衔接点04 几何图形-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

衔接点04 几何图形 学习要求 1 知识衔接 2 题型探究 3 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 3 题型2、割补法求面积（二）旋转 5 题型3、和差法求面积 8 题型4、整体代换法 11 题型5、等积变换法求面积（体积） 12 题型6、差不变思想（原理） 15 题型7、容斥原理（韦恩图） 16 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 18 题型9、立体图形的拼切重组问题 21 基础通关 24 拓展提优 29 小学阶段 初中阶段 主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的观察上，而要转入对其性质较为系统的研究。初中数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接指引 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合等面积法的思想能让我们的思维理念得到很大提升。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或任意求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2024·甘肃·小升初模拟）下图是由两个边长是2分米的正方形拼成的，图中阴影部分的面积是（    ）平方分米。 A．2 B．4 C．8 例2．（2025六年级下·全国·专题练习）如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 例3．（2024六年级·全国·竞赛）如图，已知正六边形ABCDEF的面积是314平方厘米，那么阴影部分面积总和是( )。（取3.14） 变式1．（2024·黑龙江·小升初模拟）求阴影部分的面积。 (1)图1中阴影部分的面积是( )。 (2)图2中阴影部分的面积是( )。 变式2．（2025·全国·小升初模拟）求下图中涂色部分的面积。 变式3．（2025·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm） 变式4．（2024·北京·小升初模拟）如图，四个半径均为R的等圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 。 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2024六年级·全国·竞赛）如图，正方形ABCD的面积为16cm2，则阴影部分的面积是（    ）cm2。（π取3） A．4 B．6 C．7.5 D．9 例2．（2024·河北·小升初模拟）如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和是39平方厘米。大三角形ABC的面积是( )平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以用方程） 例3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 变式1．（2024·陕西·小升初模拟）两个边长是4厘米的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个的中心上，阴影部分是重叠面积，求不重叠部分面积。 变式2．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 变式3．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 变式4．（2024·甘肃·小升初模拟）如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2024·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm） 例2．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米。（结果保留，不取近似值） 例3．（2023·陕西西安·小升初真题）下图中正方形的边长是6厘米，分别以正方形的边长为半径和直径，作扇形、圆，求阴影部分的面积。（π取3.14） 变式1．（2024·江苏扬州·小升初真题）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 变式2．（2024·湖北·小升初模拟）求下面阴影部分的面积。 变式3．（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 变式4．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1．（2024·浙江·小升初模拟）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（    ）cm2。 A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256 例2．（2025六年级下·全国·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 例3．（2024·全国·小升初模拟）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 变式1．（2024·福建·小升初模拟）如下图，正方形的面积是50cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 变式2．（2024·山东·小升初模拟）图中部分的面积是16平方厘米，半圆环的面积是( )平方厘米。 变式3．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是 。 题型5、等积变换法求面积（体积） 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积、体积之间的关系。 例1．（2024·浙江·小升初模拟）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 例2．（2024·全国·小升初模拟）如图是一张三角形ABC的硬纸块，D、E分别为边AC、BC上的点，且AE＝EC，CD＝2BD，连接BE、AD使得BE、AD相交于点F，已知三角形BDF的面积为5cm2，那么这张硬纸块的面积为( )cm2。 例3．（2024六年级·全国·专题练习）如下图，在梯形中，三角形的面积等于30平方厘米，，梯形的面积是多少平方厘米？ 例4．（2024·江苏常州·小升初真题）如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是( )厘米。 例5．（2024·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为( )。（结果保留） 变式1．（2024·全国·小升初模拟）如图所示，已知四边形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点，且四边形EDFB的面积是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 变式2．（2024·安徽黄山·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 变式3．（2024·江苏·小升初模拟）在平行四边形ABCD中，AE＝EF＝FB，AG＝2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，求平行四边形ABCD面积。 变式4．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 变式5．（2024·河南·小升初模拟）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 题型6、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1．（2024·全国·小升初模拟）如图，大小两个长方形部分重叠，算一算两块没有重合的阴影部分面积的差是多少？（单位：厘米） 例2．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？ 例3．（2024·辽宁·小升初模拟）如图，长方形ABCD的长是10厘米，宽是8厘米。三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，涂色部分的面积是多少平方厘米？ 变式1．（2025·全国·专题练习）如图，大圆半径是5厘米，小圆半径是2厘米，涂色部分重叠在一起。大圆、小圆没有重叠的部分的面积相差多少平方厘米？ 变式2．（2024·四川·小升初模拟）如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的面积大12cm2，求FC的长。 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。重点要理解容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1．（2024·全国·小升初模拟）如图，正方形的边长为4厘米，分别以正方形的四边为直径作半圆，那么阴影部分的面积是 ． 例2．（2024·全国·小升初模拟）如图，△ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝AC，以BC、AC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积． 例3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。 例4．（23-24六年级·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    变式1．（2024·全国·小升初模拟）已知如图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用π表示） 变式2．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是多少？ 变式3．（2025六年级下·全国·竞赛）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？ 变式4．（2024.广东六年级期中）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1．（2024·四川乐山·小升初真题）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种。三位同学的想法中，（    ）。 甲： （上底＋下底）×高÷2＝梯形面积 乙： 4÷2＝2（cm）（3＋5）×2＝16（cm2） 丙： 3×4÷2＝6（cm2） 5×4÷2＝10（cm2） 6＋10＝16（cm2） A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 例2．（2024·山东·小升初模拟）如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这个长方形的长是 cm，圆的面积是 cm2。 例3．（2024·浙江·小升初模拟）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 例4．（2024·浙江杭州·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米。 例5．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证：①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 变式1．（2025·浙江·小升初模拟）把一个半径为5cm的草编圆形茶杯垫按下图所示的方法剪开，得到三角形的底是( )cm，高是( )cm，面积是( )。 变式2．（2024·江苏·小升初模拟）有一个正方形，如果先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形，那么面积比原来减少194平方分米。原来正方形的边长是多少分米？ 变式3．（2024·全国·小升初真题）如图，等边△ABC的边长是5，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在处，且点在△ABC外部，则阴影图形的周长等于( )． 变式4．（2024·河南·小升初真题）心灵手巧的小丽将一张长方形纸条按如图方式进行折叠， 若，则在图（3）中的度数为 度。 变式5．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1．（2024·河北保定·小升初真题）用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会增加 平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第三种切分方式表面积会增加 平方厘米。但无论怎样切，体积都是 立方厘米。 例2．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 例3．（2024·山东·小升初模拟）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 例4．（2024·辽宁·小升初模拟）用个棱长的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色（如下图），剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 例5．（2023·浙江宁波·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 变式1．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 变式2．（2024·海南·小升初模拟）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。 变式3．（2024·福建·小升初模拟）有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 变式4．（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有( )cm2是蓝色的。 变式5．（2025·全国·小升初模拟）把如图所示的正方体分成三个长方体，长方体A的表面积是长方体B表面积的，长方体C的表面积是长方体B表面积的，则长方体A的体积是长方体C体积的几分之几？ 1．（2024六年级·全国·竞赛）如图，已知大圆半径为6cm，四个小圆的面积相等。阴影部分面积是多少平方厘米？（分合割补法） 2．（2025六年级下·河北·专题练习）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3．（2024·新疆·小升初模拟）如图所示，阴影部分的面积是 cm2。 4．（2024·浙江·小升初模拟）ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。（的值取3.14） 5．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 6．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 7．（2025六年级下·浙江·期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 8．（2024·浙江宁波·小升初真题）下图中阴影部分面积为25平方厘米，∠AOB为直角，环形（两个圆之间的部分）的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 9．（2024·江苏·小升初模拟）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降( )厘米。 10．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 11．（24-25六年级上·广东江门·期中）三角形ABC的面积是24平方厘米，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点，求阴影面积。 12．（2024·江苏·小升初模拟）一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？ 13．（2024·河南南阳·小升初真题）将700毫升果汁倒入瓶子中，拧紧瓶盖。分别将瓶底朝下和朝上放置，如图所示。求瓶子的容积。 14．（2024·江苏·专题练习）如图，平行四边形BCEF中，厘米，直角三角形中，厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？ 15．（23-24六年级·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 16．（2024六年级·全国·竞赛）如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米。阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 17．（2024六年级·全国·竞赛）三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 18.（2024六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 19．（2024·福建福州·小升初真题）聪聪在探究圆柱体积时，先把圆柱体拼成一个近似长方体，再把这个长方体侧放，他发现了一种更巧妙的方法（如图）。如果圆柱的底面半径是4厘米，侧面积是251.2平方厘米，这个圆柱的体积是 立方厘米。 20．（2024·江苏·小升初模拟）一个表面涂满红漆的圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米。若沿虚线（如图）切开后得到一些完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 平方厘米，没有涂红漆的面共有 个。 1．（2024·四川成都·小升初真题）如图，四边形是平行四边形，，，，高，弧，分别以，为半径，弧，分别以，为半径，阴影部分的面积为多少？（取3） 2．（23-24六年级下·四川成都·期末）如图所示，E、F分别是三角形ABC中BC边与AC边上的点，AE与BF交于点O，且三角形AFO、三角形ABO和三角形BEO的面积依次为3，2，1。阴影部分的面积为 。 3．（2024六年级·全国·竞赛）如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 4．（2023·陕西西安·小升初真题）如图，点D、E、F分别为BC、AC、AB边的四等分点、五等分点和六等分点，则△DEF与△ABC的面积比为( )。 5．（2023六年级·全国·竞赛）水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 6．（2023·全国·竞赛）图A是一个由125个小正方体组成的大正方体。从这个大正方体中抽出一些小正方体，抽的方法是：从一个面到其对面所涉及到的小正方体都要抽掉。图B中黑色部分就是抽出后的情形。则图B中共抽出了( )个小正方体。 7．（2025·浙江·小升初模拟）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题： 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 8 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 8 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。④没有涂色的小正方体共 块。 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点04 几何图形 学习要求 1 知识衔接 2 题型探究 3 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 3 题型2、割补法求面积（二）旋转 9 题型3、和差法求面积 14 题型4、整体代换法 21 题型5、等积变换法求面积（体积） 25 题型6、差不变思想（原理） 33 题型7、容斥原理（韦恩图） 36 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 41 题型9、立体图形的拼切重组问题 48 基础通关 57 拓展提优 71 小学阶段 初中阶段 主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的观察上，而要转入对其性质较为系统的研究。初中数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接指引 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合等面积法的思想能让我们的思维理念得到很大提升。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或任意求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2024·甘肃·小升初模拟）下图是由两个边长是2分米的正方形拼成的，图中阴影部分的面积是（    ）平方分米。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】观察上图可知，把第二个正方形中的阴影部分平移到第一个正方形的空白部分，阴影部分刚好拼成一个正方形；因此根据正方形面积＝边长×边长，求出一个正方形的面积即可解答。 【详解】（平方分米） 阴影部分的面积是4平方分米。 故答案为：B 例2．（2025六年级下·全国·专题练习）如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 【答案】B 【分析】阴影面积是一个不规则图形，可以利用割补法和移补法，将左下角正方形的阴影部分移补到右上角小正方形左上角的空白处，如图： 这样阴影部分的面积＝以8厘米为半径的扇形BAD面积＋长方形BCFE面积－大正方形ABCD的面积。扇形面积公式：S＝πR2，正方形的四个角是直角90°，所以扇形的圆心角是90°，据此列式解答即可。 【详解】根据分析： 4＋4＝8（厘米） ×π×82 ＝×3.14×64 ＝50.24（平方厘米） 4×8＝32（平方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 50.24＋32－64＝18.24（平方厘米） 阴影部分的面积是18.24平方厘米。 故答案为：B 【点睛】本题关键是利用割补法和移补法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行解答。 例3．（2024六年级·全国·竞赛）如图，已知正六边形ABCDEF的面积是314平方厘米，那么阴影部分面积总和是( )。（取3.14） 【答案】628 【分析】观察图形可知，如下图所示，阴影部分的面积＝一个正六边形的面积＋6个三角形的面积＝2个正六边形面积，据此解题即可。 【详解】如图： 314×2＝628（平方厘米） 所以，阴影部分面积总和是628平方厘米。 【点睛】正确地、灵活运用割补法的，是解答此题的关键。 变式1．（2024·黑龙江·小升初模拟）求阴影部分的面积。 (1)图1中阴影部分的面积是( )。 (2)图2中阴影部分的面积是( )。 【答案】(1)8平方厘米/8cm2 (2)100平方分米/100dm2 【分析】（1）把中间梯形阴影部分先旋转再平移到右边，和空白梯形部分重合，可知正方形内阴影部分的面积是正方形面积的一半，根据正方形面积＝边长×边长，求出正方形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积； （2）在长方形的长的10分米处向对边作一条垂线，把大长方形分成两个边长都是10分米的正方形，把右上角的阴影部分平移到左边正方形的空白部分，可知阴影部分是一个边长10分米的正方形，根据正方形面积＝边长×边长，即可求出阴影部分的面积。 【详解】（1）4×4÷2＝8（平方厘米） （2）10×10＝100（平方分米） 【点睛】此题考查了不规则图形的面积的计算方法，关键是明确阴影部分的面积是哪几个部分的面积之和或差。 变式2．（2025·全国·小升初模拟）求下图中涂色部分的面积。 【答案】25平方厘米 【分析】 把上面两个阴影部分面积分别移到下面，如图：，则阴影部分面积＝长是10厘米，宽是（10÷2）厘米的长方形面积－底是10厘米，高是（10÷2）厘米的三角形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×（10÷2）－10×（10÷2）÷2 ＝10×5－10×5÷2 ＝50－50÷2 ＝50－25 ＝25（平方厘米） 阴影部分面积是25平方厘米。 变式3．（2025·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm） 【答案】50 dm2；56.52 dm2 【分析】（1）由图可知，将左边和中间两部分平移至右边空白处，所以涂色部分的面积等于长5×2＝10dm、宽5dm的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式即可求解； （2）由图可知，将下面小半圆移至上面空白部分处，拼成一个大半圆，再根据圆的面积＝，再除以2，即可求出涂色面积。 【详解】（1）长：5×2＝10（dm） 10×5＝50（dm2） 所以，这个涂色部分的面积50 dm2。 （2）3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（dm2） 所以，这个涂色部分的面积56.52dm2。 变式4．（2024·北京·小升初模拟）如图，四个半径均为R的等圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 。 【答案】4R2 【详解】由图可知，阴影部分可以分为两部分：一个整圆面积＋四条弧线围成的图形面积． 如图，所画正方形边长为2R，四条弧线围成的图形面积是：2R×2R－πR2＝4R2－πR2 整圆面积为：πR2 故所求阴影部分面积为：4R2－πR2＋πR2＝4R2 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2024六年级·全国·竞赛）如图，正方形ABCD的面积为16cm2，则阴影部分的面积是（    ）cm2。（π取3） A．4 B．6 C．7.5 D．9 【答案】B 【分析】将阴影部分旋转组合，刚好可以转化为半个圆环的面积。正方形ABCD的面积为16cm2，因此正方形的边长就是4厘米，由此即可求出内圆的半径为2厘米，面积为4π平方厘米；外圆的半径为厘米，面积为8π平方厘米；相减即可求出圆环的面积，除以2即可求出阴影部分的面积。 【详解】正方形的边长：16÷4＝4（厘米） 内圆的半径：4÷2＝2（厘米） 外圆的半径：2×＝（厘米） 故答案为：B 例2．（2024·河北·小升初模拟）如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和是39平方厘米。