4.4探索三角形相似的条件第1课时课件-2024—-2025学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第1课时　相似三角形的定义与判定1 1 　相似三角形的定义及性质 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做 ① ⁠. 特别说明：（1）书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 △ABC∽△A'B'C'，则说明点A的对应点是点A'，点B的对应点是点B'，点C 的对应点是点C'； 相似三角形 （2）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么 第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二 个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 2. 性质：相似三角形的对应角② ，对应边的比③ ⁠. 几何语言：如图，∵△ABC∽△A1B1C1， ∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， ＝ ＝ . 相等 相等 【例1】如图，△DEF与△ABC相似，相关数据已标出，则DE的对应边 为 ，EF的对应边为 ，DF的对应边为 ； △DEF与 △ABC的相似比为 ⁠. 如图，△ADE与△ABC相似，相关数据已标出，则AD的对应边 为 ，AE的对应边为 ，DE的对应边为 .△ADE与 △ABC的相似比为 ⁠. AB BC AC 1∶2 AB AC BC 3∶5 　 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形④ ⁠. 几何语言：如图， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C'. 相似 【例2】（根据九年级北师大版教材P89例1改编）如图，在△ABC中， DE∥BC，AD＝10，DE＝20，AB＝14，求BC的长. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴BC＝ ＝28. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝ ∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长为 ⁠. 5 1. 如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 ⁠ ，使得△AOB∽△COD. ∠A＝∠C（答案不唯 一） 2. 在 △ABC 和 △A'B'C'中，如果 ∠A＝56°，∠B＝28°，∠A'＝56°， ∠C'＝28°，那么这两个三角形是否相似？答： ，理 由是 ⁠. 3. 如图，∠AED＝∠B，则一定可得（　A　）. A. AD∶AC＝AE∶AB B. DE∶BC＝AD∶DB C. DE∶BC＝AE∶AC D. AD∶AB＝AE∶AC △ABC∽△A'C'B' 两组角分别对应相等的两个三角形相似 A 4. 如图，点P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点 E，则图中相似的三角形有（　D　）. A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 D 5. 如图，若∠ADE＝∠B，∠BAD＝∠CAE. 求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAE. ∴∠DAE＝∠BAC. ∵∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝8. （1）利用尺规作AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作 图痕迹，不写作法） 解：线段AC的垂直平分线DE如图所示. （2）求证：△ADE∽△ACB，并计算DE的长度. 证明：∵∠B＝90°，BC＝4，AB＝8， ∴AC＝ ＝4 . ∵DE垂直平分线段AC， ∴∠AED＝∠B＝90°，AE＝CE＝ AC＝2 . ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴DE＝ . 7. （根据九年级北师大版教材P90习题4.5第3题改编）如图，在△ABC中， ∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D. （1）写出图中所有的相似三角形； 解：△BAD∽△BCA∽△ACD. （2）求证：AD2＝BD·DC. 解：证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＋∠ACD＝90°. ∴∠BAD＝∠ACD. ∵∠BDA＝∠ADC， ∴△BAD∽△ACD. ∴ ＝ ，即AD2＝BD·DC. 8. 如图，在菱形ABCD中，AB＝3 cm，∠A＝60°.点E，F分别在边 AD，AB上，且DE＝1 cm.将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上 的点A'处，则 ＝ 　​ 　. ​ 解析：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AD＝AB， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°. ∵∠EA'B＝∠EA'F＋∠FA'B＝∠DEA'＋∠EDA'， ∠EA'F＝∠EDA'＝60°， ∴∠DEA'＝∠FA'B， ∴△A'DE∽△FBA'， ∴ ＝ . ∵AD＝AB＝3 cm，DE＝1 cm， ∴EA＝EA'＝2 cm， ∴ ＝ ＝ ，故答案为 . 参考答案 【新课导学】 ①相似三角形 ②相等 ③相等 【例1】 AB BC AC 1∶2 对点训练1　AB　AC　BC　3∶5 ④相似 【例2】　解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴BC＝ ＝28. 对点训练2　5 【课堂通关】 1. ∠A＝∠C（答案不唯一） 2. △ABC∽△A'C'B'　两组角分别对应相等的两个三角形相似 3. A　4.D　 5. 证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAE. ∴∠DAE＝∠BAC. ∵∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC. 6. （1）解：线段AC的垂直平分线DE如图所示. （2）证明：∵∠B＝90°，BC＝4，AB＝8， ∴AC＝ ＝4 . ∵DE垂直平分线段AC， ∴∠AED＝∠B＝90°，AE＝CE＝ AC＝2 . ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴DE＝ . 7. （1）解：△BAD∽△BCA∽△ACD. （2）证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＋∠ACD＝90°. ∴∠BAD＝∠ACD. ∵∠BDA＝∠ADC， ∴△BAD∽△ACD. ∴ ＝ ，即AD2＝BD·DC. 8. 　解析：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AD＝AB， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°. ∵∠EA'B＝∠EA'F＋∠FA'B＝∠DEA'＋∠EDA'， ∠EA'F＝∠EDA'＝60°， ∴∠DEA'＝∠FA'B， ∴△A'DE∽△FBA'， ∴ ＝ . ∵AD＝AB＝3 cm，DE＝1 cm， ∴EA＝EA'＝2 cm， ∴ ＝ ＝ ，故答案为 . $$