4.5相似三角形判定定理的证明 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章　图形的相似 *5　相似三角形判定定理的证明 1 　定理1　① 的两个三角形相似. 几何语言：如图，∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'. 特别说明：证明三角形相似的判定定理，关键是利用转化的数学思想，结合 平行线分线段成比例，通过作辅助线，把一个三角形转移、构建到另一个三 角形中，然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理. 两角分别相等 【例1】（根据九年级北师大版教材P99定理证明改编）如图，在△ABC和 △A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'.求证：△ABC∽△A'B'C'. 请补全下面的证明过程. 证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于 点E，则∠1＝∠B，∠2＝∠C， ＝ .过点D作DF∥AC，交BC于点 F，则 ＝ .∴ 　 ＝ 　. ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE＝CF. ∴ ⁠， ＝ ＝ ∴ ⁠. 而∠1＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠2＝∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A＝∠A'，AD＝A'B'，∠1＝∠B＝∠B'， ∴△ ≌△ （ ）. ∴△ABC∽△A'B'C'. ＝ ＝ ADE A'B'C' ASA 如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝ ∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G. 写出图中所有的相似 三角形，并选择一对加以证明. 解：图中的相似三角形有△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM， △EMF∽△EAM. 以下证明△AMF∽△BGM. ∵∠AFM＝∠DME＋∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知）， ∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG. 又∠A＝∠B， ∴△AMF∽△BGM. 　定理2　② 的两个三角形相似. 几何语言：如图，∵ ＝ ，∠A＝∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'. 两边成比例且夹角相等 特别说明：相似三角形的判定定理2是利用判定定理1证明的，都是通过作辅 助线，把一个三角形转移、构建到另一个三角形中，然后运用刚刚证明的相 似三角形的判定定理1来证明本判定定理. 【例2】（根据九年级北师大版教材P100定理证明改编）如图，在△ABC和 △A'B'C'中，已知∠A＝∠A'， ＝ .求证：△ABC∽△A'B'C'.请补全 下面的证明过程. 证明：在△A'B'C'的边A'B'上取点D，使A'D＝AB. 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E. ∵DE∥B'C'，∴∠A'DE＝∠ ⁠. ∵∠A'＝∠A'，∴△ ∽△ （两角分别相等的两个三角形 相似）. ∴ . B' A'DE A'B'C' ＝ ∵A'D＝AB， ＝ ， ∴ ⁠. ＝ ＝ ∴A'E＝AC. 又∠A'＝∠A，∴△ ≌△ （ ）. ∴△ABC∽△A'B'C'. A'DE ABC SAS 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OD＝ 2OA，OC＝2OB. 求证：△AOB∽△DOC. 证明：∵OD＝2OA，OC＝2OB， ∴ ＝ ＝ .又∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB∽△DOC. 　定理3　③ 的两个三角形相似. 几何语言：如图，∵ ＝ ＝ ，∴△ABC∽△A'B'C'. 三边成比例 特别说明：判定定理3是利用判定定理2证明的，还是通过作辅助线，把一个 三角形转移、构建到另一个三角形中，然后运用刚刚证明的相似三角形的判 定定理2来证明本判定定理，在证明过程中注意运用比例变换和等量代换、 恒等变形等知识点，体现了数学的转化思想. 【例3】如图，在△ABC和△A'B'C'中， ＝ ＝ .求证： △ABC∽△A'B'C'. 证明：在△ABC的边AB，AC上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连接DE （图略）. ∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE. ∴ ＝ ＝ . 又 ＝ ，AD＝A'B'， ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴DE＝B'C'. ∵ ＝ ，AD＝A'B'， ＝ ， ∴AE＝A'C'. ∴△ADE≌△A'B'C'（SSS）. ∴△ABC∽△A'B'C'. （根据九年级北师大版教材P102习题4.9第1题改编）如图，在三 角形ABC中，AB＝BC＝AC，D，E，F分别是三边的中点，请问 △DEF∽△ABC吗？说说理由. 解：△DEF∽△ABC. 理由：由AB＝BC＝AC可得△ABC是等边三角形.又 因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以△ADE≌△BEF≌△CFD， 所以△DEF是等边三角形，因此△DEF∽△ABC. 1. 如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC， ＝ ，CD＝16，则DE的长 为 ⁠. 10 2. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD 相交于点F，则图中的相似三角形共有 对. 3. （2024秋·宝安区校级月考）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的 是（　D　）. A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. AB2＝AD·AC D. ＝ 4 D 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且 ∠DCE＝∠B，那么下列判断中，错误的是（　D　）. A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △DEC∽△CDB D. △ADE∽△DCB D 5. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝ ，AD＝1，求DB的长. 解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ＝ . ∵AC＝ ，AD＝1， ∴ ＝ ， ∴AB＝3， ∴BD＝AB－AD＝3－1＝2. 6. 如图，在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ，点B，D，E在一条直线 上，求证：△ABD∽△ACE. 证明：∵在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△ABD∽△ACE. 7. （2024秋·龙华区期中）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE 于点F. （1）证明△ABE∽△DFA； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠AEB＝∠DAE. ∵DF⊥AE， ∴∠DAF＋∠ADF＝∠DAF＋∠EAB＝90°， ∴∠ADF＝∠EAB， ∴△ABE∽△DFA. （2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的长. 解：∵AB＝3，BE＝4， ∴由勾股定理得AE＝5. ∵△ABE∽△DFA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴DF＝3.6. 参考答案 【新课导学】 ①两角分别相等 【例1】 ＝ ＝ ＝ ＝ ADE A'B'C' ASA 对点训练1　解：图中的相似三角形有△AMF∽△BGM， △DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM. 以下证明△AMF∽△BGM. ∵∠AFM＝∠DME＋∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知）， ∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG. 又∠A＝∠B， ∴△AMF∽△BGM. 【例2】　B'　A'DE　A'B'C'　 ＝ 　 ＝ ＝ 　A'DE　ABC　 SAS ②两边成比例且夹角相等 对点训练2　证明：∵OD＝2OA，OC＝2OB， ∴ ＝ ＝ .又∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB∽△DOC. 知识点3　③三边成比例 【例3】　证明：在△ABC的边AB，AC上分别截取AD＝A'B'，AE＝ A'C'，连接DE（图略）. ∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE. ∴ ＝ ＝ . 又 ＝ ，AD＝A'B'， ∴ ＝ .∴ ＝ . ∴DE＝B'C'. ∵ ＝ ，AD＝A'B'， ＝ ， ∴AE＝A'C'. ∴△ADE≌△A'B'C'（SSS）.∴△ABC∽△A'B'C'. 对点训练3　解：△DEF∽△ABC. 理由：由AB＝BC＝AC可得△ABC是等 边三角形.又因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以 △ADE≌△BEF≌△CFD，所以△DEF是等边三角形，因此 △DEF∽△ABC. 【课堂通关】 1.10　2.4　3.D　4.D　 5. 解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ＝ . ∵AC＝ ，AD＝1， ∴ ＝ ， ∴AB＝3， ∴BD＝AB－AD＝3－1＝2. 6. 证明：∵在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. ∴ ＝ ， ∴△ABD∽△ACE. 7. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠AEB＝∠DAE. ∵DF⊥AE， ∴∠DAF＋∠ADF＝∠DAF＋∠EAB＝90°， ∴∠ADF＝∠EAB， ∴△ABE∽△DFA. ∵ ＝ ， （2）解：∵AB＝3，BE＝4， ∴由勾股定理得AE＝5. ∵△ABE∽△DFA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴DF＝3.6. $$