第5课时　椭圆(一)-2026年高考数学一轮复习

Content Navigation 内容导航 课前自助餐 授人以渔 01 02 第1页 第5课时　椭圆(一) 第‹#›页 [复习要求]　1.了解椭圆的实际背景.2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质． 第1页 √ 课前自助餐 01 PAST ONE 4 椭圆的概念 在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫______．这两定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做______． 回归教材 椭圆 焦点 焦距 第1页 椭圆的标准方程与几何性质  |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 关于x轴，y轴，原点对称 (±a，0)，(0，±b) (±b，0)，(0，±a) 第1页 椭圆方程的两种设法 椭圆的通径 常用结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. 第1页 (1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．   第1页 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． 夯实双基 答案　(1)×　 (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形． 答案　(2)√　 第1页 (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． 答案　(3)×　 (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆． 答案　(4)√　 答案　(5)√ 第1页 A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 第1页 点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是(　　) A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0) √ C．|PF1|的最小值为1 D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值 √ √ 第1页 的最小值为a－c＝1，故C正确；对于D，当P在椭圆的长轴端点时，∠F1PF2＝0；当P不在长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知 第1页 当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，故D正确．故选ACD. 第1页 第1页 解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16. 16 返 回 √ 授 人 以 渔 02 PAST TWO 17 题型一　 椭圆的定义及应用 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程 是_____________． 第‹#›页 18 【解析】　设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，连接MC1，MC2，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a＝8，c＝4， 第1页 第1页 第1页 (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值． 【解析】　如图所示，设椭圆右焦点为F1，连接PF1，AF1，则|PF|＋|PF1|＝6.∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. ∵－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， 第1页 状元笔记 1.椭圆的定义的应用 求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及过焦点的弦长，求椭圆的离心率及椭圆中涉及的最值问题等． 2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． 第1页 第1页 √ 第1页 √ 第1页 题型二　 椭圆的标准方程 求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； 第‹#›页 27 第1页 第1页 第1页 第1页 第1页 第1页 状元笔记 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)找关系：建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)求解，得方程． 第1页 第1页 思考题2　(1)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　) √ 第1页 √ 第1页 第1页 题型三　 椭圆的几何性质(微专题) 微专题1　求离心率的值 第‹#›页 39 【解析】　设右焦点为F′，连接AF′，BF′，BF.因为2|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形．在Rt△ABF中，|AF|＝2c·cos∠BAF 第1页 的焦点．若椭圆C上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　) √ 第1页 方法二：如图，不妨设F为椭圆C的右焦点，P在x轴上方，记椭圆的左焦点为F1，连接PF1.由题知|OP|＝|OF| 第1页 第1页 第1页 状元笔记 求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． 第1页 第1页 第1页 第1页 F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ABF1是以F2为中心的正三角形，则椭圆的离心率为(　　) √ 第1页 【解析】　设线段AB与x轴交于点D，因为△ABF1是以F2为中心的正三角形，所以AB⊥F1D，且F2为△ABF1的重心，连接AF2， 第1页 微专题2　求离心率的取值范围 第1页 第1页 状元笔记 求椭圆离心率的取值范围的方法 方法 解读 适合题型 几何法 利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b，0<e<1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系 直接法 根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不等关系 第1页 √ 第1页 第1页 √ 微专题3　与椭圆有关的最值(范围)问题 第1页 第1页 第1页 状元笔记 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是均值不等式． 第1页 4 第1页 第1页 本课总结 1．涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a”这个特征．充分利用定义．“回到定义中去”是一个很重要的思想方法． 2．求椭圆方程的方法． (1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，写出椭圆的标准方程，其中难点是确定a，b的值． 第1页 (2)待定系数法：先设出含系数的椭圆方程，根据条件建立方程组并求解，然后代入所设方程得到椭圆方程，其中难点是建立含系数的方程． 3．求离心率的方法． (1)若求值，则列方程(组)． (2)若求范围，则列不等式(组)． 返 回 感谢观看与聆听 THANKS 第1页 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 ________________ ______________ 对称性 _______________________ 顶点 _________________ __________________ 离心率及其范围 ________________ 0<e＝eq \f(c,a)<1 Ax2＋By2＝1或eq \f(x2,A)＋eq \f(y2,B)＝1(A>0，B>0，A≠B)表示椭圆． 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦，其长度为eq \f(2b2,a). (2)S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2))) eq \s\up12(2)＝a2. (5)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同． 2．对于实数m，“1<m<2”是“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m－2)＝1表示椭圆”的(　　) 解析　由“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m－2)＝1表示椭圆”可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,m－2<0，,m－1≠2－m，))解得1<m<2且m≠eq \f(3,2)，所以“1<m<2”是“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m－2)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B. 3．【多选题】(2025·沧州七校联考)已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦 B．椭圆的离心率为eq \f(\r(5),3) 解析　椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，其中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，故A正确；对于B，椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，故B错误；对于C，由a－c≤|PF1|≤a＋c知，|PF1| cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(4a2－4c2－2|PF1||PF2|,2|PF1||PF2|) ＝eq \f(2b2,|PF1||PF2|)－1≥eq \f(2b2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))\s\up12(2))－1＝eq \f(2b2,a2)－1， 4．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(－eq \r(3)，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________________． eq \f(x2,4)＋y2＝1 解析　由题知焦点在x轴上，且c＝eq \r(3)，又a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，则椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. 5．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为________． eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1 所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1. (2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． eq \f(4\r(3),3) 【解析】　方法一：由题意知，c＝eq \r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝eq \f(16,3)，∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1P|·|PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3). 方法二：设∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝b2tan eq \f(θ,2)＝4×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(4\r(3),3). 【讲评】　对焦点△F1PF2(∠F1PF2＝θ)的处理方法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义式的平方，,余弦定理，,面积公式))⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（|PF1|＋|PF2|）2＝（2a）2，,4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ，,S△F1PF2＝\f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan \f(θ,2).)) 【答案】　最大值6＋eq \r(2)，最小值6－eq \r(2) ∴6－eq \r(2)≤|PA|＋|PF|≤6＋eq \r(2). 故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2). \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题1　(1)已知A，B是圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为 ______________． x2＋eq \f(4,3)y2＝1 【解析】　连接PA，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2>1＝|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝eq \f(1,2)，b2＝eq \f(3,4).所以动点P的轨迹方程为x2＋eq \f(4,3)y2＝1. (2)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,49)＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．26 C．22eq \r(2) D．24eq \r(2) 【解析】　由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a＝7，b＝2eq \r(6)，c＝eq \r(a2－b2)＝5.由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝14.又3|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，因为|F1F2|＝2c＝10，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)×8×6＝24.故选A. (3)设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为(　　) A．4＋eq \r(5) B．6 C．2eq \r(5)＋2 D．8 【解析】　如图，不妨令椭圆左焦点为F，右焦点为F′，连接AF′，BF′，可得|AB|＋|AF|＋|BF|≤|AF′|＋|BF′|＋|AF|＋|BF|＝4a＝8，当AB经过椭圆的右焦点时，三角形的周长取得最大值．故选D. 【思路】　当椭圆的焦点位置不明确而无法确定标准方程时，要分类讨论，或设方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)可避免讨论，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，这种形式会更简便． 【答案】　(1)eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1 【解析】　(1)若焦点在x轴上，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,a2)＝1，∴a＝3.∵2a＝3×2b，∴b＝1.∴椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.若焦点在y轴上，设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,b2)＝1，∴b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9.∴椭圆方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1. 综上所述，椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)； 【答案】　(2)eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 【解析】　(2)由已知，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).)) 从而b2＝a2－c2＝9. ∴所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1. (3)经过点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点； 【答案】　(3)eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1 【解析】　(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， ∵点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)在椭圆上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq \f(1,15)，n＝eq \f(1,5). 故eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1为所求椭圆的方程． (4)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率且经过点(2，－eq \r(3))． 【答案】　(4)eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1 【解析】　(4)方法一：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(1,2). 若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>n>0)，则1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m))) eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，eq \f(n,m)＝eq \f(\r(3),2). 又eq \f(4,m2)＋eq \f(3,n2)＝1，∴m2＝8，n2＝6.∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1. 若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m>n>0)， 则eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)＝1，且eq \f(n,m)＝eq \f(\r(3),2)，解得m2＝eq \f(25,3)，n2＝eq \f(25,4). 故所求椭圆的方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1. 方法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq \r(3))代入，得t＝eq \f(22,4)＋eq \f(（－\r(3)）2,3)＝2. 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝λ(λ>0)，代入点(2，－eq \r(3))，得λ＝eq \f(25,12)，∴所求椭圆的方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1. 2．椭圆的标准方程的两个应用 (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0，a≠b)与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，a≠b，λ>0)有相同的离心率． (2)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算更简便． A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 C.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1 【解析】　由3x2＋8y2＝24化简可得eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1， 焦点(±eq \r(5)，0)在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)＋\f(4,b2)＝1，,a2－b2＝5，))解得a2＝15，b2＝10.故所求椭圆方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1. (2)(2022·全国甲卷，文)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \o(BA1,\s\up18(→))·eq \o(BA2,\s\up18(→))＝－1，则C的方程为(　　) A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1 【解析】　依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以eq \o(BA1,\s\up18(→))＝(－a，－b)，eq \o(BA2,\s\up18(→))＝(a，－b)，eq \o(BA1,\s\up18(→))·eq \o(BA2,\s\up18(→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，故选B. (1)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝eq \f(π,6)，则椭圆C的离心率是________． eq \r(3)－1 ＝eq \r(3)c，|BF|＝2c·sin∠BAF＝c.由椭圆的定义可得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝(eq \r(3)＋1)c，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1. (2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，F是椭圆C A.eq \f(1,2) B．4－2eq \r(3) C.eq \r(3)－1 D.eq \f(\r(3),2) 【解析】　方法一：由题意，不妨设F为椭圆C的右焦点，则点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，±\f(\r(3)c,2)))，所以eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1.设椭圆C的离心率为e，则eq \f(1,4)e2＋eq \f(3e2,4－4e2)＝1，整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4－2eq \r(3)(e2＝4＋2eq \r(3)舍去)，所以e＝eq \r(3)－1(负值舍去)．故选C. ＝|OF1|＝|PF|＝c，∴PF1⊥PF，且|PF1|＝eq \r(3)c，∵|PF1|＋|PF|＝2a，∴c＋eq \r(3)c＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1. (3)(2025·全国高考冲刺压轴卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，点A，B是C上的两点，若eq \o(AF1,\s\up18(→))＝－3eq \o(BF1,\s\up18(→))，|BF2|＝eq \f(7,3)|AF2|，则椭圆C的离心率为________． eq \f(\r(3),3) 【解析】　设C的半焦距为c，由eq \o(AF1,\s\up18(→))＝－3eq \o(BF1,\s\up18(→))可知，A，F1，B三点共线，且|AF1|＝3|BF1|，设|BF1|＝m，则|AF1|＝3m.由椭圆的定义，得|AF2|＝2a－3m，|BF2|＝2a－m，由|BF2|＝eq \f(7,3)|AF2|，得2a－m＝eq \f(7,3)(2a－3m)，则m＝eq \f(4a,9)，所以|AF1|＝eq \f(4a,3)，|AF2|＝eq \f(2a,3)，|BF2|＝eq \f(14a,9)，又|F1F2|＝2c， 由cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0， 得eq \f(4c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))\s\up12(2),2×2c×\f(4a,3))＋eq \f(4c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,9)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14a,9)))\s\up12(2),2×2c×\f(4a,9))＝0， 整理得，16c2－eq \f(16,3)a2＝0， 所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，故椭圆C的离心率为e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \f(\r(3),3). (x2,a2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题3　