°， ∴△AOF∽△OCE， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3， ∴CE＝3OF，OE＝3AF. 设点A的坐标为（a， ），则点C的坐标为 （－ ，3a）， 连接AC，OB交于点P，则点P为AC，OB的中点， ∴a＋（－ ）＝－ ＋0， 解得a＝－2（不合题意，舍去）或a＝ ， ∴点A的坐标为（ ， ）. 9. 如图，点A（－2，y1），B（－6，y2）在反比例函数y＝ （k＜0）的 图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C，D，AC与BD相交于点E. （1）根据图象直接写出y1，y2的大小关系，并通过计算加以验证. 解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，所以y1＞y2.验证如下： 当x＝－6时，y2＝－ ；当x＝－2时，y1＝－ ， ∴y1－y2＝－ ＋ ＝－ ，k＜0， ∴y1－y2＞0，即y1＞y2. （2）结合以上信息，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求k的值. 条件①：四边形OCED的面积为2； 条件②：BE＝2AE. 解：（2）选择条件①四边形OCED的面积为2，求解如下： ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD， ∴四边形OCED是矩形， ∴OD·OC＝2. ∵A（－2，y1），B（－6，y2）， ∴OC＝2，OD＝y2， ∴2y2＝2，解得y2＝1， ∴B（－6，1）， 将点B（－6，1）代入y＝ 得k＝－6×1＝－6. 选择条件②BE＝2AE，求解如下： ∵A（－2，y1），B（－6，y2）， ∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2. ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD， ∴四边形OCED是矩形， ∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2， ∴BE＝DB－DE＝4， ∴AE＝ BE＝2. 又∵AE＝AC－CE＝y1－y2， ∴y1－y2＝2， 由（1）可知，y1－y2＝－ ， ∴－ ＝2，解得k＝－6. 参考答案 【新课导学】 ① k＞0 ② k＜0 ③一、三 ④减小 ⑤中心对称 ⑥原点O ⑦轴对称 ⑧y＝－x ⑨二、四 ⑩增大 ⑪中心对称 ⑫原点O ⑬轴对称 ⑭y＝－x 【例1】　解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象的一支在第一象限， ∴k－2＞0，解得k＞2. （2）解：∵k－2＞0， ∴反比例函数y＝ 在每一个象限内，y都随x的增大而减小. ∵x1－x2＞0， ∴x1＞x2， ∴y1＜y2. 对点训练1　解：∵反比例函数y＝ 的图象上有 A（x1，y1），B（x2， y2）两点， ∴x1＝ ，x2＝ . ∵当x1＜x2＜0时，y1＜y2， ∴5m－2＜0， ∴m＜ . ⑮｜k｜　⑯ 【例2】　－10　解析：由题意得 ｜k｜＝5，解得k＝±10， 又∵k＜0， ∴k＝－10，故答案为－10. 对点训练2　B 【课堂通关】 1. B　2.C　3.C 4. －12　解析：如图，连接OA， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△CAB＝6， ∴ ｜k｜＝6. ∵k＜0， ∴k＝－12.故答案为－12. 而S△OAB＝ ｜k｜， 5. －4 6. B　解析：∵k2≥0， ∴－k2－1＜0， ∴在每一象限内，反比例函数y＝ 的函数值y随x的增大而增大.又∵点 （2，y1），（3，y2）在反比例函数y＝ 的图象上，且3＞2＞0， 7. C 8. 解：如图，过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点C在函数y＝－ （x＜0）的图象 上， ∴S△OCE＝ × ＝ ，S△OAF＝ . ∵CE⊥x轴， ∴∠CEO＝90°，∠OCE＋∠COE＝90°. ∵在矩形OABC中，∠AOC＝90°， ∴∠AOF＋∠COE＝90°， ∴∠AOF＝∠OCE. 又∵∠CEO＝∠OFA＝90°， ∴△AOF∽△OCE， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3， ∴CE＝3OF，OE＝3AF. 设点A的坐标为（a， ），则点C的坐标为（－ ，3a）， 连接AC，OB交于点P，则点P为AC，OB的中点， ∴a＋（－ ）＝－ ＋0， 解得a＝－2（不合题意，舍去）或a＝ ， ∴点A的坐标为（ ， ）. 9. 解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随 之增大， 所以y1＞y2.验证如下： 当x＝－6时，y2＝－ ；当x＝－2时，y1＝－ ， ∴y1－y2＝－ ＋ ＝－ ，k＜0， ∴y1－y2＞0，即y1＞y2. （2）选择条件①四边形OCED的面积为2，求解如下： ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD， ∴四边形OCED是矩形， ∴OD·OC＝2. ∵A（－2，y1），B（－6，y2）， ∴OC＝2，OD＝y2， ∴2y2＝2，解得y2＝1， ∴B（－6，1）， 将点B（－6，1）代入y＝ 得k＝－6×1＝－6. 选择条件②BE＝2AE，求解如下： ∵A（－2，y1），B（－6，y2）， ∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2. ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD， ∴四边形OCED是矩形， ∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2， ∴BE＝DB－DE＝4， ∴AE＝ BE＝2. 又∵AE＝AC－CE＝y1－y2， ∴y1－y2＝2， 由（1）可知，y1－y2＝－ ， ∴－ ＝2，解得k＝－6. $$