4.2 平行线分线段成比例 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章　图形的相似 2　平行线分线段成比例 1 　平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段① ⁠. 常考模型：如图，l3∥l4∥l5， 可得 ＝ 或 ＝ 或 ＝ 或 ＝ 或 ＝ 等. 成比例 【例1】（2024秋·深圳期中）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2， DE＝1.5，求EF的长. 解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ＝ . ∵AB＝1，BC＝2，DE＝1.5， ∴ ＝ ， ∴EF＝3. （2024秋·龙岗区校级月考）如图，已知l1∥l2∥l3，如果AB∶BC ＝2∶3，那么 等于（　B　）. B A. B. C. D. 　平行线分线段成比例的基本事实特殊化推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段② ⁠. 推论拓展：把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面两种 情况： 成比例 把l4（图1）或l3（图2）看作平行于△ABC底边BC的直线，再根据平行 线分线段成比例的定理，我们可以得出，平行于三角形一边的直线和其 他两边相交（或其他两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形 对应线段成比例. 【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC. 若 ＝ ，AD＝9，求BD的长. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AB＝12. ∵BD＝AB－AD， ∴BD＝12－9＝3. （2024·南山区校级一模）如图，DE∥BC，且EC∶BD＝2∶3， AD＝6，则AE的长为（　D　）. D A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1. 如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DF ＝ ⁠. ​ 2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AE的长 为 ⁠. 6 3. 如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F， 下列结论不正确的是（　B　）. A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ B 4. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点， DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于 ⁠. 5∶8 5. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB＝1∶3，AE＝3. （1）求EC的值. 解：∵DE∥BC， ∴ ＝ . 又 ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，解得AC＝9. ∴EC＝AC－AE＝9－3＝6. （2）求证：AD·AG＝AF·AB. 证明：∵DE∥BC， ∴ ＝ . ∵EF∥CG， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴AD·AG＝AF·AB. 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边上的点，连接DE，且 DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定 正确的是（　C　）. A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ C 7. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，BC上，下列条件中一定能判定 DE∥AC的是（　B　）. A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ B 8. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，CD＝4，AB＝10，点M，N分 别是边AD和对角线BD的中点，且MN与对角线AC交于点P，求PN的长. 解：∵点M，N分别是边AD和对角线BD的中点， ∴MN是△ABD的中位线， ∴MN＝ AB＝5，MN∥AB. ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴ ＝ . ∴MP为△ACD的中位线， ∴MP＝ CD＝2， ∴PN＝MN－PM＝5－2＝3. ∵AM＝DM， ∴AP＝PC. ∴点P为AC的中点， 9. （2024秋·罗湖区校级月考）如图，在△ABC中，D是△ABC的BC边上的 中点，AF∶FD＝1∶2，BF的延长线交AC于点E，求AE∶CE的值. 解：如图，过点D作DM∥BE交AC于点M. ∵D是△ABC的BC边上的中点， ∴BD＝CD. ∵DM∥BE， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝1， ∴CE＝EM＋CM＝2EM， ∴ ＝ ＝ . 10. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝ AB，点D在BC边上，PD＝PC，求 的值. 解：如图，过点P作PE∥AC交DC的延长线于点E. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵AC∥PE， ∴∠ACB＝∠E. ∴∠B＝∠E， ∴PB＝PE. ∵PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴∠BPD＝∠EPC. 在△PCE和△PDB中， ∴△PCE≌△PDB， ∴BD＝CE. ∵AC∥PE， ∴ ＝ . ∵PA＝ AB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ . 参考答案 【新课导学】 ①成比例 【例1】　解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ＝ . ∵AB＝1，BC＝2，DE＝1.5， ∴ ＝ ， ∴EF＝3. 对点训练1　B ②成比例 【例2】　解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AB＝12. ∵BD＝AB－AD， ∴BD＝12－9＝3. 对点训练2　D 【课堂通关】 1. 　2.6　3.B　4.5∶8 5. （1）解：∵DE∥BC， ∴ ＝ . 又 ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，解得AC＝9. ∴EC＝AC－AE＝9－3＝6. （2）证明：∵DE∥BC， ∴ ＝ . ∵EF∥CG， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴AD·AG＝AF·AB. 6. C　7.B ∴MN是△ABD的中位线， ∴MN＝ AB＝5，MN∥AB. ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴ ＝ . ∵AM＝DM， ∴AP＝PC. ∴点P为AC的中点， ∴MP为△ACD的中位线， 8. 解：∵点M，N分别是边AD和对角线BD的中点， ∴MP＝ CD＝2， ∴PN＝MN－PM＝5－2＝3. 9. 解：如图，过点D作DM∥BE交AC于点M. ∵D是△ABC的BC边上的中点， ∴BD＝CD. ∵DM∥BE， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝1， ∴CE＝EM＋CM＝2EM， ∴ ＝ ＝ . 10. 解：如图，过点P作PE∥AC交DC的延长线于点E. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵AC∥PE， ∴∠ACB＝∠E. ∴∠B＝∠E， ∴PB＝PE. ∵PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴∠BPD＝∠EPC. 在△PCE和△PDB中， ∴△PCE≌△PDB， ∴BD＝CE. ∵AC∥PE， ∴ ＝ . ∵PA＝ AB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ . $$