2.4　用因式分解法求解一元二次方程 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章　一元二次方程 4　用因式分解法求解一元二次方程 1 　因式分解法 1. 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成① ⁠的 乘积时，这种解一元二次方程的方法称为② ⁠. 两个一次因式 因式分解法 （1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零. （2）把方程的左边因式分解. （3）令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程. （4）解出这两个一元一次方程的解即可得到原方程的两个解. 注意：用因式分解法解方程时，必须化成（x＋a）（x＋b）＝0的形式， 否则不能用此法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤： 【例1】一元二次方程x（x－1）＝0的根是（　C　）. A. x＝1 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝1 D. x1＝0，x2＝－1 （2023·河源期中）方程（x－1）（x＋3）＝0的根是 ⁠ ⁠. 【例2】一元二次方程x2＋3x＝0的解是（　C　）. A. x＝－3 B. x1＝0，x2＝3 C. x1＝0，x2＝－3 D. x＝3 方程x（x－2）＝3（x－2）的根为 ⁠. C x1＝1，x2 ＝－3 C x1＝3，x2＝2 【例3】解方程：x2＝2x. 解：x2＝2x，x2－2x＝0，x（x－2）＝0，x＝0或x－2＝0，解得x1＝0， x2＝2. 解方程：x（x－4）＝x－4. 解：x（x－4）＝x－4，x（x－4）－（x－4）＝0，（x－4）（x－1） ＝0，x－4＝0或x－1＝0，解得x1＝4，x2＝1. 解：x（x－5）＝3x－15，则x（x－5）＝3（x－5）， ∴x（x－5）－3（x－5）＝0， ∴（x－5）（x－3）＝0， ∴x－5＝0或x－3＝0， ∴x1＝5，x2＝3. 解方程：2y2－9y－5＝0. 解：2y2－9y－5＝0，（y－5）（2y＋1）＝0，y－5＝0，2y＋1＝0，y1＝ 5，y2＝－ . 【例4】（2024秋·宝安区期中）用适当的方法解下列方程：x（x－5）＝3x －15. 1. 一元二次方程x2－2x＝0的根是（　C　）. A. x1＝－2，x2＝0 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝1，x2＝2 2. 一元二次方程x2－9x＝0的一根为x＝0，另一根为（　C　）. A. x＝3 B. x＝－3 C. x＝9 D. x＝－9 3. 关于x的方程x（2x－1）＝0的根为 ⁠. 4. 一元二次方程x（x－3）＝x－3的解是 ⁠. C C x1＝0，x2＝ x1＝3，x2＝1 5. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－9x＋14＝0的根， 该三角形的周长为 ⁠. 解析：∵x2－9x＋14＝0， ∴（x－2）（x－7）＝0， ∴x－2＝0或x－7＝0.∴x1＝2，x2＝7.当x＝2时，2＋3＝5，不满足三角形三 边关系，不符合题意；当x＝7时，3＋5＝8＞7，满足三角形三边关系，符合 题意，此时周长为3＋5＋7＝15. 15 6. （2024·盐田区校级开学）已知等腰△ABC的边是方程x2－7x＋10＝0的 根，则△ABC的周长为（　D　）. A. 9 B. 9或12 C. 6或15 D. 6或12或15 解析：x2－7x＋10＝0，（x－5）（x－2）＝0，x－5＝0或x－2＝0，所 以x1＝5，x2＝2，当等腰△ABC的边长分别为5，5，2时，△ABC的周长为5 ＋5＋2＝12；当等腰△ABC的边长分别为5，5，5时，△ABC的周长为5＋5 ＋5＝15；当等腰△ABC的边长分别为2，2，2时，△ABC的周长为2＋2＋2 ＝6.综上所述，△ABC的周长为6或12或15.故选D. D 7. 用因式分解法解方程. （1）3x（x－1）＝2x－2； 解：∵3x（x－1）＝2x－2， ∴3x（x－1）＝2（x－1）， ∴3x（x－1）－2（x－1）＝0， ∴（x－1）（3x－2）＝0， ∴x－1＝0或3x－2＝0， ∴x1＝1，x2＝ . （2）（x＋3）2＝2x＋6. 解：（2）（x＋3）2－2（x＋3）＝0，（x＋3）（x＋1）＝0，x＋3＝0或 x＋1＝0，解得x1＝－3，x2＝－1. 8. 【例】解方程（x－1）2－5（x－1）＋4＝0. 解：设x－1＝y， 则原方程可化为y2－5y＋4＝0. 解得y1＝1，y2＝4. 当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5. 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5. 上述解法称为“整体换元法”. 请运用“整体换元法”解方程：（2x－5）2－2（2x－5）－3＝0. 解得y1＝3，y2＝－1， 当y＝3时，即2x－5＝3，解得x＝4， 当y＝－1时，即2x－5＝－1，解得x＝2， ∴原方程的解为x1＝4，x2＝2. 解：设2x－5＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0， 参考答案 【新课导学】 ①两个一次因式 ②因式分解法 【例1】 C 对点训练1 x1＝1，x2＝－3 【例2】 C 对点训练2 x1＝3，x2＝2 【例3】　解：x2＝2x，x2－2x＝0，x（x－2）＝0，x＝0或x－2＝0，解 得x1＝0，x2＝2. 对点训练3　解：x（x－4）＝x－4，x（x－4）－（x－4）＝0，（x－ 4）（x－1）＝0，x－4＝0或x－1＝0，解得x1＝4，x2＝1. 【例4】　解：x（x－5）＝3x－15，则x（x－5）＝3（x－5）， ∴x（x－5）－3（x－5）＝0， ∴（x－5）（x－3）＝0， ∴x－5＝0或x－3＝0， ∴x1＝5，x2＝3. 对点训练4　解：2y2－9y＋5＝0，（y－5）（2y＋1）＝0，y－5＝0，2y ＋1＝0，y1＝5，y2＝－ . 【课堂通关】 1. C　2.C　3.x1＝0，x2＝ 　4.x1＝3，x2＝1 5.15　解析：∵x2－9x＋14＝0， ∴（x－2）（x－7）＝0， ∴x－2＝0或x－7＝0.∴x1＝2，x2＝7.当x＝2时，2＋3＝5，不满足三角形三 边关系，不符合题意；当x＝7时，3＋5＝8＞7，满足三角形三边关系，符合 题意，此时周长为3＋5＋7＝15. 6. D　解析：x2－7x＋10＝0，（x－5）（x－2）＝0， x－5＝0或x－2＝0，所以x1＝5，x2＝2， 当等腰△ABC的边长分别为5，5，2时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12； 当等腰△ABC的边长分别为5，5，5时，△ABC的周长为5＋5＋5＝15； 当等腰△ABC的边长分别为2，2，2时，△ABC的周长为2＋2＋2＝6. 综上所述，△ABC的周长为6或12或15. 故选D. 7. 解：（1）∵3x（x－1）＝2x－2， ∴3x（x－1）＝2（x－1）， ∴3x（x－1）－2（x－1）＝0， ∴（x－1）（3x－2）＝0， ∴x－1＝0或3x－2＝0， ∴x1＝1，x2＝ . （2）（x＋3）2－2（x＋3）＝0，（x＋3）（x＋1）＝0，x＋3＝0或x＋ 1＝0，解得x1＝－3，x2＝－1. 8. 解：设2x－5＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0， 解得y1＝3，y2＝－1， 当y＝3时，即2x－5＝3，解得x＝4， 当y＝－1时，即2x－5＝－1，解得x＝2， ∴原方程的解为x1＝4，x2＝2. $$