第1课时 平面向量的概念及线性运算-2026年高考数学一轮复习

第五章　平面向量与复数 第1页 Content Navigation 内容导航 课前自助餐 授人以渔 01 02 第‹#›页 第1课时　平面向量的概念及线性运算 第1页 [复习要求]　1.解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.2.理解向量的几何表示.3.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 第‹#›页 √ 课前自助餐 01 PAST ONE 5 向量的有关概念 (1)向量的定义：既有______又有______量叫做向量． (2)向量的长度：表示的_________的长度，即的大小叫做的长度或称为的模，_________的向量叫做零向量，记作0，____________________的向量，叫做单位向量． 回归教材 大小 方向 有向线段 长度为0 长度等于1个单位长度 第‹#›页 (3)平行向量：方向______或______的_____向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行．平行向量也叫做______向量． (4)相等向量：__________________的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b. (5)相反向量：_____________________的向量叫做相反向量． 相同 相反 非零 共线 长度相等且方向相同 长度相等且方向相反 第‹#›页 向量的线性运算   (1)加、减法法则 (2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 第‹#›页 ②||a|－|b||≤|a±b|≤__________． (4)向量的数乘 ①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.规定：|λa|＝________，当λ___0时，λa的方向与a的方向相同；当λ____0时，λa的方向与a的方向相反；当λ___0时，λa＝0. 0 |a|＋|b| |λ||a| ＞ ＜ ＝ ②运算律：λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝_______． (λμ)a λa＋μa λa＋λb 第‹#›页 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_________． b＝λa 常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 第‹#›页 第‹#›页 第‹#›页 夯实双基 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量就是有向线段． 答案　(1)×　 解析　(1)错误．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段． 第‹#›页 (2)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反． 答案　(2)×　 解析　(2)错误．当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的． 第‹#›页 (3)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. 答案　(3)×　 解析　(3)错误．向量不能比较大小． 第‹#›页 (4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 答案　(4)√ 解析　(4)正确． 第‹#›页 答案　(5)× 第‹#›页 2．如图所示，向量a－b等于(　　) √ A．－4e1－2e2 　　　　　 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析　由三角形法则知a－b是b的终点指向a的终点的一个向量，用基底{e1，e2}表示为e1－3e2.故选C. 第‹#›页 √ 3．(2025·广东深圳模拟)在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等 第‹#›页 第‹#›页 0 0 0 0 第‹#›页 ＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________． －4 返 回 √ 授 人 以 渔 02 PAST TWO 23 题型一　 平面向量的基本概念(自主学习) (1)判断下列各命题是否正确： ①单位向量都相等； ③若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； ④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； 第‹#›页 24 【答案】　①×　②√　③×　④×　⑤√ 又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】　①不正确． 第‹#›页 ③不正确，当b＝0时，a与c可能不共线． ④不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b. 第‹#›页 (2) 如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) √ 第‹#›页 第‹#›页 状元笔记 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． 第‹#›页 题型二　 平面向量的线性运算 A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n √ 第‹#›页 30 第‹#›页 √ 第‹#›页 第‹#›页 √ (3)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点， 第‹#›页 【解析】　如图，作OG∥FE交DC于G， 由DE＝EO，得DF＝FG， 又由AO＝OC，得FG＝GC， 第‹#›页 状元笔记 平面向量的线性运算问题的求解策略 第‹#›页 √ 思考题1　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四 【解析】　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以 第‹#›页 √ 第‹#›页 第‹#›页 √ 第‹#›页 第‹#›页 题型三　 向量共线定理的应用 ①若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； 【答案】　①证明见解析 【证明】　①若m＋n＝1， 第‹#›页 42 ②若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 【答案】 ②证明见解析 【证明】　②若A，P，B三点共线，连接BP，BA， 第‹#›页 第‹#›页 第‹#›页 状元笔记 利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B， (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 第‹#›页 √ A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 第‹#›页 √ 第‹#›页 返 回 感谢观看与聆听 THANKS 第‹#›页 (3)①eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝_____，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝__________，eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝_____． eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o(CB,\s\up16(→)) 向最后一个向量终点的向量，即eq \o(A1A2,\s\up16(→))＋eq \o(A2A3,\s\up16(→))＋eq \o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up16(→))， (2)若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \o(OF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))． (4)若平行四边形ABCD满足|eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))|，则该平行四边形为矩形． (5)若eq \o(OA,\s\up16(→))＝λeq \o(OB,\s\up16(→))＋μeq \o(OC,\s\up16(→))(λ，μ为常数)，O，B，C三点不共线，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (6)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. (5)若向量eq \o(AB,\s\up16(→))与向量eq \o(CD,\s\up16(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． 解析　(5)错误.eq \o(AB,\s\up16(→)) 与eq \o(CD,\s\up16(→))共线，则eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→))，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上． 分点，E是线段CD上靠近D的三等分点，则eq \o(AE,\s\up16(→))＝(　　) A．－eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up16(→))　　　　 B.eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \f(5,6) eq \o(CB,\s\up16(→)) C．－eq \f(5,6) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up16(→)) D．－eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→)) 解析　如图，由题意得eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→))，故eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(CA,\s\up16(→)))＝－eq \f(5,6) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up16(→)).故选C. 4．化简：(1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝____________； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝__________； (3)eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝__________； (4)eq \o(NQ,\s\up16(→))＋eq \o(MN,\s\up16(→))－eq \o(MP,\s\up16(→))＋eq \o(QP,\s\up16(→))＝__________． 5．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq \o(MN,\s\up16(→))＝2e1－3e2，eq \o(NP,\s\up16(→))＝λe1 ②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ⑤若a，b都为非零向量，则使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线． ②正确，∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，∴|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(DC,\s\up16(→))|且AB∥DC. 反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綉DC且eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(DC,\s\up16(→))方向相同，因此eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→)). ⑤正确，因为eq \f(a,|a|)与eq \f(b,|b|)都是单位向量，所以只有当eq \f(a,|a|)与eq \f(b,|b|)是相反向量，即a与b反向共线时，eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0才成立． A.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))　　　　　 B.eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→)) C.eq \o(PE,\s\up16(→))＝eq \o(PF,\s\up16(→)) D.eq \o(EP,\s\up16(→))＝eq \o(PF,\s\up16(→)) 【解析】　方法一(排除法)：eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))不共线，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))不共线，故A、B错误；eq \o(PE,\s\up16(→))，eq \o(PF,\s\up16(→))方向相反，故C错误．故选D. 方法二：在等腰梯形ABCD中，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))不平行，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))不平行，故A、B错误； ∵AB∥CD，∴eq \f(PD,PB)＝eq \f(CD,AB)＝eq \f(PC,PA)， ∴eq \f(PB,PD)＝eq \f(PA,PC)，则eq \f(PB＋PD,PD)＝eq \f(PA＋PC,PC)，即eq \f(BD,PD)＝eq \f(AC,PC)，即eq \f(PD,BD)＝eq \f(PC,AC)， ∵EF∥AB，∴eq \f(PE,AB)＝eq \f(PD,BD)＝eq \f(PC,AC)＝eq \f(PF,AB)， ∴PE＝PF，即P为EF的中点， ∴eq \o(EP,\s\up16(→))＝eq \o(PF,\s\up16(→))，故C错误，D正确． (4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是a方向上的单位向量． (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \o(CA,\s\up16(→))＝m，eq \o(CD,\s\up16(→))＝n，则eq \o(CB,\s\up16(→))＝(　　) 【解析】　方法一：因为BD＝2DA，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝3eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋3eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋3(eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CA,\s\up16(→)))＝－2eq \o(CA,\s\up16(→))＋3eq \o(CD,\s\up16(→))＝－2m＋3n.故选B. 方法二(作图法)：如图，利用平行四边形法则，合成向量eq \o(CB,\s\up16(→))，由图易知eq \o(CA,\s\up16(→))(即向量m)的系数为负数，排除A、C、D，故选B. (2)(2025·陕西西安未央区模拟)在△ABC中，D在BC上，且eq \o(BD,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，E在AD上，且eq \o(AD,\s\up16(→))＝4eq \o(AE,\s\up16(→)).若eq \o(BE,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，则x＋y＝(　　) A.eq \f(13,12) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(13,12) 【解析】　如图，因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，所以eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→))， 则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)).又eq \o(AD,\s\up16(→))＝4eq \o(AE,\s\up16(→))，所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,12) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→))，则eq \o(BE,\s\up16(→)) ＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(11,12) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→))，又eq \o(BE,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，所以x＝－eq \f(11,12)，y＝eq \f(1,6)，则x＋y＝－eq \f(11,12)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(3,4).故选C. AE的延长线与CD交于点F.若eq \o(AC,\s\up16(→))＝a，eq \o(BD,\s\up16(→))＝b，则eq \o(AF,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b 于是eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋\f(1,2)a))， eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＋eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋\f(1,2)a))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b. 边形ABCD所在平面内的任意一点，则eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))等于(　　) A.eq \o(OM,\s\up16(→)) B．2eq \o(OM,\s\up16(→)) C．3eq \o(OM,\s\up16(→)) D．4eq \o(OM,\s\up16(→)) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝2eq \o(OM,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝2eq \o(OM,\s\up16(→)).所以eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝4eq \o(OM,\s\up16(→)).故选D. (2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足eq \o(AO,\s\up16(→))＝2eq \o(OD,\s\up16(→))，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝(　　) A.－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) B.eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) C.eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) D．－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) 【解析】　如图所示，∵D为BC的中点，∴eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))，∵eq \o(AO,\s\up16(→))＝2eq \o(OD,\s\up16(→))，∴eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，∴eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up16(→))))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)).故选A. (3)(2025·广东佛山顺德区第二次质量检测)在△ABC中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，若eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(EC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，线段AD与BE交于点F，则eq \o(CF,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b 【解析】　如图所示，由eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(EC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))可得D，E分别为BC，AC的中点，则F为△ABC的重心，由三角形重心的性质可得eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))，又eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b)，所以eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \f(1,3)(a＋b)，因此eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))＝－b＋eq \f(1,3)(a＋b)＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b. (1)已知O，A，B是不共线的三点，且eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OA,\s\up16(→))＋neq \o(OB,\s\up16(→))(m，n∈R)． 则eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－m)eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋m(eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))， 连接BP，BA，∴eq \o(OP,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝m(eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))， 即eq \o(BP,\s\up16(→))＝meq \o(BA,\s\up16(→))，∴eq \o(BP,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))共线． 又∵eq \o(BP,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))有公共点B，则A，P，B三点共线． 则存在实数λ，使eq \o(BP,\s\up16(→))＝λeq \o(BA,\s\up16(→))，∴eq \o(OP,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝λ(eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))． 又eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OA,\s\up16(→))＋neq \o(OB,\s\up16(→)).故有meq \o(OA,\s\up16(→))＋(n－1)eq \o(OB,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))－λeq \o(OB,\s\up16(→))， 即(m－λ)eq \o(OA,\s\up16(→))＋(n＋λ－1)eq \o(OB,\s\up16(→))＝0. ∵O，A，B三点不共线，∴eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))不共线， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1. (2)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，求实数t的值． 【答案】　eq \f(1,3) 【解析】　由a，b不共线，易知向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b为非零向量．由向量b－ta，eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，可知存在实数λ，使得b－ta＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(3,2)b))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)λ))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)λ＋1))b. 由a，b不共线，必有t＋eq \f(1,2)λ＝eq \f(3,2)λ＋1＝0.否则，不妨设t＋eq \f(1,2)λ≠0，则a＝eq \f(\f(3,2)λ＋1,t＋\f(1,2)λ)b.由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)λ＝0，,\f(3,2)λ＋1＝0，))解得t＝eq \f(1,3). 因此，当向量b－ta，eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线时，t＝eq \f(1,3). (4)若eq \o(OA,\s\up16(→))＝λeq \o(OB,\s\up16(→))＋μeq \o(OC,\s\up16(→))(λ，μ为实数)，O，B，C三点不共线，且A， C三点共线⇔eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线． 思考题2　(1)已知平面向量a，b不共线，eq \o(AB,\s\up16(→))＝4a＋6b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝－a＋3b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝a＋3b，则(　　) (2) 如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))，AM与CN交于点D，eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(AM,\s\up16(→))，则λ等于(　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6) 【解析】　在△ABC中，因为点M是BC的中点， 所以eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 则eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(λ,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(λ,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 又eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))， 于是得eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(3λ,4) eq \o(AN,\s\up16(→))＋eq \f(λ,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 因为C，D，N三点共线，则有eq \f(3λ,4)＋eq \f(λ,2)＝1，解得λ＝eq \f(4,5). $$