精品解析：广东省茂名市高州市十三校联考2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期学情练习（第16周） 八年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，而是整式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； B．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； C．的分母含字母，是分式，故符合题意； D．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； 故选C． 2. 若分式有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：分式有意义，则，解得， 故选：A 【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分母不等于0，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件． 3. 已知等腰三角形一边长为4，一边的长为2，则等腰三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】由于等腰三角形的底边和腰不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为2，2、，不可以构成三角形，舍去； 当4为腰时，其它两边为4和2，因为，所以能构成三角形，周长为． 故选C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解答此题时要注意分类讨论，舍去不符合条件的情况． 4. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解﹣公式法，根据平方差公式的结构特点：两个平方项且符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、有两个平方项且符号相反，则可以用平方差公式分解因式，不符合题意； B、有两个平方项且符号相反，则可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、有两个平方项，但符号相同，则不可以用平方差公式分解因式，符合题意； D、有两个平方项且符号相反，则可以用平方差公式分解因式，不符合题意； 故答案为：C． 5. 如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项． 【详解】解：∵点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内， ∴， 解得：-3＜x＜4， 在数轴上表示为：， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 6. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； C． ，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 若，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 9. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为（　　） A. 8 B. 2 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 12. 点向上平移1个单位长度后，正好落在轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的平移，根据x轴上的点的纵坐标为以及平移性质构建方程求解即可． 【详解】解：点向上平移1个单位长度为， ∵正好落在轴上， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°. 故答案为：60 考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质 14. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴时，， 又y随x的增大而减小， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【详解】由题意得， . ， ， ， 或 . 故答案为：-2或8 三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分） 16. （1）分解因式：； （2）解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1）； （2）； 将解集表示在数轴上，如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先提公因式2，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先去分母，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 甲、乙两位同学分解因式时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为，请写出多项式正确的分解结果． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解，即可解答． 【详解】解：，理由如下： 甲看错了b，分解结果为， ． 乙看错了a，分解结果为， ． ． 【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等求出a、b的值，是解题关键． 19. 如图，在中，是线段的垂直平分线，，求证：． 【答案】证明：∵是线段的垂直平分线， ∴ ∴ ∵， ∴ 设 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质推出，因此，由，推出，然后利用三角形内角和定理即可求解 【详解】略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 某单位要印刷一批宣传海报，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费10元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费12元，一次印刷页数超过20页时，超过部分每页收费9元，设该单位需要印刷宣传海报的页数为（且是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元） （1）分别写出与的函数关系式； （2）你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传海报较好？请说明理由． 【答案】（1），； （2） 当时，去乙印刷厂印刷这些宣传海报较好，当时，去两家印刷厂印刷这些宣传海报的费用一样，当时，去甲印刷厂印刷这些宣传海报较好，理由如下： 当，即时，去乙印刷厂印刷这些宣传海报较好； 当，即时，去两家印刷厂印刷这些宣传海报的费用一样； 当，即时，去甲印刷厂印刷这些宣传海报较好； 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）分别求出，，时x的取值或取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 略 21. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． （1）求证：； （2）若，，．求的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）12 【解析】 【分析】（1）由旋转可知，，结合等边三角形的性质，证明，可得结论； （2）连接，作垂直于，交的延长线于，由旋转可知，是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，求解求得，可得，进而可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 是等边三角形，则， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴， 作垂直于，交的延长线于，则， ∴， ∴． 【点睛】本题属考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 22. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用两种材料生产吉祥物．已知使用材料的吉祥物比材料每个贵50元，用4500元购买用材料生产吉祥物的数量是用3000元购买材料生产吉祥物数量的3倍． （1）求购买一个材料、一个材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过4200元到该工厂购买两种材料的吉祥物共60个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用材料的吉祥物的价格按原售价的九折出售，使用材料的吉祥物比原售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用材料的吉祥物？ 【答案】（1）购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元 （2）学校此次最多可购买20个B材料的吉祥物 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量总价单价，结合用4500元购买用材料生产吉祥物的数量是用3000元购买材料生产吉祥物数量的3倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价； （2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过4200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元； 【小问2详解】 解：设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物， 依题意，得：， 解得：． ∴m的最大值为20， 答：该学校此次最多可购买20个B材料的吉祥物． 五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分） 23. 将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． （1）利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． （2）类比应用：若，满足，求与的值． （3）延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2） （3） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法分解因式，即可求解；①根据“”分法即可得出答案； （2）把原式变形为，则可因式分解得到，再由非负数的性质求解即可； （3）把原式可因式分解为，根据构成三角形的条件可推出，据此可得结论． 【小问1详解】 解：解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 24. 根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 【答案】任务一： 证明：∵，且，， ∴， 在和中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∴， ∴平分； 任务二：约为； 任务三： 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案． 【详解】解：（1）略 （2）过E做， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：60． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期学情练习（第16周） 八年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形一边长为4，一边的长为2，则等腰三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 4. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 5. 如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 6. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 8. 若，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为（　　） A. 8 B. 2 C. 2 D. 6 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则x的值为_______． 12. 点向上平移1个单位长度后，正好落在轴上，则______． 13. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 _____． 15. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分） 16. （1）分解因式：； （2）解不等式，并将解集表示在数轴上． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 甲、乙两位同学分解因式时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为，请写出多项式正确的分解结果． 19. 如图，在中，是线段的垂直平分线，，求证：． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 某单位要印刷一批宣传海报，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费10元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费12元，一次印刷页数超过20页时，超过部分每页收费9元，设该单位需要印刷宣传海报的页数为（且是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元） （1）分别写出与的函数关系式； （2）你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传海报较好？请说明理由． 21. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． （1）求证：； （2）若，，．求的面积． 22. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用两种材料生产吉祥物．已知使用材料的吉祥物比材料每个贵50元，用4500元购买用材料生产吉祥物的数量是用3000元购买材料生产吉祥物数量的3倍． （1）求购买一个材料、一个材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过4200元到该工厂购买两种材料的吉祥物共60个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用材料的吉祥物的价格按原售价的九折出售，使用材料的吉祥物比原售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用材料的吉祥物？ 五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分） 23. 将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． （1）利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． （2）类比应用：若，满足，求与的值． （3）延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 24. 根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $