2025年九年级中考数学不规则扇形阴影面积提高冲刺

2025年九年级中考数学不规则扇形阴影面积提高冲刺 1．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 2．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 3．如图，内接于，为直径，作交于点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 4．如图，在中，，点E为边上的点，以为直径的交于点F，交于点D，且点D是的中点，连接． (1)求证：； (2)若的直径为8，，求阴影部分面积． 5．如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求涂色部分的面积． 6．如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 7．如图，是的外接圆，切于点，与的延长线相交于点，为半圆的中点，交于点． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 8．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的长； (3)若，在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 9．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 10．如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． (1)求证：所在的直线与相切； (2)若直径，求阴影部分的面积． 11．如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交的延长线于点D，且． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 12．如图是的直径，与相切于点A，与相交于点D，E为上的一点，分别连接、， ． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 13．如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)连结，若，，求图中阴影部分的面积． 14．如图，是的直径，为上一点（不与点重合）连接，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 15．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若，在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积． （1）连接，，交于，由切线得到，再由结合垂径定理得到，即，则； （2）连结、，由垂直平分，得到，则为等边三角形．，推出，得到，，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接，，交于， ∵的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结、， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和角平分线的定义可得出，则可判断，根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 平分， ． ． ． ． ， ． 即． 是的切线． （2）解：在中， ，， ，． ． ． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，然后推导，即可解题； （2）先根据正弦得到，即可求出，然后根据解题即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 4．(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查圆周角定理，切线的判定和性质，解三角形、等边三角形的判定和性质、不规则图形的面积等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得出，再由等量代换确定，然后利用正弦函数即可证明； （2）连接，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，，再由各角之间的关系及勾股定理得出，，，结合图形，利用阴影部分面积为梯形面积减去扇形面积，求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的直径为8， ∴， ∴， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为：梯形面积减去扇形面积， ∴． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，推出，得到，即可得到结论； （2）根据题意得到，推出，， 则，，，根据勾股定理得到，求出，得到涂色部分的面积为． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：在中，， ． 由（1）可知， ． ． 设， 则，，， 在中，， ， ， ． ∴涂色部分的面积为． 6．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接交于点， ∵是的直径， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，解直角三角形，不规则图形的面积，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，，由切线的性质得，则，由垂径定理可知，则，根据题意可知，，进而证得，即可证明； （2）根据，，可知，，得，则，，求得，，可知，则根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， ∵切于点， ∴，则， ∵为半圆的中点， ∴，则， 又∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 则阴影部分的面积为． 8．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，如图所示，由角平分线定义得到，由圆中半径相等，根据等腰三角形性质得到，再由平行线的判定与性质即可得证； （2）连接，过点作于点，如图所示，由矩形的判定与性质求出相关线段长，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）解直角三角形求出，间接表示出不规则图形的面积，利用三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 平分， ． ， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，过点作于点，如图所示： ． ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ； （3）解：，， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及角平分线定义、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、扇形面积公式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明是的中位线，推出，即可证明所在的直线与相切； （2）根据阴影部分的面积，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径，， ∴，即， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴所在的直线与相切； （2）解：∵，为的直径，， ∴， ∵， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，求扇形的面积，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11．(1)； (2) 【分析】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键． （1）连接，由切线的性质，推出，由，推出，据此求解，即可解决问题； （2）先求得，利用三角形面积公式和扇形面积公式，进而可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：连接，    ∵过点C的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 12．(1) (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，，，利用直角三角形的性质求的度数即可； （2）连接，，过点O作于点M，结合已知，利用等边三角形判定和性质，指教三角形的性质，扇形面积公式，根据计算解答即可． 【详解】（1）解：连接，∵是的直径， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． ∵与相切于点A， ∴， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 过点O作于点M， 则， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可得结论； （2）连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，最后结合直角三角形性质，以及面积和求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 中，，， ，， 图中阴影部分的面积， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠可得，，根据题意可得，则，即，根据切线的定义即可求证； （2）连接，过点作于点，根据圆周角定理得到，，由含角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，，，则，，根据代入求值即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：连接，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查切线的证明，垂径定理，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法，掌握切线的证明方法，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线； （2）连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到； （3）先解直角三角形求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，过点作于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$