精品解析：江西省宜春市丰城中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

丰城中学2024-2025学年下学期高一期中考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.） 1. 某扇形的面积为，它的周长为，那么该扇形圆心角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量满足，，则（　　） A. B. C. D. 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，有错选的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ） A. B. C. D. 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 在上的投影为 11. 函数（A，ω，φ是常数，，，）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图像关于点对称 D. 若，则的最小值为 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在等边三角形ABC中，边长为2，则=____________ 13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为__________． 14. 已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）化简：； （2）计算：. 16. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示： （1）求的值 （2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； （3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求单调递减区间； （2）若，，求的取值范围． 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 19. 已知函数，在,上有最大值1和最小值0．设．（其中为自然对数的底数） （1）求，的值； （2）若不等式在,上有解，求实数的取值范围； （3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年下学期高一期中考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.） 1. 某扇形的面积为，它的周长为，那么该扇形圆心角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的半径长为，可得出扇形的面积为，解出的值，可得出扇形的弧长，由此可得出扇形的圆心角的弧度数为. 【详解】设扇形的半径长为，则扇形的弧长为， 扇形的面积为，得，解得， 所以，扇形的弧长为，因此，扇形圆心角的弧度数为， 故选A. 【点睛】本题考查扇形的面积和周长的计算，解题的关键就是计算出扇形的半径长，并熟悉扇形圆心角、半径、弧长三者之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 2. 在中，，，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意表示出数量积的两个向量，然后求解即可． 【详解】如图， 由，则， 又，则， 故选：A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用得到关于的方程，再利用三角的商数关系可得结果. 【详解】因为，① 所以两边平方可得， 则，所以是钝角， 则， 所以， ②， 联立①②可得，则． 故选:B． 【点睛】本题考查同角三角函数关系式及的应用. 4. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到， 然后利用已知条件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解. 【详解】由可得， 则有，平方可得，则， 因为，所以， 则， 所以，所以， 故选：C. 6. 已知向量，向量满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解. 【详解】设，则， 由，得， 又，得，即， 联立，解得. . 故选：C. 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，结合题意可得，，解不等式求得范围即可． 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象. 当时，，因为函数在上单调递减， 所以，，解得，， 当时，；当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 故实数的取值范围为. 故选：B. 8. 如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取，的中点，，连接交于，分析可知M在线段（不含端点）上，求出关于的表达式，可得出k的取值范围，即可得解. 【详解】如图，分别取，的中点，，连接交于， ，分别是，的中点，， ，，则在线段（不含端点）上. ，， ，则， 同理，， .即的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，有错选的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意. 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意. 对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意. 对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 在上的投影为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数量积的定义计算可判断A；根据向量加法的几何意义判断B；根据数量积的定义判断C；根据投影的含义判断D. 【详解】对于A，由题意得, 故，A正确； 对于B，， 故，则，B正确； 对于C，，而的夹角为，为钝角， 的夹角为，为锐角，故，C错误； 对于D，在上的投影为，D正确， 故选：ABD 11. 函数（A，ω，φ是常数，，，）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图像关于点对称 D. 若，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的图象可求解析式，再逐项判断正误后可得正确的选项. 【详解】由函数的图象可得且，故， 故即，所以， 而，故， 故，而，故， 故. 对于A，，故A错误. 对于B，，有， 因为在不单调，故在区间上不单调，故B错误. 对于C，，故函数的图像关于点对称，故C正确. 对于D，若，则， 所以或，其中， 故或，其中. 同理或，其中. 故的最小值为，故D正确. 故选：CD. 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在等边三角形ABC中，边长为2，则=____________ 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 14. 已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出的坐标，再利用基本不等式计算的最大值. 【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 因为，所以点的坐标为， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为13． 故答案为：13. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查向量的坐标运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）化简：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）运用两角差的余弦公式，结合辅助角公式计算即可. （2）运用诱导公式五，六化简，再结合同角三角函数关系式计算. 【详解】（1） （2） . 16. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示： （1）求的值 （2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； （3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为岁；中位数为岁；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图即能求出； （2）由频率分布直方图即能求出平均数和中位数； （3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，再利用列举法即可求出. 【详解】解：（1）由，得. （2）平均数为岁； 设中位数为，则，∴岁. （3）第组的人数分别为人，人，从第组中用分层抽样的方法抽取人， 则第组抽取的人数分别为人，人，分别记为. 从人中随机抽取人，有， 共个基本事件，从而第组中抽到人的概率. 【点睛】方法点睛：求解古典概型的问题方法之一：运用列举法是常用的方法，列举时，注意思考的顺序，做到不重不漏. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求单调递减区间； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由图可求得及周期，从而可得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间； （2）根据正弦函数的性质结合整体想即可得出答案. 【小问1详解】 由图可得： ，，解得，故， 当时，， 所以，即， 由于，所以， 故， 令，得， 故函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 ， 由于，所以，故， 即． 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）﹒ 【解析】 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【小问1详解】 在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； 【小问2详解】 ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 19. 已知函数，在,上有最大值1和最小值0．设．（其中为自然对数的底数） （1）求，的值； （2）若不等式在,上有解，求实数的取值范围； （3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1），的值分别为1，0 （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）配方可得，当和时，由函数的单调性可得和的方程组，解方程组可得，当时，，无最大值和最小值，不合题意，综合可得； （2）由（1）知，问题等价于即在,上有解，求二次函数区间的最值可得； （3）原方程可化为，令，记，可得或，解不等式组可得． 【小问1详解】 配方可得， 当时，在,上是增函数， 由题意可得，即，解得； 当时，，无最大值和最小值，不合题意； 当时，在,上是减函数， 由题意可得，即，解得， ，故应舍去 综上可得，的值分别为1，0 【小问2详解】 由（1）知， 在,上有解等价于在,上有解 即在,上有解． 令则，． 记，，， 的取值范围为． 【小问3详解】 原方程可化为 令，则， 如图是函数的图象： 若原方程方程有三个不同的实数解， 则方程有两个不同的实数解，，且，或，． 记，则或 解得，实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $