第7课时　双曲线-2026年高考数学一轮复习

Content Navigation 内容导航 课前自助餐 授人以渔 01 02 第1页 第7课时　双曲线 第‹#›页   [复习要求]　1.了解双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.2.知道双曲线的几何性质.3.了解双曲线的一些实际应用． 第1页 √ 课前自助餐 01 PAST ONE 4 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值___________________ _________的点的轨迹叫做双曲线． 回归教材 等于非零常数2a(2a< |F1F2|) 双曲线的标准方程与几何性质 第1页 性质 焦点 ______________________ ___________________ 焦距 ________________ 范围 ______________ _______________ 对称性 ___________________________ 顶点 _________________ __________________ 轴 实轴长为2a，虚轴长为2b 离心率 ________________ 渐近线 __________________ _________________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 关于x轴，y轴和原点对称 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 第1页 归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)双曲线的焦点到渐近线的距离总是b. 第1页 线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 第1页 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． 夯实双基 答案　(1)×　 答案　(2)×　 第1页 答案　(3)√　 答案　(4)√　 答案　(5)√ 第1页 2．(2024·全国甲卷，理)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，且经过点(－6，4)，则该双曲线的离心率为(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．3 √ 第1页 3．已知双曲线C：x2－2y2＝6，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． (3，0) 第1页 －3 第1页 答案　9 解析　由题知2c＝8，∴c＝4，∴a2＋12＝16，解得a＝2.M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5<a＋c＝6，∴M在双曲线上的左支上，∴|MF2|＝|MF1|＋2a＝9. 返 回 √ 授 人 以 渔 02 PAST TWO 15 题型一　 双曲线的定义及应用 (1)【多选题】(2025·江苏四校联考)已知圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则Q的轨迹可能为(　　) A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 √ √ √ 第‹#›页 16 【解析】　连接QA，MA，因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以|QA|＝|PQ|，若A在圆M内部，且不为圆心，则|MA|<4，|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝4，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，故A正确． 若A在圆M外部，则||QA|－|QM||＝||PQ|－|QM||＝|PM|＝4，|MA|>4， 所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确． 若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M. 若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点， 所以Q点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，故D正确．不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误．故选ABD. 第1页 【解析】　由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2. ∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10， ∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24. 24 第1页 3 【解析】　方法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2 第1页 方法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直 第1页 状元笔记 (1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即轨迹是双曲线还是双曲线的一支． (2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点的位置． 第1页 思考题1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________ __________________ ． 【解析】　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2，则A，B分别在MC1和MC2上， 根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 第1页 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 第1页 4 【解析】　如图所示，延长F2M交PF1于Q， 由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM， 所以△QPF2是等腰三角形，且|PQ|＝|PF2|，M是QF2的中点． 根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8， 即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线， 第1页 题型二　 双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2，2)； 【解析】　(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)， 将(2，2)代入上述方程，得22－4×22＝λ，∴λ＝－12. 第‹#›页 25 第1页 第1页 第1页 状元笔记 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定， 第1页 注意：①双曲线与椭圆方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ②常见双曲线方程的设法： (ⅰ)已知a＝b的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； (ⅱ)已知过两点的双曲线的方程可设为Ax2－By2＝1(AB>0)； 第1页 思考题2　(1)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴 双曲线方程为________________． 【解析】　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，即λ＝8， 第1页 √ 第1页 第1页 题型三　 双曲线的几何性质(微专题) 微专题1　与渐近线有关的问题 √ 第‹#›页 34 第1页 右焦点分别为F1，F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e·sin∠PF1F2＝1，且S△F1PF2＝4a2，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．3x±y＝0 D．x±3y＝0 √ 【解析】　设|PF1|＝t(t>0)，则|PF2|＝t－2a， 第1页 第1页 状元笔记 第1页 (4)焦点到渐近线的距离恒为b. 第1页 【解析】　双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，则圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.∵双曲线的 第1页 线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________． 【解析】　不妨令A在x轴上方，设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，且|FA|＝b， 又3|FA|＝|AB|，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点， 所以△F1BF为等腰三角形，且|F1B|＝|F1F|. 又|FB|＝4b，∴|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c， 即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)， 第1页 第1页 微专题2　求双曲线的离心率 2 【解析】　P在以F1F2为直径的圆上，∴∠F1PF2＝90°，又2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∵|PO|＝|OF2|＝c(O为坐标原点)，∴△POF2为等边三角形， 第1页 √ 【解析】　设坐标原点为O，双曲线的另一个焦点为F′，连接MF′，NF′，由对称性知|OF|＝|OF′|，|OM|＝|ON|，所以四边形MFNF′是平行四边形， 第1页 第1页 第1页 第1页 方法二：设|AF2|＝2m(m>0)，∠F1AF2＝θ，∴|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m， 在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2⇒(a＋3m)(a－m)＝0⇒a＝m， ∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a， 第1页 √ 第1页 第1页 状元笔记 双曲线离心率的求法 (1)直接法：由题设条件求出a，c，从而得e. 第1页 思考题4　(1)已知双曲线的渐近线方程是2x±y＝0，则该双曲线 的离心率等于________________． 【思路】　因为只知道渐近线方程，无法确定焦点在x轴上还是在y轴上，所以需分情况求解．由渐近线方程中的a，b的关系，结合c2＝a2＋b2，得出离心率． 【解析】　依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±2x. 第1页 第1页 √ 第1页 【解析】　方法一(几何法)：设双曲线的左焦点为F1，连接NF1.O为坐标原点． 第1页 第1页 √ 第1页 【解析】　由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，则四边形AF1BF2为平行四边形， 设|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m， 由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a， 即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a， 第1页 第1页 √ 第1页 第1页 本课总结 双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”“直接法”“待定系数法”“数形结合”等．但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩．复习中要注意如下两个问题： (1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程； (2)求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，此方法的实质是待定系数法． 返 回 感谢观看与聆听 THANKS 第1页 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图形 e＝eq \f(c,a)(e>1) eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝±\f(b,a)x)) eq \f(x,b)±eq \f(y,a)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝±\f(a,b)x)) (3)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)． (4)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共焦点的圆锥曲线方程为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ<a2，且λ≠－b2)． (5)eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq \f(y2,b2)－eq \f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线、相等的焦距． (6)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的形状与e的关系：|k|＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲 (2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0. (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2). (5)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,b2)－eq \f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,e12)＋eq \f(1,e22)＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)． C．2 D.eq \r(2) 解析　由题可设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 根据已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝c2＝42，,\f(42,a2)－\f(（－6）2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝4.)) 则该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,2)＝2.故选C. 解析　双曲线C的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，a＝eq \r(6)，b＝eq \r(3)，则c＝eq \r(a2＋b2)＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，即x±eq \r(2)y＝0，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为eq \f(3,\r(1＋2))＝eq \r(3). eq \r(3) 4．(2022·北京)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________． 解析　依题意得m<0，则双曲线的标准方程可化为y2－eq \f(x2,－m)＝1，此时双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,\r(－m))x＝±eq \f(\r(3),3)x，解得m＝－3. 5．(人教A版选修一P121T4改编)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,12)＝1(a>0)的左、右焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，求|MF2|的值． (2)过双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________． (3)设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________． ＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×6＝3. 角三角形，所以S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))＝eq \f(3,tan 45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)． x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) 故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)． (2)已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________． 所以|MO|＝eq \f(1,2)|QF1|＝4. 【答案】　(1)eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1　 ∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1. (2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，焦距为10； 【答案】　(2)eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1　 【解析】　(2)设所求双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1，∴c＝eq \r(5λ)，∴eq \r(5λ)＝5，λ＝5； 当λ<0时，双曲线标准方程为eq \f(y2,－λ)－eq \f(x2,－4λ)＝1，∴c＝eq \r(－5λ)，∴eq \r(－5λ)＝5，λ＝－5.∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1. (3)经过两点P(－3，2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)； 【答案】　(3)eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1　 【解析】　(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)． ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).)) ∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1. (4)离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))． 【答案】　(4)eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1 【解析】　(4)依题意，e＝eq \r(2)⇒a＝b.设双曲线方程为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m)＝1(m≠0)， 则eq \f(16,m)－eq \f(10,m)＝1，解得m＝6.∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1. 可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． (ⅲ)已知渐近线为eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0的双曲线的方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)． eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1. (2)(2025·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1 【解析】　由题意，虚轴长为2eq \r(2)，则2b＝2eq \r(2)，解得b＝eq \r(2)，∵F2(c，0)，设P(c，y)，∴eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq \f(b2,a)＝±eq \f(2,a)，∴|PF2|＝eq \f(2,a)，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|＝eq \f(4,a)，∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴eq \f(4,a)－eq \f(2,a)＝2a，解得a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,2)＝1. (1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±x D．y＝±2x 【解析】　由对称性不妨令双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点(c，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离为eq \f(\r(3),2)c，得eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),2)c，可得eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，则C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x. (2)(2024·河南郑州二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、 因为e·sin∠PF1F2＝1，所以sin∠PF1F2＝eq \f(1,e)＝eq \f(a,c)，所以点P到直线F1F2的距离为|PF1|sin∠PF1F2＝eq \f(at,c)， 又|F1F2|＝2c，所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)·2c·eq \f(at,c)＝4a2，解得t＝4a，即|PF1|＝4a，从而|PF2|＝2a.又因为sin∠PF1F2＝eq \f(1,e)＝eq \f(a,c)， 所以cos∠PF1F2＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))\s\up12(2))＝eq \f(b,c)，在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠PF1F2＝eq \f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2×4a×2c)＝eq \f(b,c)， 所以4ab＝4a2＋c2－a2＝b2＋4a2，即eq \f(b2,a2)－eq \f(4b,a)＋4＝0，解得eq \f(b,a)＝2，则双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0. (1)若双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则其渐近线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即y＝±eq \f(b,a)x. (2)若双曲线的渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，即eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)． (3)若所求双曲线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，则其方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)． (x2,m2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题3　(1)(2022·全国甲卷，理)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________． eq \f(\r(3),3) 渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝eq \f(|0±2m|,\r(1＋m2))＝1，得m＝eq \f(\r(3),3)(负值舍去)． (2)已知F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直 y＝±eq \f(4,3)x 将b＝eq \f(c＋a,2)代入得eq \f(（c＋a）2,4)＝(c＋a)(c－a)，得c＋a＝4(c－a)，则c＝eq \f(5,3)a， 又c2＝a2＋b2，所以b＝eq \f(4,3)a， 则渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x. (1)(2025·浙江名校试题)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是圆x2＋y2＝c2与C的渐近线的一个交点，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则双曲线C的离心率为________． ∴∠POF2＝60°，∴tan 60°＝eq \f(b,a)，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝2. (2)(2025·浙江适应性考试)已知过原点且斜率为eq \f(4,3)的直线l交双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)于M，N两点，点F是双曲线的一个焦点，若eq \o(MF,\s\up18(→))·eq \o(NF,\s\up18(→))＝0，则双曲线的离心率为(　　) A.eq \r(5) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(2) 又eq \o(MF,\s\up18(→))·eq \o(NF,\s\up18(→))＝0，所以四边形MFNF′是矩形， 故△MFF′是直角三角形，|OM|＝eq \f(1,2)|FF′|＝c. 