精品解析：山东省日照市莒县三中教育集团2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

八年级阶段性数学测试 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 正方形 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 某运动员两次射击情况如图所示，第二次射击环数与第一次相比较，描述正确的是（ ） A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 方差不变，平均数变小 D. 方差不变，平均数变大 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 某天上午，李爷爷从家匀速跑步到附近城市书房看书，看完书后，他匀速步行回家，回到家的时刻是上午，李爷爷离家的距离（千米）与所用的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 李爷爷家到城市书房距离为2千米 B. 李爷爷的步行速度是4千米/小时 C. 李爷爷看书的时间为80分钟 D. 李爷爷的跑步速度是步行速度的2倍 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．以下结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）． A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分) 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 若m是方程的一个根，则的值为______． 13. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围___________． 14. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______． 15. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____． 16. 如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______． 三、解答题（共7小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 19. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，，，，，，，，． 绘制了不完整统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中 ， ； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由； （3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． （4）现从七年级选取两名同学到市里参加比赛，已知组有2名女生，4名男生，求选到的两名同学恰好是一男一女的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 21. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：当的三个内角均小于120°时，如图1，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，由，可知为 （选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由 （选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有 （填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，，已知点为的“费马点”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级阶段性数学测试 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查特殊四边形的性质和判定，根据题意可知，；，，即可判定四边形是平行四边形，结合垂直即可判定为矩形． 【详解】解：如图， 四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， 则，；，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，， ∴边形是矩形． 故选A． 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 5. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可． 详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果， 所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比． 6. 两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的中的的符号，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下： A．由图象可知，；由图象可知，，A错误； B．由图象可知，；由图象可知，，B正确； C．由图象可知，；由图象可知，，C错误； D．由图象可知，；由图象可知，，D错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 7. 某运动员两次射击情况如图所示，第二次射击环数与第一次相比较，描述正确的是（ ） A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 方差不变，平均数变小 D. 方差不变，平均数变大 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差和平均数的定义分别求出第一次和第二次的平均数和方差，然后比较即可． 【详解】第一次射击的平均数为：， 第二次射击的平均数为：， ∴第二次射击环数与第一次相比较，平均数不变； 第一次射击的方差为：， 第二次射击的方差为：， ∵ ∴第二次射击环数与第一次相比较，方差变小． 故选：A． 【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握二者的定义是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图： 则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 9. 某天上午，李爷爷从家匀速跑步到附近的城市书房看书，看完书后，他匀速步行回家，回到家的时刻是上午，李爷爷离家的距离（千米）与所用的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 李爷爷家到城市书房的距离为2千米 B. 李爷爷的步行速度是4千米/小时 C. 李爷爷看书的时间为80分钟 D. 李爷爷的跑步速度是步行速度的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，由路程=速度×时间之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象可知，李爷爷家到城市书房的距离为2千米，故此选项正确，不符合题意； B、由图象可知，李爷爷的步行时间为(分钟) 小时，距离为2千米，∴李爷爷的步行速度是(千米/小时)， 故此选项正确，不符合题意； C、由图象可知，李爷爷看书的时间为(分钟)， 故此选项正确，不符合题意； D、由图象可知，李爷爷的跑步时间为20分钟小时，距离为2千米，∴李爷爷的跑步速度是(千米/小时)，又李爷爷的步行速度是4千米/小时，∴，∴李爷爷的跑步速度是步行速度的1.5倍，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，从图象获取信息是解题的关键． 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．以下结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）． A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形性质结合所作辅助线可推出四边形是正方形，由矩形性质得，又可证，即可利用“”证明，即得出，说明矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，由此推出平分，故③④正确；进而求得，故②错误； 【详解】过点E作于点M，作于点N，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，    ∴矩形是正方形，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，，故④正确． ∵, ∴平分，故③正确；    ∵， ∴，故②错误． 