东北育才高中2024-2025高二下学期第二次月考数学试题

东北育才高中2024-2025学年度下学期第二次月考 高二年级数学科试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：王成栋 侯雪晨 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4.等比数列的前10项的积为，且，则数列的公比为（ ） A. B. C. D. 5.抛掷两个骰子，观察掷得的点数，记事件为“两个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，点（）在函数（）的图像上，则（ ） A. B.若，则，使最大 C.若，则，使最大 D.若，则，使最大 7.已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.小王到某公司面试，一共要回答4道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型拟合比较合适.令，得到，经计算发现满足下表： 天数x（天） 2 3 4 5 6 1.5 4.5 5.5 6.5 7 则（ ） A. B. C. D. 10.函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 11.已知数列满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. B.是单调递减数列 C.若对任意，都有，则 D.若为数列的前项和，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的极大值为 . 13.已知函数若直线与曲线有三个不同的交点，则实数的取值范围是 . 14.已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，若有，则常数 ，且 （用含有正整数的式子表示）. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知公差大于的等差数列中，，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：． 16．（本小题满分15分） 跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力. 2024年暑假期间，某高中以2023年入学（以下称2023级）的学生为试点，倡议学生每天坚持不超过半小时的跳绳锻炼.开学后，对2023级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），得到如下数据： 人数 5 10 20 15 15 10 15 10 每周跳绳的累计时间（单位：小时） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 成绩区间 （单位：个） [90,100) [120,130) [140,150) [170,180) [170,180) [160,170) [180,190) [190,200) （Ⅰ）请完成下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”； 跳绳个数不少于170个 跳绳个数不足170个 合计 每周跳绳的累计时间不少于2小时 每周跳绳的累计时间不足2小时 合计 （Ⅱ）将测试成绩位于区间[170,190)之内评定为“良好”，位于区间[190,200)之内评定为“优秀”.在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．（本小题满分15分） 已知函数， （Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （Ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 18.（本小题满分17分） 近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升． （Ⅰ）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记A表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，无需说明理由，请直接写出与的大小关系； （Ⅱ）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间．若m=24，将使得的最大的M值M0作为M的估计值，试求M0的值． 参考数据：，． 19．（本小题满分17分） 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）. 定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数. （Ⅰ）判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； （Ⅱ）是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第6页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才高中2024-2025学年度下学期第二次月考 高二年级数学科试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：王成栋 侯雪晨 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，对数无意义；反之，由，得，则成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为，若，则.故选：A. 3.曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】对函数求导得,故当时,斜率，又切线过点，故切线方程为，即. 故选：C. 4.等比数列的前10项的积为，且，则数列的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】为等比数列，设其公比为，由，知，又，，故故选：A. 5.抛掷两个骰子，观察掷得的点数，记事件为“两个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以．故选：D． 6.设等差数列的前项和为，点（）在函数（）的图像上，则（ ） A. B.若，则，使最大 C.若，则，使最大 D.若，则，使最大 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和（为公差），所以，点在函数的图像上，故在中，，，.所以无意义，选项A错误；若，则，，当时，不存在，使最大，选项B错误；若，则，有最小值，无最大值，选项C错误；若，则，有最大值，选项D正确.故选：D. 7.已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】，设，，则，∴在上单调递减，∴∴，故，∵，而，∴，∴，∴即，故，∴.故选：B. 8.小王到某公司面试，一共要回答4道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设答对题的个数为，由已知可得，所以，，因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以，所以， ，所以，又，所以当时，取最大值，最大值为12.故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 天数(天) 2 3 4 5 6 1.5 4.5 5.5 6.5 7 9.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型拟合比较合适.令，得到，经计算发现满足下表： 则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【详解】因为，，所以的中心点为(4，5)，代入，可得，由，，则，所以，即.故选：BC. 10.函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【详解】当是，，故A符合；当时，在上单调递减，且，故B符合；当时，由为上的单调递增函数，令，则，即，因为，可得，所以在上的单调递增函数，所以，所以有唯一解，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确.故选：ABD. 11.已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B.是单调递减数列 C.若对任意，都有，则 D.若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【详解】由，可得，故,也符合， 故，，A正确；由于，故，因此是单调递增数列，B错误；由可定，当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故，当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故，故对任意，都有，则，故C正确；利用错位相减法得，D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的极大值为 . 【答案】 13.已知函数若直线与曲线有三个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设与相切于点，则，解得，此时，由得，由可得，此时切点为，作出函数与的图象如图，由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 14.已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，若有，则常数 ，且 （用含有正整数的式子表示）. 【答案】， （也可写作） （第一空2分，第二空3分） 【详解】第次取出的球是红球的概率为，则取出的球为白球的概率为，对于第次取出的球是红球有两种情况：①红球从红箱中取出，其概率为；②红球从白箱中取出，其概率为，所以，所以. 由，得，令，则，且，则数列为等比数列，且公比为，所以 ，则.故答案为：，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知公差大于的等差数列中，，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：. 解：（Ⅰ）设的公差为（）， 由，， 得即， 解得或，∵，∴， ……………………………4分 ∴ ……………………………6分 （Ⅱ）， ∴， ……………………………9分 ∵，∴，∴， ∴， ， ∴． ……………………………13分 16．（本小题满分15分） 跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力. 2024年暑假期间，某高中以2023年入学（以下称2023级）的学生为试点，倡议学生每天坚持不超过半小时的跳绳锻炼.开学后，对2023级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），得到如下数据： 人数 5 10 20 15 15 10 15 10 每周跳绳的累计时间（单位：小时） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 成绩区间 （单位：个） [90,100) [120,130) [140,150) [170,180) [170,180) [160,170) [180,190) [190,200) （Ⅰ）请完成下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”； 跳绳个数不少于170个 跳绳个数不足170个 合计 每周跳绳的累计时间不少于2小时 每周跳绳的累计时间不足2小时 合计 （Ⅱ）将测试成绩位于区间[170,190)之内评定为“良好”，位于区间[190,200)之内评定为“优秀”.在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 解：（Ⅰ）依题意补全列联表如下： 跳绳个数不少于170个 跳绳个数不足170个 合计 每周跳绳的累计时间不少于2小时 40 10 50 每周跳绳的累计时间不足2小时 15 35 50 合计 55 45 100 ……………………………2分 因为， ……………………………5分 所以有99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”. …………6分 （Ⅱ）对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，其中被评定为“良好”的有9人，被评定为“优秀”的有2人，则的可能值为0，1，2. ……………………………8分 ，， …………………………11分 所以的分布列为： 0 1 2 …………………………13分 的数学期望. …………………………15分 17．（本小题满分15分） 已知函数， （Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （Ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）因为，所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即， …………………………3分 所以，得，， …………………………5分 （Ⅱ）令，依题意，对恒成立， 因为， 1°当时，，此时在上单调递减， 所以时，，不符题意，舍去． …………………………8分 2°当时，， ①当，即时，由，得，所以在上单调递减，故时，，不符题意，舍去． …………………………11分 ②当，即时，，所以在上单调递增， 所以时，，符合题意，所以． 综上，. …………………………15分 18.（本小题满分17分） 近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的“心 脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均 在大幅提升． （Ⅰ）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记A表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，无需说明理由，请直接写出与的大小关系； （Ⅱ）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间．若m=24，将使得的最大的M值M0作为M的估计值，试求M0的值． 参考数据：，． 解：（Ⅰ）①进入第四道工序前，该款芯片的次品率为 …………………………5分 ② …………………………7分 （证明： ⸪，∴， ∴， ∴ ） （Ⅱ）⸪ …………9分 依题意，，， 设， 由 得， 解得，又，所以， 所以的估计值为. ………………………………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）. 定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数. （Ⅰ）判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； （Ⅱ）是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 解：（Ⅰ）∵，∴， ∵时，， ∴函数在区间上是凹函数. …………………………3分 （Ⅱ）∵， ∴，， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ∴，即在上恒成立， ∴在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令（），则， ∵时，，∴在上为增函数， 由，得，∴，即， 即时，恒成立， 设（），则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，a的取值范围为. ……………10分 （Ⅲ）∵，∴， 令， 则， 令，则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有，∴， ∵，∴，又∵恒成立，∴， ∵且，∴的最大值为. …………………………………………17分 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$