第9课时　离散型随机变量的分布列、均值与方差-2026年高考数学一轮复习

Content Navigation 内容导航 课前自助餐 授人以渔 课外阅读 01 02 03 第1页 第9课时　离散型随机变量的分布列、均值与方差 第‹#›页 [复习要求]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差． 第1页 √ 课前自助餐 01 PAST ONE 4 离散型随机变量的分布列 (1)一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量，我们称为离散型随机变量． (2)设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示： 回归教材 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 第1页 根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质： ①pi___0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝___． (3)两点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0<p<1，那么称离散型随机变量X服从参数为p的__________或0－1分布． X 0 1 P 1－p p ≥ 两点分布 1 第1页 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的概率分布列为： (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ xipi为随机变量X的均值或期望(数学期望)． (2)称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记作σ(X)． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 第1页 离散型随机变量的期望与方差具有的性质 (1)离散型随机变量X的期望E(X)与方差D(X)是一个数值，它们是随机变量X本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性． (2)离散型随机变量的期望反映随机变量取值的平均水平，而方差反映随机变量取值的离散程度． (3)若Y＝aX＋b，其中X是离散型随机变量，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)． (4)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(X)的值既可为正值也可为负值，而方差的值则一定是一个非负值． (5)D(X)＝ (xi－E(X))2pi＝ xi2pi－(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2. 第1页 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)抛掷一枚均匀硬币一次，出现正面向上的次数是随机变量． 夯实双基 答案　(1)√ (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． 答案　(2)√ 第1页 (3)若随机变量X的分布列如下，则X服从两点分布． X 2 5 P 0.3 0.7 答案　(3)× (4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布． 答案　(4)× 第1页 2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　) √ 第1页 3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1 √ 解析　X的所有可能取值为0，1， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8. 第1页 4．【多选题】已知两个离散型随机变量X，Y，满足Y＝2X＋1，其中X的分布列如下： 若E(X)＝1，则(　　) √ √ √ 第1页 第1页 5．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为： 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_____． X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 乙 解析　E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)，∴乙技术较好． 返 回 √ 授 人 以 渔 02 PAST TWO 16 题型一　 随机变量的概念(自主学习) 写出下列随机变量的所有可能取值，并说明随机变量所表示的意义． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； 【答案】　(1)见解析 【解析】　(1)X的所有可能取值为0，1，2. X＝0表示所取的三个球中没有白球； X＝1表示所取的三个球中有1个白球，2个黑球； X＝2表示所取的三个球中有2个白球，1个黑球． 第‹#›页 17 (2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y. 【答案】　(2)见解析 【解析】　(2)X的所有可能取值有2，3，…，12，Y的所有可能取值为1，2，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚均匀的骰子出现的点数，则 X＝2表示(1，1)； X＝3表示(1，2)，(2，1)； X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； …； 第1页 X＝12表示(6，6)． Y＝1表示(1，1)； Y＝2表示(1，2)，(2，1)，(2，2)； Y＝3表示(1，3)，(2，3)，(3，3)，(3，1)，(3，2)； …； Y＝6表示(1，6)，(2，6)，…，(6，6)，(6，5)，…，(6，1)． 第1页 (1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． (2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定值． 状元笔记 第1页 √ 思考题1　(1)抛掷两枚均匀的骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 第1页 (2)小王参加某比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可获得价值分别为1 000元，2 000元，3 000元的奖品(奖品重复设立)，小王三关中每个问题回答正确的概率依次是 ，且每个问题回答时相互没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果． 【答案】　见解析 第1页 【解析】　X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000， X＝0，表示第一关就没有通过； X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过； X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过； X＝6 000，表示三关都通过． 第1页 题型二　 离散型随机变量的分布列 √ 第‹#›页 24 第1页 (2)甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，他通过各项考试的概率依次为 ，且他是否通过每项考试互不影响．记甲同学三个项目中通过的个数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】　见解析 第1页 【解析】　随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. ∴随机变量X的分布列为： 第1页 分布列的两条重要性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性． 状元笔记 第1页 √ 思考题2　(1)【多选题】已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a √ √ 第1页 【解析】　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确． 第1页 (2)某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次抽奖机会，规则如下：抽奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球，顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止，否则就继续摸球，规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． ①求1名顾客摸球2次就停止的概率； ②记X为1名顾客抽奖1次获得的奖金数额，求随机变量X的分布列． 第1页 第1页 第1页 题型三　 离散型随机变量的均值与方差(微专题) 微专题1　均值与方差的性质 【多选题】设离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 √ √ √ 第‹#›页 34 【解析】　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确． 第1页 有关离散型随机变量性质问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)，D(Y)． 状元笔记 第1页 √ 思考题3　(2025·重庆八中期末)设X，Y为随机变量，且E(X)＝2，E(X2)＝6，Y＝2X－1，则D(Y)＝(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 【解析】　由题意，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝6－4＝2，故D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝8.故选B. 第1页 微专题2　离散型随机变量的均值与方差 (2025·河南郑州模拟预测)某公司拟通过摸球的方式决定员工收到节日红包的数额．在一个不透明的袋子中装有n个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球(m≤n)，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和即为该员工所获得的红包数额． (1)若n＝4，m＝2，袋中的球有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率； 第1页 【解析】　(1)记事件A为员工所获得的红包数额不低于90元，事件B为取到面值为60元的球， 因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且40＋50≥90，40＋60≥90，50＋60≥90，所以P(A)＝ 第1页 (2)若n＝5，m＝4，袋中的球有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】　(2)数学期望为96，方差为104 【解析】　(2)设X为员工获得的红包数额，则X的所有可能取值为80，90，100，110， 第1页 1.求离散型随机变量的分布列的三个步骤 (1)找：理解并确定ξ＝xi的意义，找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)． (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)．注意应用计数原理、古典概型等知识． (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质． 2．求离散型随机变量的均值与方差的方法 (1)写出X的分布列． (2)由均值的定义求E(X)． (3)由方差的定义求D(X)． 状元笔记 第1页 思考题4　(2025·沧衡八校联考)某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲、乙两队相互打比赛，已知甲队每一局获胜的概率均为 . (1)求甲、乙两队3局结束比赛的概率； 第1页 (2)记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望． 第1页 第1页 1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能取值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误的问题． 2．注意运用分布列的两个性质检验求得的分布列的正误． 3．本节求概率分布列的常用方法： 由古典概型、超几何分布求离散型随机变量的分布列． 4．对于离散型随机变量X，P(X＝k)表示的是变量X的值为k时事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的． 本课总结 返 回 √ 课 外 阅 读 03 PAST THREE 46 均值与方差在决策问题中的应用 (2025·四川绵阳模拟)“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元减60元；方案二：消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球(这些球除颜色不同其余均相同)，抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下： 抽到的红球个数 0 1 2 3 优惠折扣 无折扣 九折 八折 七折 第1页 (1)若选方案二，现有甲、乙两位顾客各获得一次抽奖机会，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠的概率； 第1页 (2)若李女士在该商场消费金额为x元(x>300)，请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议． 【答案】　(2)见解析 【解析】　(2)若选方案一：设实付金额为ξ1，则ξ1＝x－60，x>300. 若选方案二：设实付金额为ξ2，则ξ2的所有可能取值有x，0.9x，0.8x，0.7x，x>300. 第1页 所以当消费金额大于300元且小于400元时，选择方案一； 当消费金额等于400元时，选择方案一或方案二均可； 当消费金额大于400元时，选择方案二． 第1页 随机变量的均值和方差是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 状元笔记 第1页 思考题　(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． 第1页 (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； 【答案】　(1)0.686 【解析】　(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率为P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686. 第1页 (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】　(2)(ⅰ)由甲参加第一阶段比赛　(ⅱ)由甲参加第一阶段比赛 第1页 【解析】　(2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3＝q3(p3－3p2＋3p)， 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3＝p3(q3－3q2＋3q)， ∵0<p<q≤1， ∴P甲－P乙＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0， ∴P甲>P乙，则应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为X，则X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C31q(1－q)2， 第1页 P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C32q2(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3， ∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q. 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为Y，则Y的所有可能取值为0，5，10，15， 同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p. ∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)， 因为0<p<q≤1，则p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0， 则E(X)－E(Y)>0， ∴应该由甲参加第一阶段比赛． 返 回 感谢观看与聆听 第1页 eq \o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1)) eq \o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1)) eq \r(D（X）) eq \o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1)) eq \o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1)) A.eq \f(1,5)　　　　　　　　　 B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 解析　P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq \f(C41C22,C63)＝eq \f(4,5). X 0 1 2 P a b eq \f(1,6) A．