大三角形ABC的面积是( )平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以用方程） 【答案】75 【分析】由于空白部分是一个正方形，把乙逆时针旋转90°，则会得到一个底是：4＋9＝13（厘米），高是正方形边长是三角形；由于这个三角形的面积是39平方厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，可以求出正方形的边长，之后再求出大三角形ABC的两条直角边，代入面积公式即可求解。 【详解】39×2÷（4＋9） ＝78÷13 ＝6（厘米） （4＋6）×（9＋6）÷2 ＝10×15÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。 例3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.71平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分为不规则图形可考虑整体减去空白。AC左边为半圆，右边为扇形CAB，所以图形总面积为半圆面积＋扇形CAB面积，阴影部分面积为半圆面积＋扇形CAB面积－半圆面积＝扇形CAB面积，所以阴影部分面积转化为扇形CAB的面积，旋转轴AB长3厘米为扇形CAB的半径，根据扇形面积公式计算即可 【详解】（平方厘米） 变式1．（2024·陕西·小升初模拟）两个边长是4厘米的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个的中心上，阴影部分是重叠面积，求不重叠部分面积。 【答案】24平方厘米 【分析】标注字母并作出辅助线，根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此阴影部分的面积就是正方形面积的，再用正方形的面积减去阴影部分的面积就是一个正方形中不重叠部分面积，两个相同正方形不重叠部分面积完全一样，最后乘2即可。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：不重叠部分的面积是24平方厘米。 【点睛】本题考查了正方形的特点，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形也是本题的难点。 变式2．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 【答案】平方厘米 【分析】如图，通过割补知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的。根据，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 即阴影部分面积是平方厘米。 变式3．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】628 【分析】观察图形可知，4个空白部分完全相同，把每个空白部分中的空白小半圆和阴影小半圆的位置对调，即可看出每个空白部分是一个直径为（40÷2）cm的半圆； 那么阴影部分的面积＝半径为（40÷2）cm大圆的面积－4个直径为（40÷2）cm空白半圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（40÷2）2－3.14×（40÷2÷2）2÷2×4 ＝3.14×202－3.14×102÷2×4 ＝3.14×400－3.14×100÷2×4 ＝1256－628 ＝628（cm2） 阴影部分的面积是628cm2。 变式4．（2024·甘肃·小升初模拟）如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】 如上图所示，将原图进行割补，则可以得出，正方形的面积就等于5个小正方形的面积和，于是阴影部分的面积就等于大正方形的面积除以5，据此即可得解。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 100÷5＝20（平方厘米） 答：阴影部分的面积是20平方厘米。 【点睛】本题考查求阴影部分的面积，掌握割补法是解题的关键。 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2024·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm） 【答案】25.12平方分米；10.26平方分米 【分析】（1）阴影部分的面积等于以8分米为半径的圆面积的减去一个以8分米为直径的半圆的面积，据此结合圆的面积公式：S＝π（d÷2）2＝πr2列式计算； （2）阴影部分的面积等于以6分米为半径的圆的面积减去一个底是6分米高是6分米的三角形的面积，据此结合圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2列式计算。 【详解】3.14×82×－3.14×（8÷2）2× ＝3.14×64×－3.14×42× ＝200.96×－3.14×16× ＝50.24－50.24× ＝50.24－25.12 ＝25.12（平方分米）     3.14×62×－6×6÷2 ＝3.14×36×－36÷2 ＝113.04×－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方分米） 例2．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米。（结果保留，不取近似值） 【答案】 【分析】长方形的面积－扇形CBF的面积＝不规则图形ABFD，阴影部分的面积＝扇形ABE－不规则图形ABFD。长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝。注意：结果保留，不取近似值。 【详解】扇形CBF的面积：＝＝4（平方厘米） 不规则图形ABFD：4×6－4＝（24－4）平方厘米 扇形ABE面积：＝＝9（平方厘米） 阴影部分的面积： ＝ ＝（）平方厘米 则图中阴影部分的面积是为（13π－24）平方厘米。 【点睛】因为长方形的四个角都是90°，扇形CBF的圆心角为90°，即它的面积是以半径为4厘米的圆的，同理扇形ABE的面积是以半径为6厘米的圆。求扇形的面积要先求出所在圆的面积。 例3．（2023·陕西西安·小升初真题）下图中正方形的边长是6厘米，分别以正方形的边长为半径和直径，作扇形、圆，求阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】11.61平方厘米 【分析】 如图所示，在一个正方形里面有一个最大的圆，这个圆的直径是这个正方形的边长。可以观察发现正方形减去圆，剩下正方形四个角上一模一样的图形（S1），每一个S1的面积＝（正方形的面积－圆的面积）÷4，根据正方形的面积＝边长×边长、圆的面积＝计算出一个S1的面积；根据各部分之间的关系，可知阴影部分的面积＝（正方形的面积－半径是6厘米圆的面积－S1）×2，据此代入数值计算即可。 【详解】6×6＝36（平方厘米） （平方厘米） S1面积：（36－28.26）÷4 ＝7.74÷4 ＝1.935（平方厘米） 阴影部分面积：（36－－1.935）×2 ＝（36－28.26－1.935）×2 ＝5.805×2 ＝11.61（平方厘米） 答：阴影部分的面积为11.61平方厘米。 【点睛】找出如何得出阴影部分面积的方法，再利用基础图形的公式计算。 变式1．（2024·江苏扬州·小升初真题）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积＝大半圆的面积－小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】16÷2＝8（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×82÷2－3.14×42 ＝3.14×64÷2－3.14×16 ＝100.48－50.24 ＝50.24（平方厘米） 答：这个零件横截面（涂色部分）的面积是50.24平方厘米。 变式2．（2024·湖北·小升初模拟）求下面阴影部分的面积。 【答案】10.56平方厘米 【分析】增加一条辅助线，将阴影部分一分为二。圆面积＝πr2，由此求出半径是4厘米圆的面积，再除以4，求出四分之一圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，由此求出大正方形中右上三角形的面积。阴影部分面积＝四分之一圆的面积－右上三角形的面积＋底为3厘米、高为4厘米的阴影三角形的面积。 【详解】如图： 3.14×42÷4－4×4÷2＋3×4÷2 ＝3.14×16÷4－8＋6 ＝12.56－8＋6 ＝10.56（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是10.56平方厘米。 【点睛】本题考查了阴影部分的面积，需熟练运用割补法将阴影部分一分为二，分别求出面积再相加。 变式3．（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 【答案】2.28平方厘米 【分析】观察可知，如下图用半径为2厘米的圆的面积减空白1，就是阴影2，再减去阴影1即可得解。根据减法的运算性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，而空白1与阴影1的和等于正方形面积与圆的面积的差，所以两阴影部分面积的差等于半径为2厘米的圆的面积减正方形面积与圆的面积之差，根据、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 答：两阴影部分面积相差2.28平方厘米。 变式4．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 【答案】10平方厘米 【分析】通过观察可知，阴影部分的面积相当于直径为AC的圆面积＋扇形BCD的面积－三角形ABC的面积；已知AC为4厘米，则半径是（4÷2）厘米，根据圆面积公式：S＝πr2（π取3），代入数据即可求出直径为AC的圆面积；因为等腰三角形ABC的∠ABC为45°，所以扇形BCD的面积相当于半径为BC的圆面积的，根据圆面积公式，代入数据求出半径为BC的圆面积；再根据分数乘法的意义，用半径为BC的圆面积乘即可求出扇形BCD的面积；然后根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出等腰三角形ABC的面积；最后即可求出阴影部分的面积。 【详解】3×（4÷2）2 ＝3×22 ＝3×4 ＝12（平方厘米） 3×42× ＝3×16× ＝3×16× ＝6（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 12＋6－8＝10（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积之和是10平方厘米。 【点睛】本题主要考查了容斥原理和平面几何的综合应用，关键是明确这个图形由哪两个图形拼成，减去了哪个图形。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1．（2024·浙江·小升初模拟）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（    ）cm2。 A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256 【答案】B 【分析】根据题意，可把外圆的半径用R表示，小圆的半径用r表示，大三角形的面积为R2，小三角形的面积r2，可用大三角形的面积减去小三角形的面积计算出（R2－r2）然后再代入圆环的面积公式S＝π（R2－r2）进行计算即可得到答案。 【详解】R2－r2＝30 解：（R2－r2）＝30 （R2－r2）÷＝30÷ （R2－r2）×2＝30×2 R2－r2＝60 3.14×60＝188.4（cm2） 圆环的面积是188.4cm2。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查的是圆环的面积公式的灵活应用。 例2．（2025六年级下·全国·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 81 127.17 【分析】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即2r，高是圆的半径，即r，根据三角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方形的面积除以2即可求出r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【详解】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是81平方厘米，圆的面积是127.17平方厘米。 【点睛】本题的关键是找到r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可求出圆的面积。 例3．（2024·全国·小升初模拟）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】45平方厘米 【分析】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r。 则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2 ＝141.3÷3.14 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 【点睛】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。 变式1．（2024·福建·小升初模拟）如下图，正方形的面积是50cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】28.5 【分析】如图，将正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底＝正方形对角线，三角形的高＝正方形对角线÷2，根据三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形面积，乘2是正方形面积，即正方形面积＝对角线×（对角线÷2）÷2×2＝对角线×对角线÷2＝对角线的平方÷2。 看图可知，正方形的对角线＝圆的半径，根据上边的结论，正方形面积＝半径的平方÷2，即正方形面积×2＝半径的平方，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积＝×圆周率×半径的平方－正方形的面积，将半径的平方代入，计算即可。 【详解】×3.14×（50×2）－50 ＝×3.14×100－50 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） 阴影部分的面积是28.5cm2。 【点睛】关键是灵活利用面积公式，推导出正方形面积＝对角线的平方÷2。 变式2．（2024·山东·小升初模拟）图中部分的面积是16平方厘米，半圆环的面积是( )平方厘米。 【答案】25.12 【分析】圆环的面积＝π（R²－r²），而的面积是16平方厘米＝R²－r²，阴影部分面积已知，于是利用等量代换的方法，即求出半圆环的面积。 【详解】设大圆的半径为R，小圆半径为r， 又因R²－r²＝16平方厘米 则半圆环的面积： π（R²－r²）÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 【点睛】解答此题关键是明确组合图形是由那些基本图形构成的，然后明白求面积之和还是求差。 变式3．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是 。 【答案】32 【详解】解：设甲的边长为x，甲的周长为4x，乙的周长是5x，丙的周长是6x。 （6x÷4）2－（5x÷4）2＝22；（x）2－（x）2＝22；x2－x2＝22 x2＝22；x2＝22÷；x2＝22×；x2＝32；甲的面积是32。 题型5、等积变换法求面积（体积） 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积、体积之间的关系。 例1．（2024·浙江·小升初模拟）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【答案】440平方米 【分析】连接BD，如图所示： 三角形面积＝底×高÷2，三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE＝2AE，那么三角形BEF的面积是三角形AEF面积的2倍； FG＝GD，那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么这两个三角形的面积相等； 同理，BH＝HC，那么三角形BHD和三角形HCD等底等高，面积相等。 将空白部分的面积相加，求出种植郁金香的面积即可。 【详解】25×2＝50（平方米） 50＋150＋150＋90＝440（平方米） 答：郁金香的面积是440平方米。 【点睛】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法求组合图形的面积是解题的关键。 例2．（2024·全国·小升初模拟）如图是一张三角形ABC的硬纸块，D、E分别为边AC、BC上的点，且AE＝EC，CD＝2BD，连接BE、AD使得BE、AD相交于点F，已知三角形BDF的面积为5cm2，那么这张硬纸块的面积为( )cm2。 【答案】60 【分析】连接CF，根据底边关系可得：△CDF的面积是△BDF的2倍，即5×2＝10cm， △BCF的面积＝△CDF的面积＋△BDE的面积＝5＋10＝15（cm2），因为AE＝EC，得出△BCE的面积＝△BAE的面积，△FCE的面积＝△FAE的面积，所以△ABF的面积＝△BCF的面积＝15（cm2），因为△ABD的面积＝△ABF的面积＋△BDF的面积，所以△ABD的面积＝15＋5＝20（cm2）由CD＝2BD，可得△ACD的面积＝2×△ABD的面积＝2×20＝40（cm2），因为△ABC的面积＝△ACD的面积＋△ABD的面积，所以 △ABC的面积＝40＋20＝60（cm2），据此解答即可。 【详解】如图 连接CF， 因为CD＝2BD， 所以△CDF的面积是△BDF的2倍， 因为△BDF的面积为5cm2， 所以△CDF的面积是5×2＝10cm2，△BCF的面积＝△CDF的面积＋△BDF的面积＝5＋10＝15（cm2） 因为AE＝EC， 所以△BCE和面积＝△BAE的面积，△FCE和面积＝△FAE的面积， 所以△ABF的面积＝△BCF的面积＝15（cm2） 因为△ABD的面积＝△ABF的面积＋△BDF的面积， 所以△ABD的面积＝15＋5＝20（cm2） 因为CD＝2BD， 所以△ACD的面积＝2×△ABD的面积＝2×20＝40（cm2） 因为△ABC的面积＝△ACD的面积＋△ABD的面积 所以△ABC的面积＝40＋20＝60（cm2） 所以这张硬纸块的面积为60cm2。 【点睛】本题主要考查了三角形的面积与高和底的关系，解题的关键是求出△ABD的面积。 例3．（2024六年级·全国·专题练习）如下图，在梯形中，三角形的面积等于30平方厘米，，梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【详解】思路点拨因为三角形与三角形同底等高， 所以三角形与三角形的面积相等， 同时减去三角形，三角形与三角形的面积相等，都等于30平方厘米。 因为三角形与三角形同高，，即， 所以三角形的面积是10平方厘米，三角形的面积是40平方厘米。 因为三角形与三角形同高，， 所以三角形的面积是（平方厘米）。 此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的面积相加，（平方厘米）就是梯形的面积。 因为三角形与三角形的面积相等， 所以三角形的面积是30平方厘米。 因为， 所以三角形的面积是10平方厘米，三角形的面积是90平方厘米。 梯形的面积是：（平方厘米） 答：梯形的面积是160平方厘米。 注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积。本题把梯形转化成三角形，运用三角形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。 例4．（2024·江苏常州·小升初真题）如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是( )厘米。 【答案】5 【分析】根据题意把这个容器正放，那么水都流到圆柱，那么容积水面的高＝倒置圆柱部分水的高＋圆锥部分变圆柱后水的高，倒置时圆柱部分的高为（7－3）厘米，圆锥部分水变圆柱后的高与圆柱等底等体积，那么圆柱的高是圆锥的，据此解答。 【详解】（7－3）＋×3 ＝4＋1 ＝5（厘米） 如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是5厘米。 例5．（2024·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为( )。（结果保留） 【答案】 【分析】蓝色溶液的体积没有发生变化，图2和图3的阴影部分都是液体的体积。由图2可以根据圆柱的体积＝算出蓝色溶液的体积。再根据图三求出空白部分的体积，空白的部分是一个和圆柱相同的底面，但是高是4cm的圆柱。整个玻璃器皿的体积＝蓝色溶液的体积＋空白部分的体积。 【详解】蓝色溶液的体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 空白部分的体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 玻璃器皿的体积：（cm3） 则玻璃密封器皿总容量为cm3。（结果保留） 变式1．（2024·全国·小升初模拟）如图所示，已知四边形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点，且四边形EDFB的面积是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】20 【分析】连接B、D两点，将图形分成a、b、c、d四个部分，如图所示： E为AD边的中点，F为BC边的中点，可知：a与b的面积相等，c与d的面积相等。已知四边形EDFB的面积（b与c的面积和）是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是四边形EDFB的面积的2倍。据此解答。 【详解】连接B、D作辅助线，将图形分成a、b、c、d四个部分。 因为，E为AD边的中点，F为BC边的中点，所以，a与b、c与d两个三角形分别是等底等高，即面积相等。 四边形EDFB的面积＝b＋c＝10平方厘米 四边形ABCD的面积＝a＋b＋c＋d＝2×（b＋c） 10×2＝20（平方厘米） 所以，四边形ABCD的面积是20平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是通过作辅助线，利用线段的中点，将图形分成几个部分，再根据等底等高的三角形面积相等的特征求出部分图形已知面积与整体面积的关系巧求面积。 变式2．（2024·安徽黄山·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 【答案】12 【分析】由图可知，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，由此求出三角形的面积占三角形面积的分率，最后用乘法求出三角形的面积。 【详解】因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×27＝18（cm2）； 因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×18＝12（cm2）； 由上可知，三角形的面积是12cm2。 【点睛】根据三角形底边的关系找出三角形的面积关系是解答题目的关键。 变式3．（2024·江苏·小升初模拟）在平行四边形ABCD中，AE＝EF＝FB，AG＝2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，求平行四边形ABCD面积。 【答案】54平方厘米 【分析】根据题意可知，AE＝EF＝EB，由此可知三角形AEG＝三角形EFG＝三角形FBG，三角形ABG的面积＝6×3＝18平方厘米；AG＝2CG，由此可知三角形CBG的面积＝三角形ABG面积÷2，即三角形CBG的面积＝18÷2＝9平方厘米，三角形ABC的面积＝三角形ABG的面积＋CBG的面积＝18＋9＝27平方厘米，平行四边形ABCD的面积＝三角形ABC的面积×2，用27×2，即可解答。 【详解】三角形ABG的面积： 6×3＝18（平方厘米） 三角形CBG的面积： 18÷2＝9（平方厘米） 三角形ABC的面积： 18＋9＝27（平方厘米） 平行四边形ABCD的面积： 27×2＝54（平方厘米） 答：平行四边形ABCD的面积是54平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是利用三角形等底等高，求出三角形面积，再利用三角形面积求出平行四边形面积。 变式4．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】已知圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，可知它们的底面半径之比为5∶4，底面积之比为25∶16； 因为圆锥形铅锤完全浸没在水中，从水中取出铅锤，那么容器中的水面会下降，水下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，它们的体积之比为1∶1； 根据圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比； 已知圆锥形铅锤的高是15厘米，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出容器中水面下降的高度。 【详解】圆柱容器和圆锥铅锤的底面半径之比为5∶4； 圆柱容器和圆锥铅锤的底面积之比为52∶42＝25∶16； 圆柱容器中水面下降部分的体积与圆锥铅锤的体积之比为1∶1； 圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比为： （1÷25）∶（1×3÷16） ＝∶ ＝（×400）∶（×400） ＝16∶75 圆柱容器中的水面高度下降： 15÷75×16 ＝0.2×16 ＝3.2（厘米） 答：容器中的水面高度将下降3.2厘米。 【点睛】求出圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比是解题的关键，再根据比的应用的解题方法求解。 变式5．（2024·河南·小升初模拟）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 【答案】396毫升 【分析】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。 【详解】462毫升＝462立方厘米 圆柱的底面积：462÷（12＋2） ＝462÷14 ＝33（平方厘米） 瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米） 396立方厘米＝396毫升 答：瓶内装有果汁396毫升。 【点睛】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。 题型6、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1．（2024·全国·小升初模拟）如图，大小两个长方形部分重叠，算一算两块没有重合的阴影部分面积的差是多少？（单位：厘米） 【答案】28平方厘米 【分析】大长方形没有重合的阴影部分的面积等于大长方形面积减去重合部分面积，小长方形没有重合的阴影部分的面积等于小长方形面积减去重合部分面积；因为重合面积相等，所以两块没有重合的阴影部分面积差就是大长方形面积与小长方形面积差，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】6×8－5×4 ＝48－20 ＝28（平方厘米） 没有重叠的阴影部分面积相差28平方厘米。 【点睛】本题考查长方形的面积重叠问题，解答本题的关键是理解没有重合的阴影部分面积差就是大长方形面积与小长方形面积差。 例2．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？ 【答案】15厘米 【分析】根据图可知Ⅲ是半圆和三角形ABC的公有部分，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，也就是说半圆比三角形ABC的面积大7平方厘米，又因为已知直径，可求出半圆的面积，用半圆面积减去7平方厘米就是三角形的面积，最后根据三角形的面积公式可以求出BC的长。 【详解】由题意可知： 半圆面积＝π÷2 ＝3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝157（平方厘米） 由图可知，Ⅰ＋Ⅲ＝半圆面积，Ⅱ＋Ⅲ＝SABC，又因为阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米， 所以：SABC＝157－7＝150（平方厘米） SABC＝BC×AB÷2 150＝BC×20÷2 BC＝15（厘米） 答：BC的长为15厘米。 【点睛】此题考查了组合图形的面积和转化的思想。 例3．（2024·辽宁·小升初模拟）如图，长方形ABCD的长是10厘米，宽是8厘米。三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】因为三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，三角形ADF和三角形BEF同时加上三角形BDF的面积，可得三角形ABD的面积比涂色部分的面积大20平方厘米。根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABD的面积，涂色部分的面积＝三角形ABD的面积－20平方厘米，据此列式解答。 【详解】10×8÷2－20 ＝40－20 ＝20（平方厘米） 答：涂色部分的面积是20平方厘米。 【点睛】关键是看懂三角形ABD和涂色部分之间的关系，掌握并灵活运用三角形面积公式。 变式1．（2025·全国·专题练习）如图，大圆半径是5厘米，小圆半径是2厘米，涂色部分重叠在一起。大圆、小圆没有重叠的部分的面积相差多少平方厘米？ 【答案】65.94平方厘米 【分析】根据题意，大圆没有重叠部分面积＝大圆面积－重叠部分面积；小圆没有重叠部分面积＝小圆面积－重叠部分面积；大圆没有重叠部分面积－小圆没有重叠部分面积＝大圆面积－重叠部分面积－（小圆面积－重叠部分面积），去掉括号，大圆没有重叠部分面积－小圆没有重叠部分面积＝大圆面积－重叠部分面积－小圆面积＋重叠部分面积，即大圆没有重叠部分面积－小圆没有重叠部分面积＝大圆面积－ 小圆面积，根据圆的面积公式：圆的面积＝πr2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×52－3.14×22 ＝3.14×25－3.14×4 ＝78.5－12.56 ＝65.94（平方厘米） 答：大圆、小圆没有重叠的部分的面积相差65.94平方厘米。 变式2．（2024·四川·小升初模拟）如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的面积大12cm2，求FC的长。 【答案】4.5厘米 【分析】由图可知，△EFG＋梯形BCFG＝△BCE，阴影部分＋梯形BCFG＝平行四边形ABCD，根据阴影部分与△EFG的面积差表示出平行四边形ABCD与阴影部分的面积之差，利用三角形的面积计算公式计算出△BCE的面积，再求出平行四边形ABCD的面积，最后利用“高＝平行四边形的面积÷底”求出FC的长。 【详解】分析可知，阴影部分面积－△EFG＝12cm2 （阴影部分＋梯形BCFG）－（△EFG＋梯形BCFG）＝12cm2 平行四边形ABCD－△BCE＝12cm2 △BCE的面积：8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 平行四边形ABCD的面积：24＋12＝36（cm2） FC的长度：36÷8＝4.5（厘米） 答：FC长4.5厘米。 【点睛】分析题意求出平行四边形ABCD的面积是解答题目的关键。 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。重点要理解容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1．（2024·全国·小升初模拟）如图，正方形的边长为4厘米，分别以正方形的四边为直径作半圆，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】9.12平方厘米 【详解】求圆形面积问题的关键是把不规则的圆形包含在一个规则图形中，再由这个规则图形面积减去若干个规则圆形的面积．此图中若把四个半圆面积加起来（阴影部分被加了两次）是正方形面积加阴影面积，因此阴影部分面积为． 例2．（2024·全国·小升初模拟）如图，△ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝AC，以BC、AC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积． 【答案】3.85平方厘米 【分析】两个半圆的面积和减去直角三角形ABC的面积是阴影部分的面积据此解答。 【详解】大半圆的面积：3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米）； 小半圆的面积：3.14×（4÷2÷2）2÷2 ＝3.14×1÷2 ＝1.57（平方厘米） 三角形的面积：4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米） 阴影部分面积：6.28＋1.57－4 ＝7.85－4 ＝3.85（平方厘米） 答：阴影部分的面积为3.85平方厘米。 【点睛】掌握三角形的面积以及圆的面积公式，关键是要搞清楚哪些部分是被重复计算的，要仔细分析题目找出阴影部分面积的计算方法。 例3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。 【答案】2 【分析】首先根据题目说明，令A＝8，B＝9，C＝11.根据容斥定理代入计算，即可求得A、B、C的公共部分面积。 【详解】设阴影部分的面积是x，由容斥原理知 28－（5＋3＋4）＋x＝18， 故x＝2 答：A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积为2. 例4．（23-24六年级·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    【答案】6平方米 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2 ＝3.5325＋6.28＋6－9.8125＝6（平方米）阴影部分的面积是6平方米。 变式1．（2024·全国·小升初模拟）已知如图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用π表示） 【答案】2π﹣4． 【详解】试题分析：两弧所夹叶形部分，就是以正方形两个对角顶点为圆心、以边长为半径所作的两段圆弧圆与正方形的边围成的两个扇形扇的重叠的部分，所以，叶形部分的面积=两个扇形面积﹣正方形面积，一个扇形面积=2×2π÷4=π，正方形面积=2×2=4，进而解决问题． 解：S两弧所夹叶形部分面积： 2×2×2π÷4﹣2×2=2π﹣4 答：图中阴影部分的面积是2π﹣4． 点评：完成此题，关键在于作出辅助线，转化条件，解决问题． 变式2．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是多少？ 【答案】103平方厘米 【分析】把正方形甲乙分别旋转成何丙同样的位置，不难发现，甲和乙重合的面积为甲的四分之一，乙和丙重合的面积为乙的四分之一。所以这三个正方形覆盖的面积等于三个正方形的面积之和减去重合的两部分的面积，据此即可解答问题。 【详解】4×4＋6×6＋8×8－2×2－3×3 ＝16＋36＋64－4－9 ＝103（平方厘米） 答：这三个正方形的覆盖面积是103平方厘米。 变式3．（2025六年级下·全国·竞赛）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？ 【答案】38平方厘米 【分析】根据题意和容斥原理可知，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三部分的面积和，然后除以2（因为是两个重叠在一起，所以要除以2），由此即可求出答案。 【详解】（100×3－144－80）÷2 ＝（300－144－80）÷2 ＝（156－80）÷2 ＝76÷2 ＝38（平方厘米） 答：阴影部分的面积是38平方厘米。 变式4．（2024.广东六年级期中）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 【解析】根据容斥原理得，所以（平方厘米） 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1．（2024·四川乐山·小升初真题）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种。三位同学的想法中，（    ）。 甲： （上底＋下底）×高÷2＝梯形面积 乙： 4÷2＝2（cm）（3＋5）×2＝16（cm2） 丙： 3×4÷2＝6（cm2） 5×4÷2＝10（cm2） 6＋10＝16（cm2） A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 【答案】D 【分析】根据梯形面积公式的推导过程可知，可以把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，也可以把一个梯形沿高的一半剪成两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；还可以把一个梯形分割为两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式。据此解答。 【详解】由分析得：甲是两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式； 乙是把一个梯形沿高的一半剪两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式； 丙是把一个梯形分割为两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式； 所以三位同学的想法都是正确的。 故答案为：D 【点睛】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程及应用。 例2．（2024·山东·小升初模拟）如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这个长方形的长是 cm，圆的面积是 cm2。 【答案】 12.56 50.24 【分析】把一个圆剪拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，圆的面积等于长方形的面积； 根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再除以2，即是近似长方形的长；根据长方形的面积公式S＝ab，求出这个长方形的面积，也就是这个圆的面积。 【详解】长方形的长： 3.14×4×2÷2＝12.56（cm） 圆的面积： 12.56×4＝50.24（cm2） 这个长方形的长是12.56cm，面积是50.24cm2。 例3．（2024·浙江·小升初模拟）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】29.6 【分析】如下图，由题意可知：△ABD折叠后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，阴影部分的周长＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即阴影部分的周长＝（长＋宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可。    【详解】（10＋4.8）×2 ＝14.8×2 ＝29.6（cm） 所以阴影部分的周长是29.6cm。 【点睛】解决此题关键是明确折叠前后对应边相等。 例4．（2024·浙江杭州·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【答案】6 【分析】如图：根据题意得BD＝BC＝6厘米，AD＝AB－BD＝10－6＝4厘米，因为三角形ADE的面积＝×AD×DE，三角形BDE的面积＝×BD×DE，所以三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积＝AD∶BD＝4∶6＝2∶3，又因为三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米），所以三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）。 【详解】根据分析得，BD＝6（厘米） AD＝10－6＝4（厘米） 三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积∶三角形BCE＝AD∶BD∶BC＝4∶6∶6＝2∶3∶3 三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米） 三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米） 【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是找准面积的比。 例5．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证：①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 【答案】（1）①（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （2）（a－b）×（a＋b）（3） 【详解】（1）①102－62＝100－36＝64 （10－6）×（10＋6）＝4×16＝64所以，102－62＝（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39 （0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39 所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（答案不唯一） （2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b） （3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2] ＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）＝×××××＝ 变式1．（2025·浙江·小升初模拟）把一个半径为5cm的草编圆形茶杯垫按下图所示的方法剪开，得到三角形的底是( )cm，高是( )cm，面积是( )。 【答案】 31.4 5 78.5 【分析】观察可知，圆形杯垫剪开得到三角形的底就是圆的周长，高就是圆的半径，面积就是圆的面积，可根据代入数据计算面积。 【详解】 （cm） （cm2） 把一个半径为5cm的草编圆形茶杯垫按下图所示的方法剪开，得到三角形的底是31.4cm，高是5cm，面积是78.5。 变式2．（2024·江苏·小升初模拟）有一个正方形，如果先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形，那么面积比原来减少194平方分米。原来正方形的边长是多少分米？ 【答案】18分米 【分析】 如图所示可知，减少部分的面积是长方形①＋长方形②＋长方形③的面积，也就是194平方分米；③是长为8分米，宽为5分米的长方形；通过观察可以发现，长方形①和长方形③组成的长方形的面积＝5×正方形的边长；长方形②和长方形③组成的长方形的面积＝8×正方形的边长；由此可知，（长方形①＋长方形③）＋（长方形②＋长方形③）＝5×正方形的边长＋8×正方形的边长＝（5＋8）×正方形的边长；先求出等式左侧的（长方形①＋长方形③）＋（长方形②＋长方形③）的面积，然后用求得的面积除以（5＋8），即可求出正方形的边长。 【详解】194＋5×8 ＝194＋40 ＝234（平方分米） 234÷（5＋8） ＝234÷13 ＝18（分米） 答：原来正方形的边长是18分米。 【点睛】主要是找到正方形的边长与减少部分的面积的关系，据此逐步往下解此题。 变式3．（2024·全国·小升初真题）如图，等边△ABC的边长是5，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在处，且点在△ABC外部，则阴影图形的周长等于( )． 【答案】15 【详解】本题考查不规则图形周长的计算方法．周长是指围成图形的所有线的总长．可以先用笔画一画阴影图形的周长都包含哪些线的长，再找这些线的长与等边△ABC的边长有什么关系． 阴影图形的周长是A＇D＋DB＋BC＋CE＋EA＇的总和，又根据折叠可知，△ADE与△A＇DE关于直线DE轴对称，即线段A＇D＝AD，EA＇＝EA．所以阴影图形的周长＝A＇D＋DB＋BC＋CE＋EA＇＝AD＋DB＋BC＋CE＋EA＝﹙AD＋DB﹚＋BC＋﹙CE＋EA﹚＝AB＋BC＋CA＝△ABC的周长＝5×3＝15． 变式4．（2024·河南·小升初真题）心灵手巧的小丽将一张长方形纸条按如图方式进行折叠， 若，则在图（3）中的度数为 度。 【答案】114 【分析】我们可以按照题意，找张纸条折叠一下，根据图形的折叠的性质和三角形的内角和180°和四边形的内角和360°结合计算即可。 【详解】 延长图2，AE到H，由于纸条是长方形，四个角都是直角，所以EH与GF平行，图1折叠成图2，即图1的∠DEF＝∠HEF＝22°，再根据翻折不变性，图2的∠HEF＝∠FEG＝22°，即∠AEG＝180°－22°－22°＝136°，四边形ABGE的内角和是360°，所以∠EGB＝360°－90°－90°－136°＝44°；即∠EGF＝180°－44°＝136°。三角形EGF的内角和是180°，∠GFE＝180°－22°－136°＝22°；∠FGC＝180°－∠EGF＝180°－136°＝44°。四边形GFDC的内角和是360°，即∠GFD＝360°－44°－90°－90°＝136°。根据翻折不变性，图2的∠GFD＝图3的∠GFD＝136°，所以图3的∠EFD＝∠GFD－∠GFE＝136°－22°＝114°。 【点睛】熟练掌握翻折不变性的方法是解题的关键。 变式5．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 【答案】129 【分析】如图： 通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【详解】2×3×5÷2＋2×3×13＋2×3×12÷2＝15＋78＋36＝129（厘米） 点A经过的路径长129厘米。 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1．（2024·河北保定·小升初真题）用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会增加 平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第三种切分方式表面积会增加 平方厘米。但无论怎样切，体积都是 立方厘米。 【答案】 6.28 5 7.85 【分析】第一种切分方式，表面积增加两个切面的面积，即两个圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的高；第三种切分方式，根据圆柱体积公式的推导过程可知，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加两个长方形的面积，每个的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：长方形的面积＝长宽，把数据代入公式求出增加的面积；无论怎样切，体积都不变，然后根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方厘米） 10÷2÷2 ＝5÷2 ＝2.5（厘米） 2.5×（2÷2）×2 ＝2.5×1×2 ＝5（平方厘米） 3.14×（2÷2）2×2.5 ＝3.14×12×2.5 ＝3.14×1×2.5 ＝7.85（立方厘米） 用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会增加6.28平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第三种切分方式表面积会增加5平方厘米。但无论怎样切，体积都是7.85立方厘米。 例2．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】455立方厘米 【分析】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】624＝2×2×2×2×3×13 长＞宽＞高 长是13厘米， 2×2×3＝12 12＝5＋7 宽为7厘米，高为5厘米， 13×7×5＝455（立方厘米） 答：这个长方体的体积是455立方厘米。 【点睛】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 例3．（2024·山东·小升初模拟）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 【答案】6.28 【详解】圆柱的底面积：6.28÷2＝3.14（平方分米） 底面半径的平方：3.14÷3.14＝1（平方分米） 因为1＝1×1，所以圆柱的底面半径是1分米。 圆柱的底面直径：1×2＝2（分米） 圆柱的高：8÷2÷2＝2（分米） 圆柱的体积：3.14×2＝6.28（立方分米） 所以圆柱的体积是6.28立方分米。 例4．（2024·辽宁·小升初模拟）用个棱长的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色（如下图），剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据大正方体的组成个数可知大正方体有个顶点，再根据拿走个小正方体处应该有个三面涂色的解答即可。 【详解】因为个棱长的小正方体拼成大正方体， 即 所以大正方体的棱长为， 所以大正方体有个顶点， 因为从一个顶点处拿走个小正方体， 所以剩下的个顶点处的小正方体三面都涂色，拿走的个小正方体顶点处有个小正方体三面涂色， 所以剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（个）， 故答案为： 【点睛】本题考查了小正方体组成大正方体的体积以及表面积等相关知识点，根据题目信息得到大正方体的顶点个数是解题的关键。 例5．（2023·浙江宁波·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 【答案】（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5 【分析】（1）①割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），可求出泳池体积为3500÷2＝1750（立方米）。 （2）在空的泳池内以均匀的注水速度往池内注水，则首先填满⑴①中割去部分，则填满该部分时恰好达到1.6－1.2＝0.4米水深，填满该部分前，随着水位上升，其水所占体积的高度和底面积随着时间增长都增大，该部分水的体积变化呈逐渐增大的趋势，又因为选项C填满该部分的过程即高度达到0.4米前呈逐渐增大的趋势，且深度变化不断放缓，所以答案应该是选项C。 （3）由⑴②得泳池体积为1750立方米，填满冰池需要1750÷140＝12.5（小时），所以a表示的数是12.5小时。 【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2 ＝1250×2.8÷2 ＝3500÷2 ＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 【点睛】本题考查了长方体的体积（容积）公式的实际运用，学会通过统计图获取并分析数据，解决实际的问题。 变式1．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】圆柱的表面积＝2个底面面积＋侧面面积，把圆柱按照平行于高的方向切割（方法一），增加两个长方形面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高。把圆柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加两个底面面积。根据S长方形＝ab，S圆＝πr2解答。 【详解】方法一表面积增加： 4×3×2 ＝12×2 ＝24（dm2） 方法二表面积增加： 3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（dm2） 所以两种方法增加的表面积一样多。 故答案为：C 变式2．（2024·海南·小升初模拟）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。 【答案】25.12 【分析】如图2所切，增加4个底面，增加的面积（50.24平方厘米）＝底面面积×4，则底面面积＝50.24÷4＝12.56（平方厘米）。根据圆的面积：S＝πr2，那么r2＝12.56÷3.14＝4＝22，r＝2厘米。如图1所切，增加4个长方形的面，增加的面积是48平方厘米，则1个长方形面积（直径×高）＝48÷4＝12（平方厘米）；用12÷直径即可求出高。若削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的。圆柱的体积：V＝sh，圆柱的体积：V＝sh，代入数据计算，分别求出圆柱、圆锥的体积，再相减即可求出减少的体积。 【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4＝22 这个圆柱的底面半径是2厘米。 48÷4÷（2×2） ＝48÷4÷4 ＝3（厘米） 12.56×3－12.56×3× ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 体积减少了25.12立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，通过增加的面积，求出圆柱的底面半径和高是解题关键。 变式3．（2024·福建·小升初模拟）有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 【答案】48平方厘米 【分析】每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切完第三刀后，增加一个原来大长方体的表面积，根据切完第三刀后所有面的表面积之和求出原来大长方体的表面积，切完第一刀后增加两个切面的面积，是2个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积之差；切完第二刀后增加的两个切面的面积，是4个小长方体的表面积之和与切完第一刀2个小长方体的表面积之和的差；切完第三刀后增加的两个切面的面积，是8个小长方体的表面积之和与切完第二刀4个小长方体的表面积之和的差，再除以2求出一个切面的面积，最后比较大小即可。 【详解】大长方体的表面积：752÷2＝376（平方厘米） （472－376）÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （632－472）÷2 ＝160÷2 ＝80（平方厘米） （752－632）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 因为48平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 答：原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据每次增加部分的面积求出长方体三个不同面的面积是解答题目的关键。 变式4．（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有( )cm2是蓝色的。 【答案】72 【分析】大正方体顶点处小正方体有3个面露在外面，大正方体棱上（不含顶点处）小正方体有2个面露在外面，把32个棱长1厘米的蓝色小正方体放8个顶点处，剩下32－8＝24个放在大正方体的棱上（不含顶点处），由于一条棱可以放2个，那么12条棱可以放：12×2＝24个，正好放完，这样蓝色的面向外露的面积最大，据此进一步计算即可。 【详解】1×1×3×8＋1×1×2×（32－8） ＝1×1×3×8＋1×1×2×24 ＝24＋48 ＝72（cm2） 用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有72cm2是蓝色的。 变式5．（2025·全国·小升初模拟）把如图所示的正方体分成三个长方体，长方体A的表面积是长方体B表面积的，长方体C的表面积是长方体B表面积的，则长方体A的体积是长方体C体积的几分之几？ 【答案】 【分析】假设正方体的棱长是1，可以表示出三个长方体的表面积之和是10，然后把长方体B的表面积看作“12”，根据题意，表示出长方体A和B的表面积，进而表示出每个长方体占三个表面积之和的几分之几。据此表示出A和C的表面积、侧面积以及高，然后根据长方体A和C的底面积相等，体积之比就等于A和C的高之比，据此解答即可。 【详解】设正方体的棱长为1，三个长方体的表面积之和为1×1×6＋1×1×4＝10 因为长方体A的表面积是长方体B表面积的，长方体C的表面积是长方体B表面积的。 将长方体B的表面积看作“12” 长方体A的表面积是： 长方体C的表面积是： 所以长方体B的表面积占三个长方体的表面积之和的： 所以长方体A的表面积占三个长方体的表面积之和的： 所以长方体C的表面积占三个长方体的表面积之和的： 长方体A的表面积为： 长方体A的侧面积为： 长方体A的高为： 长方体C的表面积为： 长方体C的侧面积为： 长方体C的高为： 所以长方体A的高是长方体C高的： 因为三个长方体的底面积相等，所以长方体A的体积是长方体C体积的。 答：长方体A的体积是长方体C体积的。 【点睛】解答这道题的关键在于理解表面积和体积之间的关系，并通过设数法逐步求解。 1．（2024六年级·全国·竞赛）如图，已知大圆半径为6cm，四个小圆的面积相等。阴影部分面积是多少平方厘米？（分合割补法） 【答案】72平方厘米 【分析】每个小圆中有两个空白椭圆形，将它们平均分成两部分，则圆中的阴影部分可补到空白部分，则每个小圆中的阴影部分可割补成一个阴影小正方形，4个阴影小正方形组成了一个大阴影正方形，大正方形的对角线就是大圆的直径，正方形的面积＝边长×边长＝对角线×对角线÷2。 【详解】（6×2）×（6×2）÷2 ＝12×12÷2 ＝72（平方厘米） 答：阴影部分面积是72平方厘米。 【点睛】本题的关键是把不规则阴影部分的面积通过分合割补的方法转化为一个正方形的面积进行求解。 2．（2025六年级下·河北·专题练习）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1.14平方厘米 【分析】 先把图中阴影部分的左下角部分从中间一分为二，分别平移到右上边的阴影部分旁边，如图所示：，则阴影部分的面积就等于半径是2厘米的圆面积的减去一个底和高都是2厘米的三角形的面积，据此结合圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×22×－2×2÷2 ＝3.14×4×－4÷2 ＝12.56×－2 ＝3.14－2 ＝1.14（平方厘米） 3．（2024·新疆·小升初模拟）如图所示，阴影部分的面积是 cm2。 【答案】8.41 【分析】 如图：1的面积＋2的面积＋3的面积＝大圆的面积的一半，3的面积＋4的面积＋5的面积＝小圆的面积的一半，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半＝1的面积＋2的面积＋3的面积×2＋4的面积＋5的面积，阴影部分的面积＝1的面积＋3的面积＋5的面积，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－（2的面积＋3的面积＋4的面积）＝1的面积＋3的面积＋5的面积＝阴影部分的面积，而2的面积＋3的面积＋4的面积＝三角形的面积，所以阴影部分的面积＝小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－三角形的面积，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－6×4÷2 ＝3.14×32÷2＋3.14×22÷2－24÷2 ＝3.14×9÷2＋3.14×4÷2－12 ＝14.13＋6.28－12 ＝20.41－12 ＝8.41（平方厘米） 即阴影部分的面积是8.41平方厘米。 【点睛】此题整体较难，关键是找到阴影部分的面积与圆的面积、三角形的面积之间的关系，利用圆的面积和三角形的面积公式，求出结果。 4．（2024·浙江·小升初模拟）ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。（的值取3.14） 【答案】32.125平方厘米 【分析】，如图所示，将原图中的等腰三角形ABC添补成正方形ABCE，连接DE，整个图形由正方形ABCE和直径为10厘米的半圆组成，也是三角形ADE和两个阴影部分面积组成，D是半圆周的中点，三角形ADE的高是：圆的半径＋等腰直角三角形腰的长，即：10＋10÷2厘米，三角形ABE的底等于三角形ABC的腰，即：AE＝AB＝10厘米，阴影部分面积＝（正方形面积＋半圆面积－三角形ADE的面积）÷2，即可算出。 【详解】如图所示，将原图中的等腰三角形ABC添补成正方形ABCE，连接DE [10×10＋3.14×（10÷2）2÷2－10×（10＋10÷2）÷2]÷2 ＝[100＋3.14×25÷2－10×15÷2]÷2 ＝[100＋78.5÷2－150÷2]÷2 ＝[100＋39.25－75]÷2 ＝[139.25－75]÷2 ＝64.25÷2 ＝32.125（平方厘米） 答：阴影部分面积是32.125平方厘米。 【点睛】解决本题的关键是做出合适的辅助线，将图形进行相应转换，利用已知的条件求的阴影部分的面积。 5．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 【答案】8平方厘米 【详解】如下图箭头所示移动阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。 （平方厘米） 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。 6．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 【答案】12.78cm2 【详解】如下图所示，用③表示一块阴影部分的面积，则①－②＝（①＋③）－（②＋③）。用半径是12cm的大扇形的面积减去半径是6cm的小扇形的面积即可得出①与③两阴影部分的面积之和，而②与③两阴影部分的面积之和等于长方形的面积，那么用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去长方形的面积，即可求出①与②两阴影部分的面积的差。图中扇形的面积是整圆面积的，根据S＝πr2求出整圆面积，再除以4分别求出两个扇形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。最后根据上面的分析结果进行解答。 ＝3.14×27－72（cm2） 答：①与②两阴影部分的面积的差是12.78cm2。 7．（2025六年级下·浙江·期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【分析】观察图形，CD扫过的面积阴影部分为不规则图形，考虑整体－空白的算法。在图中画出AC旋转后AE如图所示，可得总面积为扇形CAE面积＋△AFE面积，空白部分面积为△ADC面积＋扇形DAF面积，由题可知△AFE面积＝△ADC面积，所以阴影部分面积为扇形CAE面积－扇形DAF面积 【详解】（平方厘米）（平方厘米） 78.5－50.24＝28.26（平方厘米） 8．（2024·浙江宁波·小升初真题）下图中阴影部分面积为25平方厘米，∠AOB为直角，环形（两个圆之间的部分）的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】157 【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积，即π（R2－r2），阴影部分的面积＝大三角形的面积−小三角形的面积，即R2÷2－r2÷2＝（R2－r2）÷2，于是可以用两圆的半径表示出阴影部分的面积，进而可以求出圆环的面积。 【详解】假设外圆半径为R，内圆半径为r， 由题意得， R2÷2－r2÷2＝25（平方厘米） 可推出 R2－r2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 圆环的面积： π（R2－r2） ＝3.14×50 ＝157（平方厘米） 【点睛】解答此题的关键是设出半径，利用阴影部分的面积求得圆环的面积。 9．（2024·江苏·小升初模拟）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降( )厘米。 【答案】2.5 【分析】设B升高了x厘米，则A下降了（4－x）厘米；B 升高部分的体积等于A下降部分的体积；根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；A下降部分的体积是：15×（4－x）立方厘米；B升高部分的体积是：25x立方厘米；列方程：15×（4－x）＝25x，解方程，即可解答。 【详解】解：设B升高了x厘米；则A下降了（4－x）厘米。 15×（4－x）＝25x 15×4－15x＝25x 25x＋15x＝60 40x＝60 x＝60÷40 x＝1.5 A下降：4－1.5＝2.5（厘米） 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用A下降部分的体积等于B升高部分的体积，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 10．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】224 【详解】高相等，面积比等于底边比；BE＝AB △BCE的面积＝×△ABC的面积 △ACE的面积＝（1－）×△ABC的面积＝×△ABC的面积 CD＝BC △CDE的面积＝×△BCE的面积 △CDE的面积＝××△ABC的面积 △CDE的面积∶△ACE的面积＝（×）∶＝∶＝（×8）∶（×8）＝1∶6 根据风筝模型，可知DF∶AF＝1∶6 △DEF的面积∶△AEF的面积＝1∶6 △AEF的面积：12×6＝72（平方厘米） △ADE的面积：72＋12＝84（平方厘米） BE＝AB 则AE＝AB △ADE的面积＝×△ABD的面积 △ABD的面积：84÷＝84×＝112（平方厘米） D为BC的中点 所以BD＝CD △ABD的面积＝△ACD的面积 △ABC的面积：112＋112＝224（平方厘米） 三角形ABC的面积是224平方厘米。 11．（24-25六年级上·广东江门·期中）三角形ABC的面积是24平方厘米，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点，求阴影面积。 【答案】14平方厘米 【分析】根据题意，AD＝DE＝EC，则三角形ABD的底是三角形ABC底的，高等于三角形ABC的高，三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形ABD的面积为24×＝8（平方厘米）；那么三角形BDC的面积＝三角形ABC的面积－三角形ABD的面积＝24－8＝16（平方厘米），因为F是BC的中点，则三角形DFC的底是三角形BDC底的一半，它们的高相等，所以三角形DFC的面积＝三角形BDC面积的一半＝16÷2＝8（平方厘米），同理，因为DE＝EC，则三角形EFD的面积＝三角形DFC面积的一半＝8÷2＝4（平方厘米）；那么三角形EFC面积也是4平方厘米，而G是FC的中点，所以三角形EGC的面积是三角形EFC面积的一半，是4÷2＝2（平方厘米）。最后将阴影部分面积相加即可得到答案。 【详解】三角形ABD的面积：24×＝8（平方厘米） 三角形EFD的面积：（24－8）÷2÷2 ＝16÷2÷2 ＝4（平方厘米） 三角形EGC的面积：4÷2＝2（平方厘米） 阴影部分的面积：8＋4＋2＝14（平方厘米） 则阴影面积是14平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是根据各三角形底和高的关系，确定它们面积之间的关系，然后分别求出各阴影三角形的面积。 12．（2024·江苏·小升初模拟）一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？ 【答案】25.6厘米 【分析】物体部分浸入水中，当轻轻提起物体时，水的体积不变，提起的那部分铁棒的体积＝容器中下降那部分水的体积，下降那部分水的底面积＝容器的底面积一铁棒的底面积。用“提起的那部分铁棒的体积÷（容器的底面积一铁块的底面积）”求出水面下降的高度，再加上提起的24厘米就是露出水面的铁棒上被水浸湿的部分的长度。 【详解】15×15×24÷（60×60－15×15）＋24 ＝5400÷3375＋24 ＝1.6＋24 ＝25.6（厘米） 答：伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长25.6厘米。 【点睛】解决此类物体部分浸入水中的问题，要注意当轻轻提起物体时，提起的那部分物体的体积＝容器中下降那部分水的体积。 13．（2024·河南南阳·小升初真题）将700毫升果汁倒入瓶子中，拧紧瓶盖。分别将瓶底朝下和朝上放置，如图所示。求瓶子的容积。 【答案】950毫升 【分析】根据图示，利用瓶子的高减去18厘米就是空白部分的高度，先利用果汁的体积除以果汁的高求出瓶子的底面积，再利用底面积乘空白部分高度再加700毫升即可求出瓶子的容积。 【详解】700毫升＝700立方厘米 700÷14＝50（平方厘米） 50×（23−18） ＝50×5 ＝250（立方厘米） 250立方厘米＝250毫升 250＋700＝950（毫升） 答：瓶子的容积是950毫升。 【点睛】本题考查了圆柱体积公式的应用，关键是求出瓶子的包含的两部分的高度。 14．（2024·江苏·专题练习）如图，平行四边形BCEF中，厘米，直角三角形中，厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据题意可知，阴影部分面积比三角形ADH面积大8平方厘米，那么阴影部分面积加上梯形DBCH的面积比三角形ABC的面积大8平方厘米，已知三角形底是BC＝8厘米，高AC＝10厘米，根据三角形面积公式：底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再加上8平方厘米就等于阴影部分面积与梯形面积DBCH的面积和，即平行四边形FBCE的面积，已知BC＝8厘米，根据平行四边形面积公式：底×高，即可求出CH的长，再用AC的长减去CH的长，即可求出AH的长。 【详解】（8×10÷2＋8）÷8 ＝（80÷2＋8）÷8 ＝（40＋8）÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 10－6＝4（厘米） 答：AH的长是4厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确平行四边形面积与三角形ABC的关系，再利用三角形面积公式、平行四边形面积公式，进行解答。 15．（23-24六年级·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 【答案】4厘米 【分析】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；说明上面阴影部分面积比下面阴影部分面积多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加S1是长方形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出长是3厘米，宽是5厘米的长方形的面积；再用长方形的面积减去2.44平方厘米，求出扇形的面积，再乘4，就是这个扇形所在圆的面积，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，即可求半径。 【详解】（3×5－2.44）×4÷3.14＝（15－2.44）×4÷3.14＝12.56×4÷3.14＝50.24÷3.14＝16（平方厘米） 4×4＝16，扇形所在圆的半径是4厘米。 答：图中扇形所在圆的半径是4厘米。 16．（2024六年级·全国·竞赛）如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米。阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次；三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积之和减去计算两次的部分，再减去计算了三次的部分的2倍，得到所覆盖的总面积。 【详解】三张纸重叠部分的面积： （平方厘米） 答：3张纸板重叠部分的面积是 20平方厘米。 【点睛】本题考查的是三个量的容斥问题，首先要搞清楚每一部分所计算的次数是多少。 17．（2024六年级·全国·竞赛）三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 【答案】30平方厘米 【分析】三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米计算3次，阴影部分计算2次，三个纸片的面积之和减去阴影部分的面积，再减去2个10平方厘米，得到所覆盖的面积。 【详解】将图中的三个圆标上、、。根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积＝（圆面积圆面积圆面积）－（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋三个纸片共同重叠的面积，得：（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋10，得到、、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：（平方厘米）。 答：图中阴影部分面积之和是30平方厘米。 【点睛】本题考查的是三个量的容斥问题，首先要搞清楚图中每一部分分别计算了几次。 18.（2024六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 【答案】220 【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。 【详解】20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米） 19．（2024·福建福州·小升初真题）聪聪在探究圆柱体积时，先把圆柱体拼成一个近似长方体，再把这个长方体侧放，他发现了一种更巧妙的方法（如图）。如果圆柱的底面半径是4厘米，侧面积是251.2平方厘米，这个圆柱的体积是 立方厘米。 【答案】502.4 【分析】如图可知，圆柱的侧面积等于侧放后长方体的两个底面积，圆柱的底面半径是侧放后长方体的高，根据长方体的体积公式V＝Sh，用一个底面积乘高即是长方体的体积，因为圆柱的体积与长方体的体积相等，所以圆柱的体积也是一个底面积乘高，即圆柱的侧面积的一半乘半径，据此求出圆柱的体积。 【详解】251.2÷2×4 ＝125.6×4 ＝502.4（立方厘米） 【点睛】结合图形，找到圆柱的侧面积、半径与长方体的底面积、高的关系是解题的关键。 20．（2024·江苏·小升初模拟）一个表面涂满红漆的圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米。若沿虚线（如图）切开后得到一些完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 平方厘米，没有涂红漆的面共有 个。 【答案】 84.56 40 【分析】根据图示可知，把圆柱沿高截成3段，表面积增加2×2＝4个底面积，沿底面直径切成4块，表面积增加（2×4）个半径乘高；没有涂色的面即这些切面，是切完之后露出来的面，即（4×2×2）个圆和（2×4×3）个长方形的面。 【详解】3.14×（2÷2）2×（2×2）＋（2×4）×（2÷2）×9 ＝3.14×4＋72 ＝84.56（平方厘米） 4×2×2＋2×4×3 ＝16＋24 ＝40（个） 【点睛】本题的考查圆柱的切割问题，要求同学展开空间想象能力。 1．（2024·四川成都·小升初真题）如图，四边形是平行四边形，，，，高，弧，分别以，为半径，弧，分别以，为半径，阴影部分的面积为多少？（取3） 【答案】2平方厘米 【分析】四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，AD＝CB，对角也相等。弧，分别以，为半径，扇形ABE和扇形CDF是以A为圆心角，半径为10厘米的扇形，这个扇形的圆心角的度数是30°，则这两个扇形就是的圆。则×圆的面积。同理，弧，分别以，为半径，则×圆的面积。 根据这个数量关系，计算这三个图形的面积，代入数据计算即可得解。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2（平方厘米） 答：阴影部分的面积为2平方厘米。 2．（23-24六年级下·四川成都·期末）如图所示，E、F分别是三角形ABC中BC边与AC边上的点，AE与BF交于点O，且三角形AFO、三角形ABO和三角形BEO的面积依次为3，2，1。阴影部分的面积为 。 【答案】24 【分析】连接EF，如下图所示： 根据等高三角形的面积比等于底边比求出三角形EFO的面积，根据三角形CEF和三角形BEF的面积比等于底边比，三角形ACE和三角形ABE的面积比等于底边比求出关于三角形CEF的面积，最后把三角形EFO和三角形CEF的面积相加求和，即可求出阴影部分的面积。 【详解】连接EF，如下图所示： 因为S△AOF∶S△ABO＝S△EFO∶S△BOE＝FO∶BO而S△AOF∶S△ABO＝3∶2所以FO∶BO＝3∶2 又S△BOE＝1所以S△EFO＝S△BOE×FO÷BO＝1×3÷2＝1.5 因为S△CEF∶S△BEF＝CE∶BE，S△BEF＝S△EFO＋S△BOE＝1.5＋1＝2.5即S△CEF∶2.5＝CE∶BE 因为S△ACE∶S△ABE＝CE∶BE，S△ACE＝S△CEF＋S△EFO＋S△AOF＝S△CEF＋1.5＋3＝S△CEF＋4.5，S△ABE＝S△ABO＋S△BOE＝2＋1＝3 即（S△CEF＋4.5）∶3＝CE∶BE 所以S△CEF∶2.5＝（S△CEF＋4.5）∶3 即2.5×（S△CEF＋4.5）＝3×S△CEF所以S△CEF＝22.5 所以S阴影＝S四边形CEOF＝S△EFO＋S△CEF＝1.5＋22.5＝24 所以，阴影部分的面积为24。 3．（2024六年级·全国·竞赛）如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 【答案】100平方厘米 【分析】连接BD、EG和FK，如图，则BD∥EG∥FK，根据平行线之间的垂线段相等可知，三角形EGD与三角形BEG等底等高，则这两个三角形的面积相等，又因三角形GEQ是二者的公共部分，它们都去掉三角形GEQ，则剩余部分的面积仍然相等，即三角形QGD与三角形BEQ面积相等；同样的办法可以推出，三角形GFK与三角形EFK的面积相等，去掉公共部分三角形OKF，则三角形EKO与三角形GOF的面积相等，于是阴影部分就全部转化到了正方形BEFG中，即阴影部分的面积就等于正方形BEFG的面积，于是利用正方形的面积公式即可求解。 【详解】据分析可得：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】此题难度较大，推出阴影部分的面积就是等于正方形BEFG的面积，是解答本题的关键。 4．（2023·陕西西安·小升初真题）如图，点D、E、F分别为BC、AC、AB边的四等分点、五等分点和六等分点，则△DEF与△ABC的面积比为( )。 【答案】61∶120 【详解】如图： 连接CF、BE，设； ，，； 那么，，； ，则； ，则； ，则； ∶＝∶＝∶1＝（×120）∶（1×120）＝61∶120 所以△DEF与△ABC的面积比是61∶120。 5．（2023六年级·全国·竞赛）水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 【答案】25.6厘米 【分析】将容器A注满，水的体积是圆柱A的体积，圆柱的体积＝。在高度的一半处有一连通管相连，将容器A注满，再打开连通管后，这时两个容器水面的高度是一样的，则底面积比就是体积比。A和B容器都是圆柱，则底面是圆，圆的面积＝，就是底面积。即两个圆柱的底面积比是16∶9，则两个圆柱的水的体积比也是16∶9，按比例分配，B圆柱容器的水的体积占水总体积的，得出B圆柱的水的体积，再根据水面的高＝水的体积÷底面积。 【详解】 （立方厘米） ＝ （立方厘米） （厘米） 答：容器B中水的高度最终是25.6厘米。 【点睛】计算量比较大的时候，可以不要将先算出来，这样更简便。注意将容器A注满，再打开连通管时两个容器的高度是一样的，那么底面积的比就是体积的比。 6．（2023·全国·竞赛）图A是一个由125个小正方体组成的大正方体。从这个大正方体中抽出一些小正方体，抽的方法是：从一个面到其对面所涉及到的小正方体都要抽掉。图B中黑色部分就是抽出后的情形。则图B中共抽出了( )个小正方体。 【答案】49 【分析】每一层本来都是25个小正方体，抽出一部分后，可以把每层取出来，分别计数，最后相加得到总数。 【详解】第一层和第五层： 共抽出3个小正方体； 第二层和第四层： 共抽出13个小正方体； 第三层： 共抽出17个小正方体； （个） 【点睛】本题所采用的方法称为切片法，在求解过程中利用了图形的对称性。 7．（2025·浙江·小升初模拟）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题： 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 8 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 8 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。④没有涂色的小正方体共 块。 【答案】 8 36 52 24 120 120 【详解】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块 ②两面涂色的小正方体： 4×（6－2）＋4×（4－2）＋4×（5－2）＝4×4＋4×2＋4×3＝16＋8＋12＝36（块） ③一面涂色的小正方体：（6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝4×3×2＋2×3×2＋4×2×2＝24＋12＋16＝52（块） ④没有涂色的小正方体：（6－2）×（4－2）×（5－2）＝4×2×3＝24（块） 总块数：6×4×5＝24×5＝120（块） 各类块数之和：8＋36＋52＋24＝44＋52＋24＝120（块） 用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体，表面涂上颜色。 ②两面涂色的小正方体共块。 ④没有涂色的小正方体共块。 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$