综上可知①③④正确． 故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分) 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根，得到，代入代数式即可求值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键． 13. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限得到，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴图象经过第一，三，四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质：时图象经过一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过一，二，四象限；时经过二，三，四象限，熟记一次函数的性质是解题的关键． 14. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______． 【答案】49 【解析】 【分析】根据平均数及方差知识，直接计算即可. 【详解】∵数据，，，，的平均数是2， ，即， ，，，，的平均数为： ， ∵数据，，，，的方差是5， ， 即，， ，，，，的方差为： ， ， ， ， ， 平均数和方差的和为， 故答案为：49. 【点睛】本题是对平均数及方差知识的考查，熟练掌握平均数及方差计算是解决本题的关键. 15. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：， 解得． 故答案为：7． 16. 如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，根据将绕某点逆时针旋转，得到，为中点，可得，，，，即可求得直线解析式为，直线解析式为，从而可解得，即可． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 将绕某点逆时针旋转，得到， ，，， 为中点， ， ，，，， 由，得直线解析式为， 由得直线解析式为， 联立，解得， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，勾股定理，正确建立坐标系，通过联立直线解析式求出点F的坐标是解题的关键． 三、解答题（共7小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：． 【小问2详解】 解：． ∴， ∴， ， ． 18. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， 由（）得：， ∴， ∴的值为． 19. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，，，，，，，，． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中 ， ； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由； （3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． （4）现从七年级选取两名同学到市里参加比赛，已知组有2名女生，4名男生，求选到的两名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）频数分布直方图见解析； （2）七年级学生成绩好，因为七年级学生成的平均数高于八年级学生成的平均数 （3）估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数约人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据组和组的所占百分比可求出八年级学生竞赛成绩在组和组的人数，再根据中位数、众数的意义求出和； （2）根据两个年级的平均数的大小说理； （3）根据被抽取的学生中七年级竞赛成绩不低于分的有6人除以，再乘以该校七年级的人数即可； （4）用列表法求解． 【小问1详解】 解：八年级学生竞赛成绩在组和组的人数共有（人）， 将八年级学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和名的成绩为，， 由七年级学生竞赛成绩可得，． 补全频数分布直方图，如图所示： 故答案为： 【小问2详解】 七年级学生成绩好． 理由：七年级学生成的平均数高于八年级学生成的平均数， 七年级学生成绩好． 【小问3详解】 （人）． 估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数约人． 【小问4详解】 列表如下： 共有种等可能的结果，其中选到的两名同学恰好是一男一女的结果有种， ∴选到的两名同学恰好是一男一女的概率为. 【点睛】本题考查了求中位数，求众数，列表法或树状图法求概率，由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是能利用统计表与统计图中获取有用信息求解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出值即可； （2）根据函数图象，直接写出不等式解集即可； （3）先求出，继而，设点坐标为，则，建立方程求出值，即可得到点坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 将，，代入得：， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，一次函数解析式为， 在中，当时，， ， ∴， ∴， ， 设点坐标为，则， ， ， 解得：或， 或． 21. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案； （2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案. 【详解】解：（1）如图所示，连接BD， 由题意可知，AE是BD的垂直平分线， ∴AB=AD，BE=DE，BO=OD， ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE， 在△OAD和△OEB中， ， ∴△OAD≌△OEB（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD=AB=BE=ED， ∴四边形ABCD是菱形； （2）由（1）得AD=AB=BE=ED， ∴∠DBE=∠EDB， ∵， ∴， ∴， ∴三角形DEC是等边三角形， ∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°， ∵∠BDE+∠EBD=∠DEC， ∴∠BDE=30°， ∴∠BDC=90° ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 23. 【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：当的三个内角均小于120°时，如图1，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，由，可知为 （选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由 （选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有 （填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短；；（2）5 【解析】 【分析】此题考查了旋转性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质、等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短等得到当在同一条直线上时，取最小值，即可； （2）由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为，进一步由勾股定理求出答案即可． 【详解】解：（1）当的三个内角均小于120°时，如图1，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，由，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点； 故答案为：等边；两点之间线段最短；； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$