a＝eq \f(1,6) B．b＝eq \f(2,3) C．E(Y)＝2 D．D(Y)＝eq \f(4,3) 解析　由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1－\f(1,6)，,a×0＋b×1＋2×\f(1,6)＝1，)) 解得b＝eq \f(2,3)，a＝eq \f(1,6)，故A、B正确； E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×1＋1＝3，故C错误； D(X)＝eq \f(1,6)×(0－1)2＋eq \f(2,3)×(1－1)2＋eq \f(1,6)×(2－1)2＝eq \f(1,3)， ∴D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝eq \f(4,3)，故D正确．故选ABD. eq \f(4,5)，eq \f(3,4)，eq \f(2,3) (1)(2025·黑龙江大庆模拟)已知随机变量X的分布列满足P(X＝n)＝eq \f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝(　　) A.eq \f(55,68)　　　　　　　　　 B.eq \f(55,136) C.eq \f(5,6) D.eq \f(4,5) 【解析】　因为P(X＝n)＝eq \f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)， 所以P(X＝1)＝eq \f(a,1×2)，P(X＝2)＝eq \f(a,2×3)， P(X＝3)＝eq \f(a,3×4)，P(X＝4)＝eq \f(a,4×5)， 则eq \f(a,1×2)＋eq \f(a,2×3)＋eq \f(a,3×4)＋eq \f(a,4×5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)))＝1，解得a＝eq \f(5,4)， 所以P(X＝1)＝eq \f(5,8)，P(X＝2)＝eq \f(5,24)， 所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(5,8)＋eq \f(5,24)＝eq \f(5,6).故选C. eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2) P(X＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,24)， P(X＝1)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)， P(X＝2)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(11,24)， P(X＝3)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4). X 0 1 2 3 P eq \f(1,24) eq \f(1,4) eq \f(11,24) eq \f(1,4) 【答案】　①eq \f(1,4)　②分布列见解析 【解析】　①由题意可得，第一次摸到的是红、黄、白球中的一个，概率为eq \f(3,4)， 不放回地摸球，第二次是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为eq \f(1,3)， 所以1名顾客摸球2次就停止的概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,4). ②1名顾客抽奖1次获得的奖金数额X的所有可能取值为0，10，20，30，40， 则P(X＝0)＝eq \f(1,4)，P(X＝10)＝eq \f(A21,A42)＝eq \f(1,6)， P(X＝20)＝eq \f(1,A42)＋eq \f(A22,A43)＝eq \f(1,6)， P(X＝30)＝eq \f(C21·A22,A43)＝eq \f(1,6)， P(X＝40)＝eq \f(A33,A44)＝eq \f(1,4). 所以1名顾客抽奖1次获得奖金数额X的分布列为： X 0 10 20 30 40 P eq \f(1,4) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 【答案】　(1)eq \f(3,5) eq \f(C21·C21＋C22,C42)＝eq \f(5,6)， 又P(AB)＝eq \f(C31,C42)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)， 所以P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(1,2),\f(5,6))＝eq \f(3,5). 所以P(X＝80)＝eq \f(1,C54)＝eq \f(1,5)，P(X＝90)＝eq \f(1,C54)＝eq \f(1,5)， P(X＝100)＝eq \f(2,C54)＝eq \f(2,5)，P(X＝110)＝eq \f(1,C54)＝eq \f(1,5)， 所以E(X)＝80×eq \f(1,5)＋90×eq \f(1,5)＋100×eq \f(2,5)＋110×eq \f(1,5)＝96， D(X)＝(80－96)2×eq \f(1,5)＋(90－96)2×eq \f(1,5)＋(100－96)2×eq \f(2,5)＋(110－96)2×eq \f(1,5)＝104. eq \f(2,3) 【答案】　(1)eq \f(1,3) 【解析】　(1)根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲连赢三局或甲连输三局，所以P＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)， 故甲、乙两队3局结束比赛的概率为eq \f(1,3). 【答案】　(2)分布列见解析，期望为eq \f(535,81) 【解析】　(2)根据题意可知，η的所有可能取值为3，5，6，7，8， 则P(η＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27)， P(η＝5)＝C31×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,27)， P(η＝6)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)， P(η＝7)＝C31×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)＋C42×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝eq \f(32,81)， P(η＝8)＝C42×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＝eq \f(16,81)， 所以η的分布列为： η 3 5 6 7 8 P eq \f(1,27) eq \f(2,27) eq \f(8,27) eq \f(32,81) eq \f(16,81) 　则E(η)＝3×eq \f(1,27)＋5×eq \f(2,27)＋6×eq \f(8,27)＋7×eq \f(32,81)＋8×eq \f(16,81)＝eq \f(535,81). 【答案】　(1)eq \f(99,200)　 【解析】　(1)设事件A：抽奖的顾客获得八折优惠，则P(A)＝eq \f(C32·C31,C63)＝eq \f(9,20)， 由于甲、乙两位顾客获得八折优惠的概率均为eq \f(9,20)， 则甲、乙两位顾客恰好有一人获得八折优惠的概率P＝C21×eq \f(9,20)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,20)))＝eq \f(99,200). P(ξ2＝x)＝eq \f(C30,C63)＝eq \f(1,20)，P(ξ2＝0.9x)＝eq \f(C31C32,C63)＝eq \f(9,20)， P(ξ2＝0.8x)＝eq \f(9,20)，P(ξ2＝0.7x)＝eq \f(C33,C63)＝eq \f(1,20)， 所以E(ξ2)＝eq \f(1,20)x＋eq \f(9,20)×eq \f(9,10)x＋eq \f(9,20)×eq \f(8,10)x＋eq \f(1,20)×eq \f(7,10)x＝eq \f(85,100)x. 若x－60<eq \f(85,100)x，解得300<x<400，此时选择方案一； 若x－60＝eq \f(85,100)x，解得x＝400，此时选择方案一或方案二均可； 若x－60>eq \f(85,100)x，解得x>400，此时选择方案二． $$