(1)(2025·青岛一模)已知O为坐标原点，点F为椭圆C：＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为________． eq \f(\r(5)－1,2) 【解析】　因为AB的中点为F，由椭圆的对称性知AB⊥x轴，不妨令A在x轴上方，易得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，又OA⊥OB，则eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(OB,\s\up18(→))＝0，∴c＝eq \f(b2,a)，即ac＝b2＝a2－c2，∴e＝1－e2，e＝eq \f(－1＋\r(5),2). (2)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________． eq \r(3)－1 【解析】　方法一：设F′为椭圆的右焦点，连接AF′，则AF⊥AF′，∠AF′F＝eq \f(π,3)，∴|AF|＝eq \r(3)|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为eq \f(2c,2a)＝eq \f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1. 方法二：设F(－c，0)，A(x0，y0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋c)＝\f(\r(3),3)，,\f(\r(3)（x0－c）,2)＋\f(y0＋0,2)＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(c,2)，,y0＝\f(\r(3),2)c，)) 代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))\s\up12(2),a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c))\s\up12(2),b2)＝1， ∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∴e＝eq \r(3)－1. (3)(2025·吉林长春一模)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有两点A，B， A.eq \f(\r(2)－1,2) B.eq \r(2)－1 C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \r(3)－1 则|AF2|＝|F1F2|＝2c，|F2D|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，则|F1D|＝3c. 在Rt△AF1D中，∠AF1D＝30°， 则cos 30°＝eq \f(|F1D|,|AF1|)，所以|AF1|＝2eq \r(3)c， 由椭圆的定义可得，|AF1|＋|AF2|＝2a，即2eq \r(3)c＋2c＝2a，化简可得(eq \r(3)＋1)c＝a，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,\r(3)＋1)＝eq \f(\r(3)－1,2).故选C. 已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 【解析】　方法一：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则eq \f(x02,a2)＋eq \f(y02,b2)＝1. eq \o(PF1,\s\up18(→))＝(－c－x0，－y0)，eq \o(PF2,\s\up18(→))＝(c－x0，－y0)， 若∠F1PF2＝90°，则eq \o(PF1,\s\up18(→))·eq \o(PF2,\s\up18(→))＝x02＋y02－c2＝0. ∴x02＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x02,a2)))＝c2，∴x02＝eq \f(a2（c2－b2）,c2). ∵0≤x02≤a2，∴0≤eq \f(c2－b2,c2)≤1. ∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r(2),2)≤e<1. 方法二：若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，即b≤c<a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r(2),2)≤e<1. (x2,a2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题4　(2025·江苏淮安阶段性测试)设F1，F2分别是椭圆C：＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1为钝角三角形，则离心率e的取值范围为(　　) A．(0，eq \r(2)－1) B．(eq \r(2)－1，1) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 【解析】　由题意得|AB|＝eq \f(2b2,a)，则|AF2|＝eq \f(b2,a).因为△ABF1为钝角三角形，易得∠AF1B为钝角，所以∠AF1F2>45°，可得|F1F2|<eq \f(b2,a)，即2c<eq \f(b2,a)，即b2>2ac，又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2>2ac，即c2＋2ac－a2<0，即e2＋2e－1<0，又0<e<1，解得0<e<eq \r(2)－1，即椭圆C的离心率e的取值范围为(0，eq \r(2)－1)．故选A. (2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A.eq \f(5,2) B.eq \r(6) C.eq \r(5) D．2 【解析】　方法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1上可得x2＝5－5y2. 易知点B(0，1)，所以|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝eq \f(25,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)，|y|≤1. 当2y＋eq \f(1,2)＝0，即y＝－eq \f(1,4)时，|PB|2取得最大值eq \f(25,4)，所以|PB|max＝eq \f(5,2).故选A. 方法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1上， 所以可设点P(eq \r(5)cos θ，sin θ)． 易知点B(0，1)，所以|PB|2＝(eq \r(5)cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝eq \f(25,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin θ＋\f(1,2))) eq \s\up12(2).易知当2sin θ＋eq \f(1,2)＝0，即sin θ＝－eq \f(1,4)时，|PB|2取得最大值eq \f(25,4)，所以|PB|max＝eq \f(5,2).故选A. (x2,4)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题5　如图，焦点在x轴上的椭圆＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))的最大值为________． 【解析】　由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)， 所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)， 代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得y02＝3－eq \f(3,4)x02. 因为F(－1，0)，A(2，0)，所以eq \o(PF,\s\up18(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \o(PA,\s\up18(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))＝x02－x0－2＋y02＝eq \f(1,4)x02－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，所以当x0＝－2时，eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))取得最大值4. $$