不妨令点M在第一象限，直线l的倾斜角为θ， 则tan θ＝eq \f(4,3)，sin θ＝eq \f(4,5)，cos θ＝eq \f(3,5)， 则点M(ccos θ，csin θ)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)c，\f(4,5)c)). 又点M在双曲线上，所以eq \f(9c2,25a2)－eq \f(16c2,25b2)＝1，即9e4－50e2＋25＝0， 即(e2－5)(9e2－5)＝0，又e>1，所以e2＝5，e＝eq \r(5).故选A. (3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，eq \o(F1A,\s\up18(→))⊥eq \o(F1B,\s\up18(→))，eq \o(F2A,\s\up18(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up18(→))，则C的离心率为________． eq \f(3\r(5),5) 【解析】　方法一：设A(x0，y0)，B(0，t)，由F1(－c，0)，F2(c，0)，eq \o(F2A,\s\up18(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up18(→))， 得x0＝eq \f(5,3)c，t＝－eq \f(3,2)y0，∵eq \o(F1A,\s\up18(→))⊥eq \o(F1B,\s\up18(→))，∴eq \o(F1A,\s\up18(→))·eq \o(F1B,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，y0))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(3,2)y0))＝eq \f(8,3)c2－eq \f(3,2)y02＝0， ∴y02＝eq \f(16,9)c2，而eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(y02,b2)＝1， ∴eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1， ∴25c2b2－16c2a2＝9a2b2，∴25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，25c4－50a2c2＋9a4＝0，(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0， ∴c2＝eq \f(9a2,5)或eq \f(1,5)a2(舍)，∴e＝eq \f(3\r(5),5). ∴cos θ＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5). (4)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) 【解析】　由题可知|AB|＝eq \f(2b2,a)，不妨设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(bc,a)))，则|CD|＝eq \f(2bc,a)，∴eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)·eq \f(2bc,a)，∴b≥eq \f(3,5)c，b2≥eq \f(9,25)c2，∴c2－a2≥eq \f(9,25)c2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(25,16)，所以eq \f(c,a)＝e≥eq \f(5,4).故选B. (2)等价转化法：由e＝eq \f(c,a)或e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))等公式将已知条件转化为关于e的等式，从而得e. eq \r(5)或eq \f(\r(5),2) ①若双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，故有eq \f(b,a)＝2，所以离心率e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5)； ②若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，故有eq \f(a,b)＝2，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)， 所以离心率e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(5),2). 综上，离心率e＝eq \r(5)或eq \f(\r(5),2). (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线y＝－eq \f(b,a)x的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于点N，若eq \o(FN,\s\up18(→))＝2eq \o(FM,\s\up18(→))，则该双曲线的离心率为(　　) A.eq \r(7) B.eq \r(5) C．2 D.eq \r(3) ∵eq \o(FN,\s\up18(→))＝2eq \o(FM,\s\up18(→))，∴M为FN的中点，又O为F1F2的中点，∴OM∥F1N. ∵FM⊥OM.∴|FM|＝b，|OM|＝a. ∴|FN|＝2b，|F1N|＝2a，|FN|－|F1N|＝2a.∴2b－2a＝2a⇒b＝2a.∴e＝eq \r(5). 方法二(解析法)： ∵FM垂直于直线y＝－eq \f(b,a)x， ∴直线FM的方程为y＝eq \f(a,b)(x－c)． 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)（x－c），,y＝－\f(b,a)x.))∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，－\f(ab,c))). ∵eq \o(FN,\s\up18(→))＝2eq \o(FM,\s\up18(→))，∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,c)－c，－\f(2ab,c))). ∵点N在双曲线上，∴将点N代入双曲线， 得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2－c2,c)))\s\up12(2),a2)－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2ab,c)))\s\up12(2),b2)＝1⇒e＝eq \r(5). (3)(2025·河南省适应性测试)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，eq \a\vs4\al(\o(F2A,\s\up18(→))·\o(F2B,\s\up18(→)))＝4a2，则C的离心率为(　　) A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(5) D.eq \r(7) eq \o(F2A,\s\up18(→))·eq \o(F2B,\s\up18(→))＝|eq \o(F2A,\s\up18(→))|·|eq \o(F2B,\s\up18(→))|cos∠AF2B＝4a×2acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝eq \f(1,2)，即∠AF2B＝eq \f(π,3)，故∠F2BF1＝eq \f(2π,3)， 则有cos∠F2BF1＝eq \f(|F1B|2＋|F2B|2－|F1F2|2,2|F1B|·|F2B|) ＝eq \f(（4a）2＋（2a）2－（2c）2,2×4a×2a)＝－eq \f(1,2)， 即eq \f(20a2－4c2,16a2)＝－eq \f(1,2)，即eq \f(20,16)－eq \f(4e2,16)＝－eq \f(1,2)，即e2＝7，由e>1，故e＝eq \r(7).故选D. (4)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C．(1，2) D．(2，＋∞) 【解析】　由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝eq \f(1,2)a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))<eq \f(1,2)a，得c>2b，即c2>4b2＝4(c2－a2)，即c2<eq \f(4,3)a2，所以离心率e＝eq \f(c,a)<eq \f(2\r(3),3).又e>1，则e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).故选A. $$