精品解析：广东省揭阳市榕城区2024-2025学年下学期九年级数学综合训练卷

2024-2025学年度第二学期九年级综合训练题 数学科目试卷 说明： 1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡相应位置上作答，不按要求作答的答案无效．不能使用改正纸和涂改液． 3．考试结束时，将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查轴对称图形的识别，解题关键在于识别图形，掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意． B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意． C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意． D、是轴对称图形，故选项D符合题意． 故选：D． 2. 下列四个数在﹣2和1之间的数是（　　） A. 0 B. ﹣3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较直接判断即可. 【详解】A. -2＜0＜1，故正确； B.-3＜-2，故错误； C.2＞1，故错误； D.3＞1，故错误， 故选A. 【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知有理数的大小比较方法. 3. 如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，作交于，由题意可得，，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作交于， ， 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 4. 已知点在双曲线上，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 将点坐标代入函数解析式即可求得k的值 【详解】将点代入双曲线得： ， ， ． 故选：C． 5. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 6. 如果，那么代数式的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可. 详解：原式， ∵， ∴原式． 故选A. 点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键. 7. 如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案． 【详解】解：∵PA=PB， ∴∠A=∠B， ∵AM=BK，BN=AK， ∴， ， =∠MKN+∠BKN， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 8. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得水的最大深度的长． 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA， 由垂径定理得：， ∵⊙O的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴水的最大深度为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决． 9. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图象，即可得出答案． 【详解】根据题意得：的图象如右图， ∵有两个不相等的实数根， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果点P（）在第四象限，则ｍ的取值范围是_____． 【答案】m＞4． 【解析】 【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】∵点P（m+1，8-2m）在第四象限， ∴， 解得m＞4， 故m的取值范围是m＞4． 故答案为：m＞4． 【点睛】本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 12. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫作把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 13. 露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 14. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 15. 如图，已知点A，C在反比例函数(a> 0)的图象上，点B，D在反比例函数(b <0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB = 3，CD = 2，AB与CD的距离为5，则a -b的值是________. 【答案】6 【解析】 【详解】设A、C两点的坐标分别为 、 ∵AB∥CD∥x轴 ∴点B与点A的纵坐标相同，即 ，解得 点D与点C的纵坐标相同，即，解得 ∵AB = 3，CD = 2 ∴ 解得 ∵AB与CD的距离为5 ∴ 把代入中，得a-b=6 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解：原式， ， ． 17. 徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？ 【答案】A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时． 【解析】 【分析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据题意得：﹣=80，解分式方程即可，注意验根. 【详解】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时， 根据题意得：﹣=80， 解得：t=2.5， 经检验，t=2.5是原分式方程的解，且符合题意， ∴1.4t=3.5． 答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时． 【点睛】本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程. 18. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2） 证明：如图，连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则， 由作图可知， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ； （3） 直线即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定与性质即可得出答案； （2）连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则，由作图得到四边形是平行四边形，得到，再证明，即可得出结论； （3）连接，作线段的垂直平分线垂足为，作直线即可． 【小问1详解】 解：依据1是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 依据2是平行四边形的对角线互相平分， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． （1）根据以上信息，回答下列问题． ①求m的值； ②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； ③补全条形统计图． （2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数． 【答案】（1）① m =60； ②； ③补全条形统计图为： （2）众数：3　中位数：3　平均数：． 【解析】 【分析】（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值； ②结合周角是360度进行计算； ③求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数； （2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可． 【详解】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°， ∴其所占的百分比为， ∵课外阅读时间为2小时的有15人， ∴m=15÷=60； ②依题意得：； ③第三小组的频数为：60-10-15-10-5=20； （2）∵课外阅读时间为3小时的20人，最多， ∴众数为 3小时； ∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时， ∴中位数为3小时； 平均数：； 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息，难度不大． 20. 春晚节目中，舞狮小女孩林熙悦格外引人注目．如图，在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且B、D、F在一直线上．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为1米，两桩的距离为2米．（，） （1）求的度数； （2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过C作交于M，交于N，理解题意得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）四边形，四边形是矩形，再根据在中，，在中，，得，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，过C作交于M，交于N， ∵在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为和， ∴， ； 【小问2详解】 解：如（1）图所示， ， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， 米， 米，， 设米， 桩与桩的高度差为1米， 米， 在中，， （米）， 在中，， （米）， ， 解得， （米） （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 21. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； （2）如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； （3）如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴点P为的“相似点” （2） （3） 证明：∵点G是的“相似点”，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 延长交于点，如图所示： 由题意得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键. （1）由条件可推出，证即可； （2）由题意得，可推出，再证即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，证即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得： ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 略 23. 如图：抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，若点P是线段上的一动点（不与A、B重合），分别以为一边，在直线的同侧作等边三角形和，连接相交于点E，连接．回答以下问题 （1）求抛物线的解析式； （2）求的度数； （3）求三角形的最大面积，并写出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先根据等边三角形的性质证明可得，进而得到，然后根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解答； （3）如图，过点M作轴于点G，过点N作轴于点H，易得；设，则，；再根据用x表示出三角形的面积，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意把点代入， 得，，解得， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：∵与为等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ∴， ． 【小问3详解】 解：如图，过点M作轴于点G，过点N作轴于点H， 令代入中，解得， ，则, ∵， ∴ 设，则， ∵是等边三角形，， ∴,, ∴ 同理：， ， ， 当时，S有最大值是, 的最大面积是，此时点P的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级综合训练题 数学科目试卷 说明： 1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡相应位置上作答，不按要求作答的答案无效．不能使用改正纸和涂改液． 3．考试结束时，将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数在﹣2和1之间的数是（　　） A. 0 B. ﹣3 C. 2 D. 3 3. 如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在双曲线上，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 6. 如果，那么代数式的值为 A. B. C. D. 7. 如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 8. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 10. 二次函数的图象如图所示，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果点P（）在第四象限，则ｍ的取值范围是_____． 12. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 13. 露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 14. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___． 15. 如图，已知点A，C在反比例函数(a> 0)的图象上，点B，D在反比例函数(b <0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB = 3，CD = 2，AB与CD的距离为5，则a -b的值是________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？ 18. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． （1）根据以上信息，回答下列问题． ①求m的值； ②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； ③补全条形统计图． （2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数． 20. 春晚节目中，舞狮小女孩林熙悦格外引人注目．如图，在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且B、D、F在一直线上．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为1米，两桩的距离为2米．（，） （1）求的度数； （2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 21. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； （2）如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； （3）如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 23. 如图：抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，若点P是线段上的一动点（不与A、B重合），分别以为一边，在直线的同侧作等边三角形和，连接相交于点E，连接．回答以下问题 （1）求抛物线的解析式； （2）求的度数； （3）求三角形的最大面积，并写出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $