专题研究1　直线与双曲线的位置关系-2026年高考数学一轮复习

Content Navigation 内容导航 专题要点 专题讲解 课外阅读 01 02 03 第1页 专题研究一　直线与双曲线的位置关系 第‹#›页 √ 专 题 要 点 01 PAST ONE 3 1．直线与双曲线的位置关系(代数法) (2)当b2－a2k2≠0时，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相离：Δ<0. 第1页 2．直线与双曲线的位置关系(几何法) 可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系．例如：设此双曲线的渐近线斜率为±k，(1)当直线过点P且斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如图，直线①③均与双曲线右支交于一点；(2)当直线过点P且斜率在(－k，k)上时，直线与双曲线左、右两支各交于一点，如直线②；(3)当直线过点P且斜率在(－∞，－k) ∪(k，＋∞)上时，直线可能与双曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与双曲线右支相切，如直线④，还可能与双曲线相离，如直线⑤. 返 回 √ 专 题 讲 解 02 PAST TWO 6 题型一　 直线与双曲线的位置关系 一个公共点的直线有(　　) A．1条　　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 √ 第‹#›页 7 (2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k 的取值范围是____________． 【解析】　由题意知k≠±1，联立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由题意此方程有两个不等的正根， 第1页 状元笔记 直线与双曲线位置关系的判断方法 将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例： (1)若a≠0且Δ>0，则直线与双曲线相交，有两个公共点； (2)若a≠0且Δ＝0，则直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； (3)若a≠0且Δ<0，则直线与双曲线相离，没有公共点； (4)若a＝0且b≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点； (5)若a＝0且b＝0，则直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点． 第1页 思考题1　(1)直线l：y＝2x和双曲线x2－y2＝4的交点个数为________． 0 【解析】　(几何法)双曲线的渐近线为x2－y2＝0，即y＝±x. ∵双曲线焦点在x轴上，l过原点，且l的斜率大于渐近线斜率，∴直线l与双曲线相离，交点个数为0. 第1页 第1页 题型二　 弦长问题 第‹#›页 12 第1页 【解析】　(2)由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)， 由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)， 即x＋y－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 第1页 第1页 状元笔记 第1页 第1页 题型三　 中点弦问题 【答案】　不能，理由见解析 第‹#›页 18 第1页 状元笔记 直线与双曲线相交所得弦的中点问题常用点差法，但是点差法只是代数运算，所以还需验证直线与双曲线是否相交． 第1页 √ 思考题3　已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　) 第1页 第1页 题型四　 直线与双曲线的综合问题 (1)求双曲线C的标准方程； 第‹#›页 23 a2＋b2＝c2，③ 由①②③可得a2＝5，b2＝4， 第1页 (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围． 【解析】　(2)由题意知直线l不过点A. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)． 整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0， 由4－5k2≠0且Δ>0， 第1页 由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ， 又A(0，2)，且易知AD的斜率存在， 第1页 第1页 (a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点． (1)当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率； 第1页 第1页 (2)当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围． 【解析】　(2)若C的焦距为2，则c＝1，即F(1，0)． 由于直线l不为水平直线，可设其方程为x＝my＋1. 结合b2＝1－a2(0<a<1)， 第1页 得[a2(m2＋1)－m2]y2＋2m(a2－1)y－(a2－1)2＝0，则a2(m2＋1)－m2≠0，Δ>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 第1页 第1页 返 回 √ 课 外 阅 读 03 PAST THREE 34 一、圆锥曲线第三定义及其应用 【人教A版选修一P108例3，P109练习T4】 圆锥曲线的第三定义：平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(除去A1，A2两点)，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．当e2－1＞0时，轨迹为双曲线(除去A1，A2两点)，当－1<e2－1<0时，轨迹为椭圆(除去A1，A2两点)． 第1页 第1页 第1页 √ 第1页 第1页 第1页 第1页 二、重温高考 √ 第1页 第1页 2．【多选题】(2022·全国乙卷，理)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且 √ √ 第1页 0)，F2(c，0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q| 第1页 第1页 3．(2021·全国甲卷，理)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) √ 第1页 √ 第1页 第1页 A．4 B．8 C．16 D．32 √ 第1页 第1页 √ 第1页 第1页 第1页 4 第1页 2 第1页 第1页 第1页 返 回 感谢观看与聆听 THANKS 第1页 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝kx＋m，)) 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)且m≠0时，直线与双曲线相交于一点． (1)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1，过点P(2，1)与双曲线C有且只有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k2＋20（1－k2）>0，,－\f(2k,1－k2)>0，,\f(－5,1－k2)>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)<k<\f(\r(5),2)，,k>1或－1<k<0，,k>1或k<－1，))所以1<k<eq \f(\r(5),2). (2)(2024·北京)若直线y＝k(x－3)与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________． eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或－\f(1,2))) 【解析】　∵双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)，∴只有当直线y＝k(x－3)与渐近线平行时，该直线与双曲线才只有一个公共点，∴k的取值为±eq \f(1,2)(任答一个即可)． 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线eq \f(y2,6)－eq \f(x2,2)＝1的渐近线相同，且经过点(2，3)． (1)求双曲线C的方程； 【答案】　(1)x2－eq \f(y2,3)＝1　 【解析】　(1)设所求双曲线C的方程为eq \f(y2,6)－eq \f(x2,2)＝λ，λ≠0， 代入点(2，3)得eq \f(32,6)－eq \f(22,2)＝λ，即λ＝－eq \f(1,2)， ∴双曲线C的方程为eq \f(y2,6)－eq \f(x2,2)＝－eq \f(1,2)， 即x2－eq \f(y2,3)＝1. (2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，倾斜角为eq \f(3,4)π，l与双曲线C交于A，B两点，求△F1AB的面积． 【答案】　(2)6eq \r(2) 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x2－\f(y2,3)＝1，))得2x2＋4x－7＝0， 满足Δ>0且x1＋x2＝－2，x1x2＝－eq \f(7,2)，由弦长公式得|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋（－1）2)×eq \r(（－2）2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2))))＝eq \r(2)×3eq \r(2)＝6， 点F1(－2，0)到直线AB：x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－2＋0－2|,\r(2))＝2eq \r(2). 所以S△F1AB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(2)＝6eq \r(2). 弦长的求法 直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）－4x1x2). f(y2,4)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题2　已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq \r(2)，则实数k的值为_________________． ±eq \r(3)或±eq \f(\r(41),3) 【解析】　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq \f(y2,4)＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，由Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，得k2<5，所以k2<5且k≠±2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq \f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))\s\up12(2)＋\f(20,4－k2))＝8eq \r(2)，解得k＝±eq \r(3)或±eq \f(\r(41),3). (人教A版选修一P128习题3.2T13)已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 【解析】　不能．理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，代入双曲线方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x12－\f(y12,2)＝1，,x22－\f(y22,2)＝1.)) 两式相减得x12－x22＝eq \f(y12,2)－eq \f(y22,2)， 即(x1－x2)·(x1＋x2)＝eq \f(（y1－y2）·（y1＋y2）,2)， 若P是线段AB的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，即kAB＝2，∴直线AB的方程为2x－y－1＝0.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,2)＝1，,2x－y－1＝0，))得2x2－4x＋3＝0，则Δ＝－8<0，方程无解，∴直线l不存在． A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 【解析】　由已知易得l的斜率为k＝kFM＝1.设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x12,a2)－\f(y12,b2)＝1，,\f(x22,a2)－\f(y22,b2)＝1，))两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4b2,5a2)，从而eq \f(4b2,5a2)＝1，即4b2＝5a2.又c＝3，所以a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，验证得满足题意，故选B. 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq \f(2\r(5),5)x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6. 【答案】　(1)eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1　 【解析】　(1)由题意得eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(5),5)，① S△AF1F2＝eq \f(1,2)×2c×b＝6，② ∴双曲线C的标准方程是eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1. 【答案】　(2)m<－eq \f(9,2)或0<m<eq \f(8,9) 将y＝kx＋m与eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1联立，消去y， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－5k2≠0④，,80（m2－5k2＋4）>0⑤，)) ∴x1＋x2＝eq \f(10mk,4－5k2)，x1x2＝－eq \f(5m2＋20,4－5k2)， ∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5km,4－5k2)， y0＝kx0＋m＝eq \f(4m,4－5k2). ∴kAD＝eq \f(y0－2,x0)＝eq \f(\f(4m,4－5k2)－2,\f(5km,4－5k2))＝－eq \f(1,k)， 化简得10k2＝8－9m⑥， 由④⑤⑥，得m<－eq \f(9,2)或m>0. 由10k2＝8－9m>0，得m<eq \f(8,9). 综上，m<－eq \f(9,2)或0<m<eq \f(8,9). (x2,a2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题4　(2025·江苏南通如皋中学阶段考)设双曲线C：－eq \f(y2,b2)＝1 【答案】　(1)eq \f(\r(5)＋1,2)　 【解析】　(1)当直线l与x轴垂直时，由对称性知△OAB是等腰直角三角形，于是|OF|＝|AF|＝|BF|，即c＝eq \f(b2,a)＝eq \f(c2－a2,a)，则e2－e－1＝0， 由于e>1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5)＋1,2)，所以C的离心率为eq \f(\r(5)＋1,2). 【答案】　(2)(eq \r(5)－1，2) 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,a2)－\f(y2,1－a2)＝1，)) 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－2m（a2－1）,a2（m2＋1）－m2)，,y1y2＝\f(－（a2－1）2,a2（m2＋1）－m2)，)) 由于A，B两点均在C的右支上，故y1y2<0，则a2(m2＋1)－m2>0，则m2<eq \f(a2,1－a2). eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(OB,\s\up18(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2＝ (m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝(m2＋1)·eq \f(－（a2－1）2,a2（m2＋1）－m2)＋m·eq \f(－2m（a2－1）,a2（m2＋1）－m2)＋1 ＝eq \f(m2a2（1－a2）－a4＋3a2－1,a2（m2＋1）－m2). 由∠AOB恒为锐角，得对于∀m2<eq \f(a2,1－a2)，均有eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(OB,\s\up18(→))>0，则m2a2(1－a2)－a4＋3a2－1>0恒成立．由于a2(1－a2)>0，所以不等号左边的式子随m2的增大而增大， 所以只需当m2＝0时，－a4＋3a2－1>0成立即可，解得eq \f(\r(5)－1,2)<a<eq \f(\r(5)＋1,2)(负值舍去)， 结合0<a<1，可知a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))， 则C的实轴长的取值范围是(eq \r(5)－1，2)． A，B为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则有kPA·kPB＝e2－1＝－eq \f(b2,a2). A，B为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴两端点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则有kPA·kPB＝e2－1＝－eq \f(b2,a2). A，B为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴两端点，P是双曲线上异于A，B的任一点，则有kPA·kPB＝e2－1＝eq \f(b2,a2). A，B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，若kPA，kPB存在，则有kPA·kPB＝e2－1＝－eq \f(b2,a2). A，B是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的任一点，若kPA，kPB存在，则有kPA·kPB＝e2－1＝eq \f(b2,a2). (1)已知过原点O的直线MN与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于M，N两点，P是双曲线C上异于M，N的点，若直线PM，PN的斜率之积kPM·kPN＝eq \f(5,4)，则双曲线C的离心率e＝(　　) A.eq \f(3,2)　　　　　　　　　 B.eq \f(9,4) C.eq \f(5,4) D．2 【解析】　方法一：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)．由kPM·kPN＝eq \f(5,4)，可得eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(5,4)，即eq \f(y02－y12,x02－x12)＝eq \f(5,4).又因为P(x0，y0)，M(x1，y1)均在双曲线上，所以eq \f(x02,a2)－eq \f(y02,b2)＝1，eq \f(x12,a2)－eq \f(y12,b2)＝1，作差可得eq \f(x02－x12,a2)＝eq \f(y02－y12,b2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(3,2). 方法二(第三定义法)：由双曲线第三定义得kPM·kPN＝e2－1＝eq \f(5,4)，又e＞1，故e＝eq \f(3,2). (2)已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且AB，AD所在直线斜率之积的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(2,3)))，则椭圆Ω离心率的取值范围是__________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3))) 【解析】　由题意，D，B关于原点对称，设D(x0，y0)，A(x，y)，x≠x0且x≠－x0，则B(－x0，－y0)，∴kAD·kAB＝eq \f(y－y0,x－x0)×eq \f(y＋y0,x＋x0)＝eq \f(y2－y02,x2－x02)＝eq \f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,a2)))－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x02,a2))),x2－x02)＝－eq \f(b2,a2)， ∴－eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(2,3)))，∴eq \f(c2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))，∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3))). 1．(2023·全国甲卷，理)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5) 解析　因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq \r(5)，所以由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝5，得eq \f(b,a)＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.由题意易知渐近线y＝2x与圆相交，圆心(2，3)到直线y＝2x的距离d＝eq \f(|2×2－3|,\r(12＋22))＝eq \f(\r(5),5)，所以|AB|＝2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq \f(4\r(5),5)，故选D. cos∠F1NF2＝eq \f(3,5)，则C的离心率为(　　) A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(\r(13),2) D.eq \f(\r(17),2) 解析　不妨假设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1(－c， ＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝eq \f(3,5)，所以sin∠F1NF2＝eq \f(4,5)，故|NF2|＝eq \f(5,2)a，|QN|＝eq \f(3,2)a，所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋eq \f(3,2)a.由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，所以2b＋eq \f(3,2)a－eq \f(5,2)a＝2a，所以2b＝3a.两边平方得 4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，整理得4c2＝13a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(13,4)，故eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，即e＝eq \f(\r(13),2).当两个交点M，N都在双曲线的左支上时， 如图2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝eq \f(3,5)，所以sin∠F1NF2＝eq \f(4,5)，可得|NF2|＝eq \f(5a,2)，|NQ|＝eq \f(3a,2)，所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝eq \f(3a,2)－2b，所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝eq \f(7a,2)－2b，又|NF2|＝eq \f(5a,2)，所以eq \f(7a,2)－2b＝eq \f(5a,2)，即a＝2b，e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2).故选AC. A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13) 解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，由余弦定理得|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°)＝eq \r(7)m，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2). 4．(2020·天津)设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1 解析　方法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋eq \f(y,b)＝1，而eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝0和eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，∴－eq \f(b,a)＝－b，eq \f(b,a)·(－b)＝－1，得a＝1，b＝1.故选D. 方法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，l过点(1，0)，(0，b)，所以eq \f(b－0,0－1)＝－1，b＝1.故选D. 5．(2020·课标全国Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) 解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，不妨设D(a，b)，E(a，－b)，则S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)×a×2b＝ab＝8，又c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2eq \r(2)时等号成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B. 6．(2019·课标全国Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析　如图，连接OP. ∵|PQ|＝|OF|＝c，∴PQ过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，0)). ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(c,2))).又∵|OP|＝a，∴a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(c2,2)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a))) eq \s\up12(2)＝2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选A. 7．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A| ＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． eq \f(3,2) 解析　因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝eq \r(|F1A|2－|AF2|2)＝eq \r(132－52)＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，所以a＝4，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2). 8．(2021·全国乙卷，理)已知双曲线C：eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一条渐近线为eq \r(3)x＋my＝0，则C的焦距为________． 解析　双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±eq \f(1,\r(m))x，即x±eq \r(m)y＝0，又双曲线的一条渐近线为eq \r(3)x＋my＝0，即x＋eq \f(m,\r(3))y＝0，对比两式可得m＝3，所以双曲线的焦距为2eq \r(3＋1)＝4. 9．(2020·课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 解析　设B(c，yB)，因为B为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上的点，所以eq \f(c2,a2)－eq \f(yB2,b2)＝1，所以yB2＝eq \f(b4,a2)，又易知B为第一象限内的点，则yB＝eq \f(b2,a).因为AB的斜率为3，所以eq \f(\f(b2,a),c－a)＝3， 所以b2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a， 所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝2. 10．(2018·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． eq \f(2\r(3),3) 解析　双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由对称性，不妨设圆A与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x交于M，N两点，∵|AM|＝|AN|＝b，∠MAN＝60°，∴|MN|＝b，所以点A(a，0)到bx－ay＝0的距离为eq \f(\r(3),2)b，所以eq \f(\r(3),2)b＝eq \f(ab,\r(a2＋b2))，∴a2＝3b2，∴a2＝3(c2－a2)，∴4a2＝3c2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3). $$