4.3相似多边形　课件　-2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 3　相似多边形 1 　相似多边形的定义 1. 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做① ⁠. 2. 相似比：相似多边形② 的比叫做相似比. 归纳：相似与全等的联系与区别 相似多边形 对应边 全等 相似 定义 形状和大小都相同的图形 形状相同的图形 图例 符号表示 △ABC≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1 联系 （1）形状相同；（2）全等是特殊的相似；（3）对应的字母要 写在对应的位置上. 区别 把一个图形按一定比例放大（或缩小），就可以得到它的相似 图形，当这个比例为1∶1时，得到的图形与原图形全等. 【例1】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁，其中是相似形的为（　D　）. A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 下列图形中，不一定是相似图形的是（　C　）. A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个圆 D C 　相似多边形的性质与判定 1. 相似多边形的性质：相似多边形的③ 、④ ⁠ ⁠； 2. 相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么 这两个多边形⑤ ⁠. 特别说明：判断两个多边形相似，必须同时具备以下条件：（1）边数相 同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等. 对应角相等 对应边成比 例 相似 【例2】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则α＝ ，x ＝ ，y＝ ⁠. （2024秋·罗湖区校级月考）如图，取一张长为a，宽为b的矩形 纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸 片相似，则a∶b＝ ⁠. 83° 12 16.5 2∶1 解析：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为 a. ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴ ＝ . 又∵a＞0，b＞0， ∴ ＝2，即a∶b＝2∶1. 故答案为2∶1. 1. 观察下列每组图形，相似的一组是（　C　）. A B C D 2. 五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，若对应边AB与A'B'的长分别为50厘 米和40厘米，则五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比是 ⁠. C 5∶4 3. 若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝72°，∠B＝95°，∠C＝ 135°，则四边形A'B'C'D'的四个内角中最小角的度数为 ⁠. 4. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将 △ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD 相似，则AD＝ ⁠. 58° 1＋ 解析：∵在矩形ABCD中，AF由AB折叠而得， ∴四边形ABEF是正方形.又∵AB＝2， ∴AF＝AB＝EF＝2.设AD＝x，则FD＝x－2. ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ （负值舍去）.经检验 x1＝1＋ 是原方程的解.∴AD＝1＋ . 5. 如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方 形EFGH与正方形ABCD的相似比为 ，求 （AE＜BE）的值. 解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为 ， ∴不妨假设EF＝ k，AB＝3k. ∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EFB＝90°， ∴∠AEH＝∠EFB. ∵EH＝EF， ∴△HAE≌△EBF（AAS）， ∴AE＝BF. 设AE＝BF＝x，则EB＝3k－x. 在Rt△EFB中，EF2＝BE2＋BF2， ∴（ k）2＝（3k－x）2＋x2， 整理得x2－3kx＋2k2＝0， 解得x＝k或x＝2k（舍去）， ∴AE＝k，BE＝2k， ∴ ＝ . 6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为 边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角 线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去， 求矩形AB4C4C3的面积. 解：∵在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1， ∴AC＝ ＝ ＝ . ∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似， ∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的相似比为 ， ∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为 . ∵矩形ABCD的面积为1×2＝2， ∴矩形AB1C1C的面积为2× ＝ . 同理，矩形AB2C2C1的面积为 × ＝ ＝ ， 矩形AB3C3C2的面积为 × ＝ ＝ ，…， ∴矩形ABnCnCn－1的面积为 ， ∴矩形AB4C4C3的面积为 . 参考答案 【新课导学】 ①相似多边形 ②对应边 【例1】 D 对点训练1　C ③对应角相等 ④对应边成比例 ⑤相似 【例2】 83° 12 16.5 对点训练2　2∶1　解析：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为 a. ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴ ＝ . 又∵a＞0，b＞0， ∴ ＝2，即a∶b＝2∶1. 故答案为2∶1. 1. C　2.5∶4　3.58° 4.1＋ 　解析：∵在矩形ABCD中，AF由AB折叠而得， ∴四边形ABEF是正方形.又∵AB＝2， ∴AF＝AB＝EF＝2.设AD＝x，则FD＝x－2. ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ （负值舍去）.经检验 x1＝1＋ 是原方程的解.∴AD＝1＋ . 【课堂通关】 5. 解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为 ， ∴不妨假设EF＝ k，AB＝3k. ∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EFB＝90°， ∴∠AEH＝∠EFB. ∵EH＝EF， ∴△HAE≌△EBF（AAS）， ∴AE＝BF. 设AE＝BF＝x，则EB＝3k－x. 在Rt△EFB中，EF2＝BE2＋BF2， ∴（ k）2＝（3k－x）2＋x2， 整理得x2－3kx＋2k2＝0， 解得x＝k或x＝2k（舍去）， ∴AE＝k，BE＝2k， ∴ ＝ . 6. 解：∵在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1， ∴AC＝ ＝ ＝ . ∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似， ∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的相似比为 ， ∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为 . ∵矩形ABCD的面积为1×2＝2， ∴矩形AB1C1C的面积为2× ＝ . 同理，矩形AB2C2C1的面积为 × ＝ ＝ ， 矩形AB3C3C2的面积为 × ＝ ＝ ，…， ∴矩形ABnCnCn－1的面积为 ， ∴矩形AB4C4C3的面积为 . $$