第6课时　随机事件的概率-2026年高考数学一轮复习

Content Navigation 内容导航 课前自助餐 授人以渔 01 02 第1页 第6课时　随机事件的概率 第‹#›页 [复习要求]　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式． 第1页 √ 课前自助餐 01 PAST ONE 4 样本点和样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点(用ω表示)，全体样本点的集合称为试验E的样本空间(用Ω表示)． 随机事件及其概率 (1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件(即样本空间Ω表示的事件)． (2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件(即∅表示的事件)． 回归教材 第1页 (3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件(即样本空间Ω的子集表示的事件)． (4)概率和频率： ①在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率． ②对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 第1页 基本事件 (1)只包含一个样本点的事件叫基本事件． (2)任何两个基本事件是互斥的． (3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 第1页 事件的关系与运算   定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_____事件A(或称事件A包含于事件B) ______________ (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 ______________ 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的________ _______ A∪B (或A＋B) 包含 B⊇A A＝B 并事件 (或和事件) 第1页 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当_______________且_______________，则称此事件为事件A与事件B的__________________ A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B__________ A∩B＝∅， 且________ 事件A发生 事件B发生 交事件(或积事件) 互为对立 A∪B＝Ω 第1页 概率的基本性质 (1)对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1. 必然事件的概率为___，不可能事件的概率为___，即P(Ω)＝___，P(∅)＝___． (2)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________． (3)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_________，P(A)＝________． (4)如果A⊆B，那么__________． (5)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________． 1 0 1 0 P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)≤P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 第1页 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)“下周六会下雨”是随机事件． 夯实双基 答案　(1)√ (2)事件发生的频率与概率是相同的． 答案　(2)× (3)随机事件和随机试验是一回事． 答案　(3)× 第1页 (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． 答案　(4)√ (5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生． 答案　(5)× (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． 答案　(6)√ 第1页 2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　) A．是对立事件　　　　　　 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 √ 解析　显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙或丁．综上，这两个事件为互斥但不对立事件． 第1页 3．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为(　　) A．0.496 B．0.504 C．0.5 D．1 √ 第1页 4．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P( )＝(　　) A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8 √ 解析　因为随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，所以P( )＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5. 第1页 5．天气预报显示端午假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率为________． 0.56 返 回 √ 授 人 以 渔 02 PAST TWO 17 题型一　 有限样本空间与随机事件(自主学习) (1)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次． ①若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； ②若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间． 【答案】　①见解析　②见解析 第‹#›页 18 【解析】　用m表示第一次摸出球的编号，用n表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(m，n)(m，n∈{1，2，3，4})表示． ①若第一次摸出的球不放回，则m≠n，此时的样本空间可表示为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点． ②若第一次摸出的球放回，则m，n可以相同．此时试验的样本空间可表示为Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}}，共有16个样本点． 第1页 (2)做抛掷两颗均匀的骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出： ①试验的样本空间； ②事件“点数之和大于8”包含的样本点； ③事件“点数相等”包含的样本点； ④事件“点数之和大于10”包含的样本点． 【答案】　①见解析　②见解析　③见解析　④见解析 第1页 【解析】　①这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． ②事件“点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． ③事件“点数相等”包含以下6个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)． ④事件“点数之和大于10”包含以下3个样本点：(5，6)，(6，5)，(6，6)． 第1页 解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的含义．判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现、可能出现或可能不出现． 状元笔记 第1页 题型二　 随机事件间的关系 (1)【多选题】某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(　　) A．A⊆B B．AB＝∅ C．A＋B＝“至少一次中靶” D．A与B互为对立事件 √ √ 第‹#›页 23 (2)判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中： ①恰有1名男生和恰有2名男生； ②至少有1名男生和至少有1名女生； ③至少有1名男生和全是男生； ④至少有1名男生和全是女生． 【答案】　①是互斥事件，②③不是互斥事件，④是对立事件 【解析】　①互斥事件． ②至少有1名男生包含2名男生、1名男生1名女生，至少有1名女生包含2名女生、1名女生1名男生，两事件不互斥． ③不是互斥事件． ④对立事件． 第1页 准确把握互斥事件与对立事件 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可能同时不发生． (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生． 状元笔记 第1页 √ 思考题1　(1)(2024·眉山市永寿高中期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　) A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球” 第1页 【解析】　对于A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B，“至少有2个白球”表示取出的2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个是红球，1个是白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于C，“恰有1个白球”表示取出的2个球1个是红球，1个是白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个是红球，1个是白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C. 第1页 (2)【多选题】(2025·河北沧州一模)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(　　) A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件 C．E＝C∪D D．A＝C∩E √ √ √ 第1页 【解析】　互斥事件表示两事件的交集为空集．事件A与事件D不可能同时发生，交集为空集，为互斥事件，故A正确； 对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生．事件B和事件E满足这两个特点，故B正确； C∪D表示至多参加一种科普活动，即为事件E，故C正确； C∩E表示只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误．故选ABC. 第1页 题型三　 概率的基本性质 √ (1)已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是 , 则下列说法正确的是(　　) A．A∪B与C是互斥事件，且是对立事件 B．A∪B∪C一定是必然事件 C．事件B∪C发生的概率一定不超过 D．事件A∪B发生的概率一定等于0.5 第‹#›页 30 【解析】　由事件A，B，C不一定两两互斥， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)≤0.5， P(B∪C)＝P(B)＋P(C)－P(BC)≤ ，且P(A∪B∪C)≤1， 所以A∪B∪C不一定是必然事件，无法判断A∪B与C是不是互斥事件， 所以A、B、D中说法错误．故选C. 第1页 (2)(2020·山东)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62%　　　　　　　　 B．56% C．46% D．42% √ 第1页 【解析】　记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB， 则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96， 所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46. 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C. 第1页 (3)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示： 求：①表中字母a的值； ②至少遇到4个红灯的概率； ③至多遇到5个红灯的概率． 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6及以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 【答案】　①0.2　②0.33　③0.97 第1页 【解析】　①由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. ②设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C， 因为事件A，B，C互斥， 所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33， 即至少遇到4个红灯的概率为0.33. ③至多遇到5个红灯为事件 . 则P( )＝1－P(C)＝1－0.03＝0.97. 第1页 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 (1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． (2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P( )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便． 状元笔记 第1页 思考题2　(1)(2025·山东仿真)某工厂生产了一批雪车，这批产品按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一台雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________． 0.78 第1页 √ √ 第1页 (3)围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出的2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的概率是(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.3 √ 第1页 【解析】　取出的2枚都是黑子的事件记为A1，取出的2枚都是白子的事件记为A2，显然A1与A2互斥，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.3， 从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的事件记为A，其对立事件是A1＋A2， 所以从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的概率P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝0.6.故选B. 第1页 题型四　 随机事件的频率与概率 (2020·课标全国Ⅰ，文)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 第‹#›页 41 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； 【答案】　(1)0.4，0.28　 第1页 (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 【答案】　(2)15元/件，10元/件，甲分厂 【解析】　(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润(元/件) 65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20 第1页 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润(元/件) 70 30 0 －70 频数 28 17 34 21 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务． 第1页 随机事件的频率与概率的解题策略 (1)随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率，因此，利用频率估计概率也成为近几年高考的命题热点． (2)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计算，写出频率． (3)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率． 状元笔记 第1页 思考题3　(2025·北京平谷模拟预测)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × × √ 217 √ √ × × 200 √ √ √ × 383 √ × √ × 100 × × × √ 第1页 (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； 【答案】　(1)0.417 【解析】　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品的顾客有200＋217＝417(位)． 所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率估计为 ＝0.417. 第1页 (2)假设每位顾客是否购买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品，1名顾客购买了三种商品的概率； 【答案】　(2)0.117 6 【解析】　(2)设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买了一种商品，事件C：顾客购买了三种商品． 从统计表可以看出，购买了两种商品的顾客有100＋217＋383＝700(位)，购买了一种商品的顾客有100位，购买了三种商品的顾客有200位． 第1页 第1页 (3)如果顾客购买了甲商品，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性更大．(结论不要求证明) 【答案】　(3)购买丙商品的可能性更大 所以该顾客购买丙商品的可能性最大． 第1页 1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化． 2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1. 3．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是“互斥”中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而不充分条件． 本课总结 第1页 4．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合互不相交，事件A的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成集合的补集． 5．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件 的概率，然后利用P(A)＝1－P( )求解． 返 回 感谢观看与聆听 THANKS 第1页 eq \f(nA,n) eq \o(A,\s\up20(－)) eq \o(A,\s\up20(－)) 解析　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地都不降雨为eq \o(A,\s\up20(－)) eq \o(B,\s\up20(－))， 且eq \o(A,\s\up20(－))与eq \o(B,\s\up20(－))相互独立， 所以P(eq \o(A,\s\up20(－)) eq \o(B,\s\up20(－)))＝P(eq \o(A,\s\up20(－)))P(eq \o(B,\s\up20(－)))＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.56. eq \f(1,6)，eq \f(1,3)，eq \f(1,2) eq \f(5,6) eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,6) eq \o(C,\s\up20(－)) eq \o(C,\s\up20(－)) eq \o(A,\s\up20(－)) 【解析】　设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A，B，C，且A，B，C彼此互斥， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＋P（B）＝0.93，,P（A）＋P（C）＝0.85，,P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝0.78，,P（B）＝0.15，,P（C）＝0.07，))所以抽到一等品的概率为0.78. (2)【多选题】已知A，B为两个事件，P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，则P(AB)的值可能为(　　) A.eq \f(1,6) B.eq \f(5,16) C.eq \f(3,8) D.eq \f(5,8) 【解析】　因为P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，所以eq \f(3,4)≤P(A∪B)≤1， 又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)－P(AB)＝eq \f(5,4)－P(AB)， 所以eq \f(3,4)≤eq \f(5,4)－P(AB)≤1， 解得eq \f(1,4)≤P(AB)≤eq \f(1,2).故选BC. 【解析】　(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq \f(40,100)＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq \f(28,100)＝0.28. 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq \f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15(元/件)． 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq \f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10(元/件)． eq \f(417,1 000) 所以P(A)的估计值为eq \f(700,1 000)＝eq \f(7,10)，P(B)的估计值为eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，P(C)的估计值为eq \f(200,1 000)＝eq \f(1,5). 依题意，在随机抽取的4名顾客中，恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品，1名顾客购买了三种商品的概率为C42×[P(A)]2×C21P(B)×P(C)＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10))) eq \s\up12(2)×2×eq \f(1,10)×eq \f(1,5)＝eq \f(147,1 250)＝0.117 6. 因此所求的概率估计为0.117 6. 【解析】　(3)因为在这1 000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率的估计值为eq \f(200＋383,1 000)＝eq \f(583,1 000)， 顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率的估计值为eq \f(100,1 000)<eq \f(583,1 000). eq \o(A,\s\up20(－)) eq \o(A,\s\up20(－)) eq \o(A,\s\up20(－)) $$