2025年海南省中考数学复习专训---专项十字模型

　十字模型 2025年海南中考数学复习专训---专项 一阶 认识模型(全等类) 正方形十字模型 模型分析 模型特点：在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF； 结论：△ABE≌△BCF，AE＝BF. 例1　如图，在正方形ABCD中，AC，BD为对角线. 求证：△ABC≌△BCD. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，AC＝BD， ∴△ABC≌△BCD. 例2　如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF交于点G.若BE＝CF.求证：∠AEB＝∠BFC. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴∠AEB＝∠BFC. 证明：如图，过点M作MF⊥CD于点F，设AE与MN交于点G， 例3　如图，在正方形ABCD中，点E，M，N分别是边BC，AB，CD上的点，且AE⊥MN.求证：AE＝MN. 一题多解法 ∟ F ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝∠CFM＝90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴MF＝BC＝AB，∠ABE＝∠AMF＝∠MFN＝90°. ∵AE⊥MN，∴∠AMG＋∠MAG＝90°， G 又∵∠AMG＋∠FMN＝90°， ∴∠MAG＝∠FMN， ∟ F 在△ABE和△MFN中，， ∴△ABE≌△MFN(ASA)， ∴AE＝MN. 证明：如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，FN分别交GE，GM于点P，Q，GE交FH于点O， 则∠GME＝∠FNH＝90°，四边形BCFN，四边形CDGM为矩形， 例4　如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD四条边上的点，若GE⊥HF且GE＞AB.求证：GE＝HF. ∟ M ∟ N ∴BC∥FN，BC＝FN，CD＝GM， ∴∠GQP＝∠GME＝90°，∴∠PGQ＋∠GPQ＝90°， ∵GE⊥HF，∴∠GOF＝90°， ∴∠PFO＋∠FPO＝90°， P Q O ∵∠GPQ＝∠FPO， ∴∠PGQ＝∠PFO， ∟ M ∟ N P Q O ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∴GM＝FN. ∴△MGE≌△NFH， ∴GE＝HF. 二阶　模型延伸(相似类) 模型特点：在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE⊥BD； 结论：△ABE∽△BCD，＝. 模型分析 矩形十字模型 解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°. 例5　如图，在矩形ABCD中，∠ADB＝30°，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，延长AF交BC于点E，求的值. ∵AF⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°， ∴∠BAE＝∠ADB，∴△ABE∽△DAB，∴＝. ∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴tan∠ADB＝tan 30°＝＝，∴＝. 例6　如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF，且AE⊥BF，AD＝2AB，求证：BF＝2AE. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥BF，∴∠CBF＋∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴＝， ∵AD＝2AB，∴BC＝2AB， ∴＝，即BF＝2AE. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠MKN＝ 90°， ∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝ 90°， 解：如图，过点N作NK⊥AB于点K，∴NK＝AD＝4， 例7　如图，在矩形ABCD中，点E，M，N分别是BC，AB，DC上一点，连接AE，MN，AE与MN相交于点G，且AE⊥MN，求证：∠AMG＝∠AEB. ∟ K ∵∠MNK＋∠AMG＝90°， ∴∠MNK＝∠MAG，∴△MNK∽△EAB， ∴＝，即＝，解得AE＝. 解：如图，设EF交GH于点O，分别过点F，G作FM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，FM交GH于点P，交GN于点Q. 例8　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F，G，H分别是边AB，CD，AD，BC上的点，EF⊥GH，求的值. ∟ N ∟ M Q P O ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝90°. ∵FM⊥AB，GN⊥BC， ∴四边形MBCF和四边形ABNG均是矩形. ∴MF＝BC＝AD，NG＝AB，∠MQG＝∠MQN＝90°. ∴∠HGN＋∠GPQ＝90°. ∵EF⊥GH，∴∠EFM＋∠OPF＝90°. ∵∠OPF＝∠GPQ，∴∠EFM＝∠HGN. ∟ N ∟ M Q P O ∵∠EMF＝∠HNG＝90°， ∴△EFM∽△HGN. ∴＝＝＝2. 三阶　综合训练 1. 如图，正方形ABCD的边长为6，E为CD上一点，连接AE，过点D作AE的垂线交BC于点F，连接AF.若DE＝2，则AF的长为(　　) A. 8 B. 4 C. 2 D. 2 C 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，E是BC边上一点，点F在CD的延长线上，且BE＝，DF＝2，连接EF交AD于点G，H是AB边上一点，过点H作HN⊥EF，分别交EF，CD于点M，N，若CN＝AH＝，则DN的长为　　. 　 3. 如图，在面积为16的正方形ABCD中，G是CD延长线上一点，F是BC上一点，DG＝BF，连接GF，过点C作CE⊥GF交GF于点H，交AB于点E，若S△FCG＝6，则CE的长为　　　. 　 4. 【问题发现】 (1)如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF； 图① (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ADE＝90°， ∴∠CDF＋∠DFC＝90°， ∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°， ∴∠CDF＋∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF； 【问题探究】 (2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H； 图② (2)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)， ∴DE＝CF， ∵CH＝DE，∴CF＝CH， ∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°， 图② 又∵DC＝DC， ∴△DCF≌△DCH(SAS)， ∴∠DFC＝∠H， ∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC， ∴∠ADF＝∠H； (3)解：如图，延长BC至点G，使CG＝DE＝7，连接DG， 【类比迁移】 (3)如图③，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝10，DE＝7，∠AED＝60°，求CF的长. 图③ G ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG， ∴△ADE≌△DCG(SAS)， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG， ∵AE＝DF，∴DG＝DF， ∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝10， 图③ G ∵CF＋CG＝FG， ∴CF＝FG－CG＝10－7＝3， 即CF的长为3. 谢谢 $$